Distanza tra due rette nello spazio

La distanza tra due rette nello spazio si calcola in modi differenti a seconda della posizione reciproca assunta dalle rette, ed è nulla se le due rette sono incidenti o parallele coincidenti.

Vediamo come affrontare una tra le richieste più frequenti negli esercizi: il calcolo della distanza tra due rette nello spazio. Il metodo che proporremo prevede di determinare dapprima la posizione reciproca tra le due rette, per poi calcolare la distanza in modi differenti a seconda di come sono disposte.

Vi anticipiamo che il caso più interessante riguarda la distanza tra rette sghembe, infatti se le rette sono parallele distinte ci si riduce a calcolare la distanza di un punto da una retta nello spazio, mentre se sono incidenti o parallele coincidenti la loro distanza è nulla.

Come calcolare la distanza tra rette nello spazio

Detto $RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, siano le due rette di cui vogliamo calcolare la distanza, che indichiamo con .

La prima cosa da fare è stabilire la loro posizione reciproca, per poi procedere al calcolo della distanza in modi differenti a seconda che esse siano incidenti, parallele coincidenti, parallele distinte o sghembe.

In caso di dubbi, prima di procedere vi consigliamo la lettura della lezione dedicata alle posizioni reciproche tra rette nello spazio.

Caso 1 - Distanza tra rette incidenti nello spazio

Se le rette sono incidenti, la loro distanza è nulla

$r, s \mbox{ incidenti } \Rightarrow\ d(r,s)=0$

Caso 2 - Distanza tra rette parallele coincidenti nello spazio

Se sono parallele coincidenti, la loro reciproca distanza è nulla

$r, s \mbox{ parallele coincidenti } \Rightarrow\ d(r,s)=0$

Caso 3 - Distanza tra rette parallele distinte nello spazio

Se sono rette parallele distinte, la loro distanza è non nulla ed è uguale alla distanza di un punto qualsiasi della retta dalla retta

$r, s \mbox{ parallele distinte } \Rightarrow\ d(r,s)=d(P,s)\ \mbox{ con } P \in r$

In altri termini, per calcolare la distanza tra due rette parallele distinte basta fissare un qualsiasi punto su una delle due rette (ad esempio ) e determinare la distanza del punto dalla retta .

Se non sapete come fare: distanza di un punto da una retta nello spazio - click!

Caso 4) Distanza tra due rette sghembe

Il caso davvero interessante e più frequente negli esercizi è il calcolo della distanza tra due rette sghembe, detta anche minima distanza tra rette sghembe, che può essere calcolata in due modi distinti.

4.1) Distanza tra rette sghembe come distanza punto-piano

Indicando con due rette sghembe, la loro distanza è la distanza di un punto qualsiasi della retta dal piano $\alpha$ passante per e parallelo a .

Per determinare procediamo nel modo seguente:

- scriviamo l'equazione cartesiana del piano $\alpha$ passante per la retta e parallelo a (se non ricordate come fare: piano passante per una retta e parallelo a un'altra retta). Sia essa

$\alpha:\ ax+by+cz+d=0$

- Fissiamo un qualsiasi punto della retta .

- Calcoliamo la distanza del punto dal piano $\alpha$ usando la formula per la distanza punto-piano

$d(P,\alpha) = \frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

dove sono i coefficienti delle incognite dell'equazione cartesiana del piano $\alpha$ .

- Finito! La distanza $d(P, \alpha)$ uguaglia la minima distanza tra le rette sghembe

$d(r,s)=d(P,\alpha)$

4.2) Distanza tra rette sghembe come distanza tra due punti

La distanza tra due rette sghembe può essere equivalentemente calcolata come la distanza tra due opportuni punti , appartenenti rispettivamente alle rette e tali che il vettore $\overrightarrow{PQ}$ sia ortogonale sia a che a .

