Distanza tra due rette nello spazio
La distanza tra due rette nello spazio si calcola in modi differenti a seconda della posizione reciproca assunta dalle rette, ed è nulla se le due rette sono incidenti o parallele coincidenti.
Vediamo come affrontare una tra le richieste più frequenti negli esercizi: il calcolo della distanza tra due rette nello spazio. Il metodo che proporremo prevede di determinare dapprima la posizione reciproca tra le due rette, per poi calcolare la distanza in modi differenti a seconda di come sono disposte.
Vi anticipiamo che il caso più interessante riguarda la distanza tra rette sghembe, infatti se le rette sono parallele distinte ci si riduce a calcolare la distanza di un punto da una retta nello spazio, mentre se sono incidenti o parallele coincidenti la loro distanza è nulla.
Come calcolare la distanza tra rette nello spazio
Detto un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, siano
le due rette di cui vogliamo calcolare la distanza, che indichiamo con
.
La prima cosa da fare è stabilire la loro posizione reciproca, per poi procedere al calcolo della distanza in modi differenti a seconda che esse siano incidenti, parallele coincidenti, parallele distinte o sghembe.
In caso di dubbi, prima di procedere vi consigliamo la lettura della lezione dedicata alle posizioni reciproche tra rette nello spazio.
Caso 1 - Distanza tra rette incidenti nello spazio
Se le rette sono incidenti, la loro distanza è nulla
Caso 2 - Distanza tra rette parallele coincidenti nello spazio
Se sono parallele coincidenti, la loro reciproca distanza è nulla
Caso 3 - Distanza tra rette parallele distinte nello spazio
Se sono rette parallele distinte, la loro distanza è non nulla ed è uguale alla distanza di un punto qualsiasi della retta
dalla retta
In altri termini, per calcolare la distanza tra due rette parallele distinte basta fissare un qualsiasi punto su una delle due rette (ad esempio
) e determinare la distanza del punto
dalla retta
.
Se non sapete come fare: distanza di un punto da una retta nello spazio - click!
Caso 4) Distanza tra due rette sghembe
Il caso davvero interessante e più frequente negli esercizi è il calcolo della distanza tra due rette sghembe, detta anche minima distanza tra rette sghembe, che può essere calcolata in due modi distinti.
4.1) Distanza tra rette sghembe come distanza punto-piano
Indicando con due rette sghembe, la loro distanza è la distanza di un punto qualsiasi della retta
dal piano
passante per
e parallelo a
.
Per determinare procediamo nel modo seguente:
- scriviamo l'equazione cartesiana del piano passante per la retta
e parallelo a
(se non ricordate come fare: piano passante per una retta e parallelo a un'altra retta). Sia essa
- Fissiamo un qualsiasi punto della retta
.
- Calcoliamo la distanza del punto dal piano
usando la formula per la distanza punto-piano
dove sono i coefficienti delle incognite dell'equazione cartesiana del piano
.
- Finito! La distanza uguaglia la minima distanza tra le rette sghembe
4.2) Distanza tra rette sghembe come distanza tra due punti
La distanza tra due rette sghembe può essere equivalentemente calcolata come la distanza tra due opportuni punti , appartenenti rispettivamente alle rette
e tali che il vettore
sia ortogonale sia a
che a
.
Per calcolare la distanza procediamo nel modo seguente:
- ricaviamo le equazioni parametriche delle rette avendo l'accortezza di assegnare nomi diversi ai parametri liberi che compaiono nelle equazioni delle due rette
- Determiniamo un vettore direzione della retta e un vettore direzione della retta
:
- Indicando con rispettivamente i punti "mobili" delle rette
, ossia i generici punti con coordinate espresse parametricamente
determiniamo le componenti del vettore parametrico
- A questo punto imponiamo che siano nulli i prodotti scalari tra tale vettore e i vettori direttori delle rette , ricavando così due equazioni lineari nelle incognite
. Mettiamole a sistema
- Risolviamo il suddetto sistema lineare, ottenendo la soluzione .
- Nelle coordinate del punto mobile della retta
sostituiamo
con
, e nelle coordinate del punto mobile
della retta
sostituiamo
con
.
- Denominando con
i due punti così ottenuti, la distanza tra le rette sghembe coincide con la distanza tra i punti
Esempi sul calcolo della distanza tra rette nello spazio
Esempio 1
Calcolare la distanza tra le rette
Svolgimento: iniziamo con lo studio della posizione reciproca tra le due rette. Calcoliamo il determinante della matrice
dove
è un punto della retta
;
è un punto della retta
;
è un vettore direzione della retta
;
è un vettore direzione della retta
.
