Distanza tra due punti nello spazio

La distanza tra due punti nello spazio, in termini euclidei, è la norma di uno dei vettori avente per estremi i due punti, e si può calcolare a partire dalle coordinate cartesiane dei punti in esame.

 

Nelle lezioni precedenti ci siamo dedicati alle posizioni reciproche tra rette, tra piani e tra retta e piano. Abbiamo visto come si definiscono gli angoli tra rette, degli angoli tra piani e dell'angolo tra retta e piano, e abbiamo esplicitato le formule permettono di calcolarne le ampiezze. Tenendo a mente quanto detto fin qui possiamo finalmente occuparci delle distanze tra enti geometrici nello spazio, cominciando con la distanza euclidea tra due punti.

 

Nel corso della spiegazione presenteremo la formula della distanza tra due punti nello spazio, vi spiegheremo da dove deriva e mostreremo come applicarla nella risoluzione degli esercizi.

 

Formula della distanza tra due punti nello spazio

 

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}) e consideriamo due punti A,B.

 

Si definisce distanza euclidea tra i punti A e B, e si indica con d(A,B), la norma del vettore che ha per estremi i punti A,B

 

d(A,B) := ||\overrightarrow{AB}||

 

Per come è definita la norma euclidea possiamo indifferentemente scrivere

 

d(A,B) := ||\overrightarrow{BA}||

 

 

Distanza tra due punti nello spazio

Distanza tra due punti nello spazio.

 

 

Se sono note le coordinate cartesiane dei due punti

 

A(x_A, y_A, z_A), \ B(x_B, y_B, z_B)

 

la formula per calcolare la distanza tra i punti A,B è la seguente

 

 

d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

 

 

A parole: la distanza tra due punti dello spazio è la radice della somma tra i quadrati delle differenze tra le omonime coordinate dei due punti.

 

Dimostrazione della formula per la distanza tra due punti nello spazio

 

Detto RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, consideriamo due punti

 

A(x_A, y_A, z_A), \ B(x_B, y_B, z_B)

 

e sia \overrightarrow{AB} il vettore che ha A come punto di applicazione e B come secondo estremo.

 

Le terne ordinate (x_A, y_A, z_A), \ (x_B, y_B, z_B) che individuano le coordinate cartesiane dei due punti sono, per definizione, le componenti dei vettori \overrightarrow{OA}, \ \overrightarrow{OB} rispetto alla base \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}, dunque

 

\\ \overrightarrow{OA}=x_A\mathbf{i}+y_A\mathbf{j}+z_A\mathbf{k} \\ \\ \overrightarrow{OB}=x_B\mathbf{i}+y_B\mathbf{j}+z_B\mathbf{k}

 

 

Dimostrazione formula per la distanza tra due punti nello spazio

Dimostrazione della formula per la distanza
tra due punti nello spazio.

 

 

Osservando la precedente immagine è immediato notare che il vettore \overrightarrow{AB} è la diagonale del parallelogramma che ha per lati i vettori \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB}.

 

Per la regola del parallelogramma

 

\\ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}= \\ \\ = x_B\mathbf{i}+y_B\mathbf{j}+z_B\mathbf{k} - (x_A\mathbf{i}+y_A\mathbf{j}+z_A\mathbf{k}) = \\ \\ = (x_B-x_A)\mathbf{i} + (y_B-y_A)\mathbf{j} + (z_B-z_A) \mathbf{k}

 

In definitiva le componenti del vettore \overrightarrow{AB}, rispetto alla base che definisce il sistema di riferimento, uguagliano la differenza delle coordinate dei punti B,A

 

\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\mathbf{i} + (y_B-y_A)\mathbf{j} + (z_B-z_A) \mathbf{k}

 

La distanza tra A,B è per definizione la norma di \overrightarrow{AB}, e si calcola come la radice della somma dei quadrati delle componenti

 

d(A,B):=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

 

il che conclude la dimostrazione.

 

Esempi sul calcolo della distanza tra due punti nello spazio

 

Esempio 1) Calcolare la distanza tra i punti A(1,1,1), \ B(3,1,2).

 

Svolgimento: applicando la formula

 

\\ d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(3-1)^2+(1-1)^2+(2-1)^2} = \\ \\ = \sqrt{2^2+0^2+1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}

 

si ottiene che la distanza tra A e B è pari a \sqrt{5}.

 

 

Esempio 2) Determinare la distanza del punto A(3,-1,4) dal punto B(-1,0,3).

 

Svolgimento: come prima, è sufficiente ricorrere alla formula della distanza tra due punti

 

\\ d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-1-3)^2+(0-(-1))^2+(3-4)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-4)^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{16+1+1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

 

 

Esempio 3) Calcolare la distanza del punto A(2,-1,1) dall'origine del sistema di riferimento.

 

Svolgimento: applichiamo ancora una volta la solita formula, tenendo presente che le coordinate cartesiane dell'origine sono O(0,0,0)

 

\\ d(A,O)=\sqrt{(x_O-x_A)^2+(y_O-y_A)^2+(z_O-z_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(0-2)^2+(0-(-1))^2+(0-1)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}

 

Proprietà della distanza tra due punti nello spazio

 

Riportiamo ora tre basilari ma importantissime proprietà della distanza euclidea tra due punti dello spazio, che discendo dalla definizione stessa di distanza.

 

 

A) Qualsiasi siano i punti A,B, il valore d(A,B) è necessariamente non negativo, perché tale è la norma di un vettore

 

d(A,B) \ge 0\ \ \ \forall A,B

 

 

B) La distanza tra due punti A,B è nulla se e solo se \overrightarrow{AB} è il vettore nullo, cioè se e solo se i punti tra cui si calcola la distanza coincidono

 

d(A,B)=0 \iff A \equiv B

 

 

C) Cambiando l'ordine dei punti tra cui si calcola la distanza non cambia il risultato, infatti i vettori \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BA} hanno la stessa norma

 

d(A,B)=d(B,A)

 

D) Vale la disuguaglianza triangolare: presi tre punti A,B,C, la distanza tra A e B non supera la distanza tra A e C sommata a quella tra C e B

 

d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B)

 


 

È tutto! Per altri esercizi svolti potete usare la barra di ricerca, e per controllarne i risultati potete fare affidamento al tool per il calcolo della distanza tra due punti online.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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