Per calcolare la distanza procediamo nel modo seguente:

- ricaviamo le equazioni parametriche delle rette avendo l'accortezza di assegnare nomi diversi ai parametri liberi che compaiono nelle equazioni delle due rette

$\\ r:\ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \mbox{ con } t \in \mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=x_0'+l'u \\ y=y_0'+m'u \\ z=z_0'+n'u\end{cases} \mbox{ con } u \in \mathbb{R}$

- Determiniamo un vettore direzione della retta e un vettore direzione della retta :

$\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')$

- Indicando con rispettivamente i punti "mobili" delle rette , ossia i generici punti con coordinate espresse parametricamente

$P(t)=(x_0+lt, \ y_0+mt, \ z_0+nt)\\ \\ Q(u)=(x_0'+l'u, \ y_0'+m'u, \ z_0'+n'u)$

determiniamo le componenti del vettore parametrico

$\\ \overrightarrow{P(t)Q(u)}= Q(u)-P(t) = \\ \\ = (x_0'+l'u-x_0-lt, \ y_0'+m'u-y_0-mt, \ z_0'+n'u-z_0-nt)$

- A questo punto imponiamo che siano nulli i prodotti scalari tra tale vettore e i vettori direttori delle rette , ricavando così due equazioni lineari nelle incognite . Mettiamole a sistema

$\begin{cases}\overrightarrow{P(t)Q(u)} \cdot \mathbf{v}_r=0 \\ \\ \overrightarrow{P(t)Q(u)} \cdot \mathbf{v}_s=0 \end{cases}$

- Risolviamo il suddetto sistema lineare, ottenendo la soluzione $(t,u)=(\overline{t}, \overline{u})$ .

- Nelle coordinate del punto mobile della retta sostituiamo con $\overline{t}$ , e nelle coordinate del punto mobile della retta sostituiamo con $\overline{u}$ .

- Denominando con

$P(x_P, y_P, z_P), \ Q(x_Q,y_Q,z_Q)$

i due punti così ottenuti, la distanza tra le rette sghembe coincide con la distanza tra i punti

$d(r,s) = d(P,Q) = \sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2+(z_P-z_Q)^2}$

Esempi sul calcolo della distanza tra rette nello spazio

Esempio 1

Calcolare la distanza tra le rette

$\\ r:\ \begin{cases}x=t \\ y=4 \\ z=-20+3t\end{cases} \mbox{ con } t \in \mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=1+3u \\ y=2u \\ z=3-u\end{cases} \mbox{ con } u \in \mathbb{R}$

Svolgimento: iniziamo con lo studio della posizione reciproca tra le due rette. Calcoliamo il determinante della matrice

$A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix}$

dove

è un punto della retta ;

$\mathbf{v}_r=(l,m,n)$ è un vettore direzione della retta ;

$\mathbf{v}_s=(l',m',n')$ è un vettore direzione della retta .

Poiché disponiamo delle equazioni parametriche delle due rette, è immediato determinare le coordinate cartesiane di due rispettivi punti e scriverne i vettori direzione.

Ponendo troviamo un punto della retta

Ponendo troviamo un punto di

Infine, le componenti dei vettori direzione delle due rette sono i coefficienti dei termini parametrici presi ordinatamente

$\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,0,3) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(3,2,-1)$

di conseguenza

$\\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}0-1 & 4-0 & -20-3 \\ 1&0&3 \\ 3&2&-1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}-1&4&-23 \\ 1&0&3 \\ 3&2&-1\end{pmatrix} = 0$

Ciò permette di concludere che sono rette complanari, e per stabilire se sono parallele distinte, parallele coincidenti o incidenti è sufficiente considerare la matrice

$B=\begin{pmatrix}l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&3 \\ 3&2&-1\end{pmatrix}$

e calcolarne il rango. Se è massimo le rette sono incidenti, in caso contrario sono parallele (distinte o coincidenti).

Dal momento che

$\mbox{rk}(B)=\mbox{rk}\begin{pmatrix}1&0&3 \\ 3&2&-1\end{pmatrix} = 2$

sono rette incidenti, e quindi la loro distanza è nulla

Esempio 2

Determinare il valore della distanza tra le rette

$\\ r:\ \begin{cases}x=1+2t \\ y=2t \\ z=4-4t\end{cases} \mbox{ con } t \in \mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=u \\ y=3+u \\ z=7-2u\end{cases} \mbox{ con } u \in \mathbb{R}$

Svolgimento: è quasi immediato stabilire che sono rette parallele distinte, infatti i vettori dei coefficienti direttori

$\\ \mathbf{v}_r=(2,2,-4) \\ \\ \mathbf{v}_s=(1,1,-2)$

sono linearmente dipendenti, ed esiste un punto della retta , ad esempio

$P(1,0,4) \in r$

che non appartiene a .

