Distanza tra due piani

La distanza tra due piani è zero se i piani sono incidenti o paralleli coincidenti, ed è non nulla se essi sono paralleli distinti. In quest'ultimo caso la distanza tra i due piani è pari alla distanza di un qualunque punto del primo piano dal secondo.

Continuiamo lo studio delle distanze reciproche tra punti, rette e piani nello spazio tridimensionale occupandoci della distanza tra piani: presenteremo un metodo di calcolo molto semplice che si rifà allo studio della posizione reciproca tra piani e al calcolo della distanza punto-piano.

Alla spiegazione del metodo seguiranno un paio di esercizi svolti che vi aiuteranno a prendere confidenza con il procedimento e a chiarire ogni eventuale dubbio.

Come calcolare la distanza tra due piani

Detto $RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, siano

$\\ \alpha:\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ \\ \beta:\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$

le equazioni cartesiane di due piani.

Per calcolare la distanza tra i piani $\alpha,\beta$ , detta essa $d(\alpha, \beta)$ , la prima cosa da fare è stabilirne la posizione reciproca studiando la compatibilità del sistema lineare formato dalle equazioni dei piani

$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}$

Sono date le seguenti possibilità.

Caso 1 - Piani incidenti

Se il sistema ammette $\infty^1$ soluzioni allora i piani sono incidenti, e la loro distanza è nulla

$\alpha,\beta \mbox{ incidenti } \Rightarrow\ d(\alpha, \beta)=0$

Caso 2 - Piani paralleli coincidenti

Se il sistema ammette $\infty^2$ soluzioni segue che $\alpha,\beta$ sono piani paralleli coincidenti e anche in questo caso la distanza $d(\alpha, \beta)$ è nulla

$\alpha,\beta \mbox{ paralleli coincidenti } \Rightarrow\ d(\alpha, \beta)=0$

Caso 3 - Piani paralleli distinti

Se il sistema è impossibile allora $\alpha,\beta$ sono piani paralleli distinti, e la loro distanza è uguale alla distanza di un qualsiasi punto del piano $\alpha$ dal piano $\beta$

$\alpha,\beta \mbox{ paralleli distinti } \Rightarrow\ d(\alpha, \beta)=d(P, \beta)\ \mbox{ con } P \in \alpha$

Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che, detto un qualsiasi punto del piano $\alpha$ , la distanza di dal piano

$\beta:\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$

si calcola con la formula

$d(P,\beta) = \frac{|a_2x_P+b_2y_P+c_2z_P+d_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$

di cui abbiamo fornito la dimostrazione nella lezione sulla distanza punto-piano.

Osservazione (distanza tra piani in forma parametrica)

Se il testo dell'esercizio dovesse fornire uno dei piani (o entrambi) in forma parametrica, basterebbe passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana e applicare il medesimo procedimento.

Esempi sul calcolo della distanza tra due piani

Concludiamo la lezione con un paio di esempi di svolti sul calcolo della distanza tra piani.

Esempio 1

Calcolare la distanza tra i piani

$\\ \alpha:\ 2x-y+z=0 \\ \\ \beta:\ x+2y-z+1=0$

Svolgimento: la prima cosa da fare è stabilire se i piani sono incidenti, paralleli distinti o paralleli coincidenti studiando la compatibilità del sistema formato dalle loro equazioni

$\begin{cases}2x-y+z=0 \\ x+2y-z+1=0 \end{cases}$

Usiamo il teorema di Rouché-Capelli. Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono

$\\ A=\begin{pmatrix}2&-1&1 \\ 1&2&-1\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A | \mathbf{b}) = \begin{pmatrix}2&-1&1&|&0 \\ 1&2&-1&|&-1\end{pmatrix}$

ed entrambe hanno rango 2, infatti

$\begin{pmatrix}2&-1 \\ 1&2\end{pmatrix}$

è una sottomatrice sia di che di $(A|\mathbf{b})$ con determinante diverso da zero.

Il numero delle incognite del sistema è , dunque per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile e ammette $\infty^{n-\mbox{rk}(A)}=\infty^1$ soluzioni.

Concludiamo che i due piani sono incidenti, dunque la loro distanza è nulla.

Esempio 2

Determinare la distanza tra i piani

$\\ \alpha:\ x+y+z+1=0 \\ \\ \beta:\ 2x+2y+2z=0$

Svolgimento: il sistema composto dalle equazioni dei due piani

$\begin{cases} x+y+z+1=0 \\ 2x+2y+2z=0\end{cases}$

è impossibile, infatti la matrice dei coefficienti

$A=\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2&2&2\end{pmatrix}$

ha rango 1, mentre la matrice completa

$(A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}1&1&1&|&-1 \\ 2&2&2&|&0\end{pmatrix}$

ha rango 2. Da ciò si deduce che $\alpha,\beta$ sono piani paralleli distinti.

Per calcolarne la distanza fissiamo un qualsiasi punto di $\alpha$ , ad esempio , e calcoliamone la distanza dal piano

$\beta:\ 2x+2x+2z=0$

Sotto con la formula! :)

$\\ d(P, \beta) = \frac{|ax_P+by_P+cz_P+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|(2)(0)+(2)(0)+(2)(-1)+0|}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|-2|}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}}= \frac{1}{\sqrt{3}}$

Abbiamo finito! La distanza tra i piani assegnati è

$d(\alpha, \beta) = d(P, \beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Non perdetevi le prossime lezioni! Ci occuperemo della distanza tra due rette nello spazio e della distanza retta-piano, con cui chiuderemo definitivamente la parte del corso dedicata alle distanze.

Al solito, vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, a partire dalla scheda correlata. Per il resto potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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