Distanza tra due piani

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La distanza tra due piani è zero se i piani sono incidenti o paralleli coincidenti, ed è non nulla se essi sono paralleli distinti. In quest'ultimo caso la distanza tra i due piani è pari alla distanza di un qualunque punto del primo piano dal secondo.

 

Continuiamo lo studio delle distanze reciproche tra punti, rette e piani nello spazio tridimensionale occupandoci della distanza tra piani: presenteremo un metodo di calcolo molto semplice che si rifà allo studio della posizione reciproca tra piani e al calcolo della distanza punto-piano.

 

Alla spiegazione del metodo seguiranno un paio di esercizi svolti che vi aiuteranno a prendere confidenza con il procedimento e a chiarire ogni eventuale dubbio.

 

Come calcolare la distanza tra due piani

 

Detto RC(O, i, j, k) un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, siano

 

α: a_1x+b_1y+c_1z+d_1 = 0 ; β: a_2x+b_2y+c_2z+d_2 = 0

 

le equazioni cartesiane di due piani.

 

Per calcolare la distanza tra i piani α,β, detta essa d(α, β), la prima cosa da fare è stabilirne la posizione reciproca studiando la compatibilità del sistema lineare formato dalle equazioni dei piani

 

a_1x+b_1y+c_1z+d_1 = 0 ; a_2x+b_2y+c_2z+d_2 = 0

 

Sono date le seguenti possibilità.

 

 

Caso 1 - Piani incidenti

 

Se il sistema ammette ∞^1 soluzioni allora i piani sono incidenti, e la loro distanza è nulla

 

α,β incidenti ⇒ d(α, β) = 0

 

 

Caso 2 - Piani paralleli coincidenti

 

Se il sistema ammette ∞^2 soluzioni segue che α,β sono piani paralleli coincidenti e anche in questo caso la distanza d(α, β) è nulla

 

α,β paralleli coincidenti ⇒ d(α, β) = 0

 

 

Caso 3 - Piani paralleli distinti

 

Se il sistema è impossibile allora α,β sono piani paralleli distinti, e la loro distanza è uguale alla distanza di un qualsiasi punto del piano α dal piano β

 

α,β paralleli distinti ⇒ d(α, β) = d(P, β) con P ∈ α

 

Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che, detto P(x_P,y_P,z_P) un qualsiasi punto del piano α, la distanza di P dal piano

 

β: a_2x+b_2y+c_2z+d_2 = 0

 

si calcola con la formula

 

d(P,β) = (|a_2x_P+b_2y_P+c_2z_P+d_2|)/(√(a_2^2+b_2^2+c_2^2))

 

di cui abbiamo fornito la dimostrazione nella lezione sulla distanza punto-piano.

 

 

Osservazione (distanza tra piani in forma parametrica)

 

Se il testo dell'esercizio dovesse fornire uno dei piani (o entrambi) in forma parametrica, basterebbe passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana e applicare il medesimo procedimento.

 

Esempi sul calcolo della distanza tra due piani

 

Concludiamo la lezione con un paio di esempi di svolti sul calcolo della distanza tra piani.

 

 

Esempio 1

 

Calcolare la distanza tra i piani

 

α: 2x-y+z = 0 ; β: x+2y-z+1 = 0

 

Svolgimento: la prima cosa da fare è stabilire se i piani sono incidenti, paralleli distinti o paralleli coincidenti studiando la compatibilità del sistema formato dalle loro equazioni

 

2x-y+z = 0 ; x+2y-z+1 = 0

 

Usiamo il teorema di Rouché-Capelli. Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono

 

A = [2 -1 1 ; 1 2 -1] ; (A | b) = [2 -1 1 | 0 ; 1 2 -1 | -1]

 

ed entrambe hanno rango 2, infatti

 

[2 -1 ; 1 2]

 

è una sottomatrice sia di A che di (A|b) con determinante diverso da zero.

 

Il numero delle incognite del sistema è n = 3, dunque per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile e ammette ∞^(n-rk(A)) = ∞^1 soluzioni.

 

Concludiamo che i due piani sono incidenti, dunque la loro distanza è nulla.

 

 

Esempio 2

 

Determinare la distanza tra i piani

 

α: x+y+z+1 = 0 ; β: 2x+2y+2z = 0

 

Svolgimento: il sistema composto dalle equazioni dei due piani

 

x+y+z+1 = 0 ; 2x+2y+2z = 0

 

è impossibile, infatti la matrice dei coefficienti

 

A = [1 1 1 ; 2 2 2]

 

ha rango 1, mentre la matrice completa

 

(A|b) = [1 1 1 | -1 ; 2 2 2 | 0]

 

ha rango 2. Da ciò si deduce che α,β sono piani paralleli distinti.

 

Per calcolarne la distanza fissiamo un qualsiasi punto di α, ad esempio P(0,0,-1), e calcoliamone la distanza dal piano

 

β: 2x+2x+2z = 0

 

Sotto con la formula! :)

 

d(P, β) = (|ax_P+by_P+cz_P+d|)/(√(a^2+b^2+c^2)) = (|(2)(0)+(2)(0)+(2)(-1)+0|)/(√(2^2+2^2+2^2)) = (|-2|)/(√(12)) = (2)/(2√(3)) = (1)/(√(3))

 

Abbiamo finito! La distanza tra i piani assegnati è

 

d(α, β) = d(P, β) = (1)/(√(3))

 

 

 

Non perdetevi le prossime lezioni! Ci occuperemo della distanza tra due rette nello spazio e della distanza retta-piano, con cui chiuderemo definitivamente la parte del corso dedicata alle distanze.

 

Al solito, vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, a partire dalla scheda correlata. Per il resto potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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