La distanza tra le due rette è allora uguale alla distanza di un punto qualunque della retta dalla retta

$d(r,s)=d(P,s)\ \ \mbox{ con } P \in r$

Scelto il punto $P(1,0,4) \in r$ , la distanza cercata è pari alla distanza tra i punti $P \mbox{ e } H$ , dove è il punto di intersezione tra la retta e il piano $\alpha$ ortogonale a e passante per .

In generale, per ricavare l'equazione del piano ortogonale a una retta e passante per un punto occorre scrivere l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi

$\alpha:\ ax+by+cz+d=0$

sostituire i coefficienti delle incognite con le componenti del vettore direzione della retta, per poi imporre il passaggio per il punto .

Il vettore direzione della retta è

$\mathbf{v}_s=(1,1,-2)$

dunque

$\alpha:\ x+y-2z+d=0$

Imponendo il passaggio per il punto si ricade nell'equazione di primo grado

$\\ 1(1)+1(0)-2(4)+d=0 \\ \\ 1-8+d=0$

che ha per soluzione

per cui il piano $\alpha$ ha equazione

$\alpha:\ x+y-2z+7=0$

Calcoliamo le coordinate del punto di intersezione tra il piano $\alpha$ e la retta

$s:\ \begin{cases}x=u \\ y=3+u \\ z=7-2u\end{cases}$

A tal proposito dobbiamo sostituire le coordinate parametriche di nell'equazione di $\alpha$

e risolviamo l'equazione che ne scaturisce

$\\ u+(3+u)-2(7-2u)+7=0 \\ \\ u+3+u-14+4u+7=0 \\ \\ 6u-4=0 \\ \\ u=\frac{2}{3}$

Le coordinate del punto di intersezione tra retta e piano si ricavano sostituendo la soluzione così ottenuta nelle equazioni parametriche di

$\begin{cases}x=\dfrac{2}{3} \\ \\ y=3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3} \\ \\ z=7-2\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{17}{3}\end{cases}$

dunque

$H\left(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, \frac{17}{3}\right)$

Ci siamo: la distanza tra le due rette è data dalla distanza tra i punti

$\\ d(r,s) = d(P,H) =\sqrt{(x_P-x_H)^2+(y_P-y_H)^2+(z_p-z_H)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(1-\frac{2}{3}\right)^2+\left(0-\frac{11}{3}\right)^2+\left(4-\frac{17}{3}\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(-\frac{11}{3}\right)^2+\left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{1}{9}+\frac{121}{9}+\frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{147}{9}} = \frac{7}{3}\sqrt{3}$

Esempio 3

Verificare che le rette

$\\ r:\ \begin{cases}x-y-1=0 \\ x+y-z=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=u \\ y=-2+u \\ z=u\end{cases}$

sono sghembe e calcolare la loro distanza.

Svolgimento: per stabilire se sono rette sghembe conviene considerare e passare dalle equazioni cartesiane della retta alle parametriche

$r:\ \begin{cases} x=t \\ y=-1+t \\ z=-1+2t\end{cases}\ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}$

Calcoliamo i vettori direzione delle due rette

$\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,1,2) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(1,1,1)$

e fissiamo due punti, uno di e l'altro di

$P(0,-1,-1) \in r, \ \ Q(0,-2,0) \in s$

Se il determinante della matrice

$A=\begin{pmatrix}x_P-x_Q & y_P-y_Q & z_P-z_Q \\ l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix}$

è non nullo, allora sono sghembe.

$\\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}x_P-x_Q & y_P-y_Q & z_P-z_Q \\ l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \mbox{det} \begin{pmatrix} 0-0 & -1-(-2) & -1-0 \\ 1&1&2 \\ 1&1&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \mbox{det} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1&1&2 \\ 1&1&1\end{pmatrix} = 1 \neq 0$

dunque le rette sono sghembe.

Per calcolarne la distanza usiamo dapprima il metodo della distanza punto piano, per poi verificare che si giunge allo stesso risultato usando anche l'altra strategia.

Iniziamo col determinare l'equazione del piano $\alpha$ contenente la retta e parallelo alla retta .

Disponendo delle equazioni cartesiane della retta , possiamo scrivere in men che non si dica l'equazione del fascio proprio di piani avente come sostegno

$\mathrm{F}:\ \lambda(x-y-1)+\mu(x+y-z)=0$

ossia

$\mathrm{F}:\ (\lambda+\mu)x+(-\lambda+\mu)y-\mu z -\lambda =0$

La precedente equazione, al variare dei parametri $\lambda, \mu$ nell'insieme dei numeri reali, fornisce le equazioni di tutti i piani che contengono la retta .