Poiché disponiamo delle equazioni parametriche delle due rette, è immediato determinare le coordinate cartesiane di due rispettivi punti e scriverne i vettori direzione.
Ponendo troviamo un punto della retta
Ponendo troviamo un punto di
Infine, le componenti dei vettori direzione delle due rette sono i coefficienti dei termini parametrici presi ordinatamente
di conseguenza
Ciò permette di concludere che sono rette complanari, e per stabilire se sono parallele distinte, parallele coincidenti o incidenti è sufficiente considerare la matrice
e calcolarne il rango. Se è massimo le rette sono incidenti, in caso contrario sono parallele (distinte o coincidenti).
Dal momento che
sono rette incidenti, e quindi la loro distanza è nulla
Esempio 2
Determinare il valore della distanza tra le rette
Svolgimento: è quasi immediato stabilire che sono rette parallele distinte, infatti i vettori dei coefficienti direttori
sono linearmente dipendenti, ed esiste un punto della retta , ad esempio
che non appartiene a .
La distanza tra le due rette è allora uguale alla distanza di un punto qualunque della retta dalla retta
Scelto il punto , la distanza cercata è pari alla distanza tra i punti
, dove
è il punto di intersezione tra la retta
e il piano
ortogonale a
e passante per
.
In generale, per ricavare l'equazione del piano ortogonale a una retta e passante per un punto occorre scrivere l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi
sostituire i coefficienti delle incognite con le componenti del vettore direzione della retta, per poi imporre il passaggio per il punto
.
Il vettore direzione della retta è
dunque
Imponendo il passaggio per il punto si ricade nell'equazione di primo grado
che ha per soluzione
per cui il piano ha equazione
Calcoliamo le coordinate del punto di intersezione tra il piano e la retta
A tal proposito dobbiamo sostituire le coordinate parametriche di nell'equazione di
e risolviamo l'equazione che ne scaturisce
Le coordinate del punto di intersezione tra retta e piano si ricavano sostituendo la soluzione così ottenuta nelle equazioni parametriche di
dunque
Ci siamo: la distanza tra le due rette è data dalla distanza tra i punti
Esempio 3
Verificare che le rette
sono sghembe e calcolare la loro distanza.
Svolgimento: per stabilire se sono rette sghembe conviene considerare
e passare dalle equazioni cartesiane della retta alle parametriche
Calcoliamo i vettori direzione delle due rette
e fissiamo due punti, uno di e l'altro di
Se il determinante della matrice
è non nullo, allora sono sghembe.
dunque le rette sono sghembe.
Per calcolarne la distanza usiamo dapprima il metodo della distanza punto piano, per poi verificare che si giunge allo stesso risultato usando anche l'altra strategia.
Iniziamo col determinare l'equazione del piano contenente la retta
e parallelo alla retta
.
Disponendo delle equazioni cartesiane della retta , possiamo scrivere in men che non si dica l'equazione del fascio proprio di piani avente come sostegno
ossia
La precedente equazione, al variare dei parametri nell'insieme dei numeri reali, fornisce le equazioni di tutti i piani che contengono la retta
.
A noi serve un piano che, oltre a contenere la retta , sia anche parallelo a
. Scriviamo il vettore dei coefficienti direttori dei piani del fascio
e imponiamo che il prodotto scalare tra e il vettore direzione della retta
sia nullo
Nell'equazione del fascio sostituiamo con
e fissiamo un qualsiasi valore non nullo per
, ad esempio
, ottenendo così
che è un piano contenente la retta e parallelo a
.
Abbiamo quasi finito, infatti la distanza è uguale alla distanza di un qualunque punto di
dal piano
.
Scegliendo si ricava che
Verifichiamo che si giunge allo stesso risultato anche scegliendo l'altro metodo. Riportiamo, per comodità, le equazioni parametriche delle due rette
Scriviamo le coordinate cartesiane dei punti mobili delle due rette
e ricaviamo le componenti del vettore
Proseguiamo imponendo che i prodotti scalari tra e i vettori direzione delle due rette siano nulli
Risolviamo il sistema formato dalle due equazioni
la cui soluzione è
Sostituendo nelle coordinate parametriche del punto
e
nelle coordinate parametriche del punto
otteniamo
La distanza tra tali punti uguaglia la distanza tra le rette :
Con questo è davvero tutto! Per altri esercizi accuratamente svolti potete affidarvi alla barra di ricerca interna, e ancor prima alla scheda correlata. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
Tags: come calcolare la distanza tra due rette nello spazio - distanza tra rette sghembe.