Distanza tra due piani
La distanza tra due piani è zero se i piani sono incidenti o paralleli coincidenti, ed è non nulla se essi sono paralleli distinti. In quest'ultimo caso la distanza tra i due piani è pari alla distanza di un qualunque punto del primo piano dal secondo.
Continuiamo lo studio delle distanze reciproche tra punti, rette e piani nello spazio tridimensionale occupandoci della distanza tra piani: presenteremo un metodo di calcolo molto semplice che si rifà allo studio della posizione reciproca tra piani e al calcolo della distanza punto-piano.
Alla spiegazione del metodo seguiranno un paio di esercizi svolti che vi aiuteranno a prendere confidenza con il procedimento e a chiarire ogni eventuale dubbio.
Come calcolare la distanza tra due piani
Detto un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, siano
le equazioni cartesiane di due piani.
Per calcolare la distanza tra i piani , detta essa
, la prima cosa da fare è stabilirne la posizione reciproca studiando la compatibilità del sistema lineare formato dalle equazioni dei piani
Sono date le seguenti possibilità.
Caso 1 - Piani incidenti
Se il sistema ammette soluzioni allora i piani sono incidenti, e la loro distanza è nulla
Caso 2 - Piani paralleli coincidenti
Se il sistema ammette soluzioni segue che
sono piani paralleli coincidenti e anche in questo caso la distanza
è nulla
Caso 3 - Piani paralleli distinti
Se il sistema è impossibile allora sono piani paralleli distinti, e la loro distanza è uguale alla distanza di un qualsiasi punto del piano
dal piano
Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che, detto un qualsiasi punto del piano
, la distanza di
dal piano
si calcola con la formula
di cui abbiamo fornito la dimostrazione nella lezione sulla distanza punto-piano.
Osservazione (distanza tra piani in forma parametrica)
Se il testo dell'esercizio dovesse fornire uno dei piani (o entrambi) in forma parametrica, basterebbe passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana e applicare il medesimo procedimento.
Esempi sul calcolo della distanza tra due piani
Concludiamo la lezione con un paio di esempi di svolti sul calcolo della distanza tra piani.
Esempio 1
Calcolare la distanza tra i piani
Svolgimento: la prima cosa da fare è stabilire se i piani sono incidenti, paralleli distinti o paralleli coincidenti studiando la compatibilità del sistema formato dalle loro equazioni
Usiamo il teorema di Rouché-Capelli. Le matrici incompleta e completa associate al sistema sono
ed entrambe hanno rango 2, infatti
è una sottomatrice sia di che di
con determinante diverso da zero.
Il numero delle incognite del sistema è , dunque per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è compatibile e ammette
soluzioni.
Concludiamo che i due piani sono incidenti, dunque la loro distanza è nulla.
Esempio 2
Determinare la distanza tra i piani
Svolgimento: il sistema composto dalle equazioni dei due piani
è impossibile, infatti la matrice dei coefficienti
ha rango 1, mentre la matrice completa
ha rango 2. Da ciò si deduce che sono piani paralleli distinti.
Per calcolarne la distanza fissiamo un qualsiasi punto di , ad esempio
, e calcoliamone la distanza dal piano
Sotto con la formula! :)
Abbiamo finito! La distanza tra i piani assegnati è
Non perdetevi le prossime lezioni! Ci occuperemo della distanza tra due rette nello spazio e della distanza retta-piano, con cui chiuderemo definitivamente la parte del corso dedicata alle distanze.
Al solito, vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, a partire dalla scheda correlata. Per il resto potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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