A noi serve un piano che, oltre a contenere la retta , sia anche parallelo a . Scriviamo il vettore dei coefficienti direttori dei piani del fascio

$\mathbf{n}_{\mathrm{F}} = (\lambda+\mu, \ -\lambda+\mu, \ -\mu)$

e imponiamo che il prodotto scalare tra $\mathbf{n}_{\mathrm{F}}$ e il vettore direzione della retta sia nullo

$\\ \mathbf{n}_{\mathrm{F}} \cdot \mathbf{v}_s = 0 \\ \\ (\lambda+\mu, \ -\lambda+\mu, \ -\mu) \cdot (1,1,1) = 0 \\ \\ \lambda+\mu-\lambda+\mu-\mu = 0 \\ \\ \mu = 0$

Nell'equazione del fascio sostituiamo $\mu$ con e fissiamo un qualsiasi valore non nullo per $\lambda$ , ad esempio $\lambda=1$ , ottenendo così

$\alpha:\ x-y-1=0$

che è un piano contenente la retta e parallelo a .

Abbiamo quasi finito, infatti la distanza è uguale alla distanza di un qualunque punto di dal piano $\alpha$ .

Scegliendo $Q(0,-2,0) \in s$ si ricava che

$\\ d(r,s)=d(Q,\alpha)= \\ \\ = \frac{|ax_Q+by_Q+cz_Q+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|0-1(-2)+0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|2-1|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\square$

Verifichiamo che si giunge allo stesso risultato anche scegliendo l'altro metodo. Riportiamo, per comodità, le equazioni parametriche delle due rette

$\\ r:\ \begin{cases} x=t \\ y=-1+t \\ z=-1+2t\end{cases} \mbox{ con } t \in \mathbb{R} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x=u \\ y=-2+u \\ z=u\end{cases} \mbox{ con } u \in \mathbb{R}$

Scriviamo le coordinate cartesiane dei punti mobili delle due rette

$\\ P(t)=(t, \ -1+t, \ -1+2t) \in r \\ \\ Q(u)=(u, \ -2+u, \ u) \in s$

e ricaviamo le componenti del vettore $\overrightarrow{P(t)Q(u)}$

$\\ \overrightarrow{P(t)Q(u)} = Q(u)-P(t) =\\ \\ = (u-t, \ -2+u+1-t, \ u+1-2t) = \\ \\ = (u-t, \ u-t-1, \ u-2t+1)$

Proseguiamo imponendo che i prodotti scalari tra $\overrightarrow{P(t)Q(u)}$ e i vettori direzione delle due rette siano nulli

$\\ \overrightarrow{P(t)Q(u)} \cdot \mathbf{v}_r = 0 \\ \\ (u-t, \ u-t-1, \ u-2t+1) \cdot (1,1,2) = 0 \\ \\ u-t+u-t-1+2u-4t+2=0 \\ \\ 4u-6t+1=0 \\ \\ \overrightarrow{P(t)Q(u)} \cdot \mathbf{v}_s = 0 \\ \\ (u-t, \ u-t-1, \ u-2t+1) \cdot (1,1,1) = 0 \\ \\ u-t+u-t-1+u-2t+1=0 \\ \\ 3u-4t=0$

Risolviamo il sistema formato dalle due equazioni

$\begin{cases}4u-6t+1=0 \\ 3u-4t=0 \end{cases}$

la cui soluzione è

$\begin{cases}u=2 \\ t=\frac{3}{2} \end{cases}$

Sostituendo $t=\frac{3}{2}$ nelle coordinate parametriche del punto e nelle coordinate parametriche del punto otteniamo

$\\ P \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2\right) \in r\ \ \ ;\ \ \ Q(2,0,2) \in s$

La distanza tra tali punti uguaglia la distanza tra le rette :

$\\ d(r,s)=d(P,Q)= \\ \\ = \sqrt{(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2+(z_P-z_Q)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(\frac{3}{2}-2\right)^2+\left(\frac{1}{2}-0\right)^2+\left(2-2\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+0^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Con questo è davvero tutto! Per altri esercizi accuratamente svolti potete affidarvi alla barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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