Angolo tra retta e piano

L'angolo tra una retta e un piano nello spazio è l'angolo acuto che la retta forma con la propria proiezione ortogonale sul piano se essa è incidente il piano e non ortogonale al piano; in alternativa, è l'angolo retto che essa forma con il piano se è ortogonale ad esso, o ancora l'angolo nullo se la retta è parallela al piano o contenuta in esso.

Nelle precedenti lezioni abbiamo già avuto modo di trattare le nozioni di angoli tra rette nello spazio e di angoli tra piani. L'ultimo caso che ci resta da affrontare riguarda l'angolo formato da retta e piano: come di consueto partiremo dalla definizione, per poi passare alle formule e a una serie di esempi risolti e commentati nel dettaglio.

Il calcolo dell'angolo tra retta e piano si riconduce al calcolo dell'angolo tra due rette nello spazio, seppur con meno insidie, per cui consigliamo a chi non l'avesse già fatto di leggere la relativa lezione prima di proseguire.

Definizione di angolo tra retta e piano

Consideriamo un piano e una retta  in un riferimento cartesiano ortonormale , e supponiamo che sia incidente e non ortogonale ad esso.

Si definisce angolo tra la retta e il piano , e si indica con

uno qualsiasi dei due angoli acuti che forma con la retta , data dalla proiezione ortogonale di su .

Per avere un'idea concreta disegniamo una retta e un piano incidenti in un punto e riportiamo la proiezione ortogonale della retta sul piano, chiamandola .

Esempio di angolo formato da una retta e un piano incidenti e non ortogonali.

Per com'è stato definito l'angolo tra retta e piano:

Se ben ricordate l'angolo tra due rette nello spazio dipende dall'orientazione delle rette. In questo caso però l'angolo , e quindi l'angolo , non dipende dall'orientazione di , tant'è vero che:

- se la retta è orientata secondo il vettore , allora è orientata come il vettore ;

- se segue il verso del vettore , allora segue il verso di .

In questo modo si escludono due dei quattro possibili angoli in figura.

Considerando poi che gli angoli tra i vettori

sono congruenti in quanto angoli opposti al vertice, possiamo concludere che ha senso parlare di ampiezza dell'angolo (e non degli angoli) indipendentemente dall'orientazione di .

Per avere una definizione completa rimangono da considerare tre casi relativi alle possibili posizioni tra retta e piano:

- se la retta è incidente e ortogonale ad esso, diremo banalmente che

- se invece la retta è parallela al piano, esterna o interna, diremo che

Formula per calcolare l'angolo tra retta e piano

Volendo attenerci alla definizione di angolo tra retta e piano, per determinare l'ampiezza dell'angolo dovremmo scrivere l'equazione della retta per poi calcolare l'ampiezza dell'angolo (acuto o retto) tra .

In realtà c'è un metodo più comodo e veloce. Detto

un vettore dei coefficienti direttori del piano, e detto

uno dei vettori direttori della retta , l'angolo tra retta e piano è dato dalla formula

Dimostrazione della formula per calcolare l'angolo tra retta e piano

Per chi vuole approfondire, ecco la dimostrazione della formula per l'ampiezza dell'angolo tra piano e retta; qualora non vi interessasse (male!) potete saltarla e passare direttamente all'esempio.

Supponiamo che retta e piano siano incidenti non ortogonalmente. Dalla precedente immagine è immediato notare che l'angolo acuto individuato dalle rette è il complementare dell'angolo acuto formato dalle rette

Per le formule trigonometriche sugli archi associati

La direzione della retta è la direzione ortogonale al piano

ed è individuata dal corrispondente vettore dei coefficienti direttori del piano

Inoltre, detto un vettore direttore della retta , possiamo calcolare gli angoli convessi tra le due rette con la formula

Nella nostra ipotesi di non parallelismo e di non perpendicolarità il simbolo fornisce il valore di due angoli supplementari, uno acuto e l'altro ottuso.

A noi interessa l'angolo acuto, di conseguenza il coseno deve essere positivo

e ciò prova la validità della formula nell'ipotesi di retta e piano incidenti non ortogonalmente.

Se retta e piano sono ortogonali l'angolo deve avere ampiezza pari a 90°

D'altra parte i vettori sono paralleli, e dunque linearmente dipendenti

dunque, grazie alle proprietà della norma euclidea

il che prova la validità della formula.

Da ultimo, nel caso di parallelismo interno o esterno tra retta e piano l'angolo deve valere 0°, ossia

e inoltre i vettori direttori di retta e piano devono essere ortogonali, dunque il loro prodotto scalare euclideo deve essere nullo

da cui la tesi.

Esempio sul calcolo dell'ampiezza dell'angolo tra retta e piano

Calcolare l'ampiezza dell'angolo individuato dalla retta

e dal piano

Svolgimento: per determinare l'ampiezza dell'angolo ci servono un vettore che individui la direzione della retta e il vettore dei coefficienti direttori del piano.

Dalle equazioni parametriche della retta è immediato risalire al relativo vettore direzione

Le componenti del vettore dei coefficienti direttori di un piano in forma cartesiana sono, nell'ordine, i coefficienti delle incognite dell'equazione cartesiana, dunque

L'angolo tra retta e piano è dato dalla formula

Nell'intervallo l'unica soluzione dell'equazione goniometrica

è

dunque retta e piano formano un angolo di 60°.

Con questa lezione chiudiamo la parte del corso dedicata alle posizioni reciproche e agli angoli. Dalla prossima concentreremo la nostra attenzione sulle distanze, partendo dalla distanza tra due punti nello spazio, per poi occuparci della distanza punto-retta e della distanza punto-piano.

Nel frattempo, per qualsiasi dubbio o per altri esercizi svolti sul calcolo dell'angolo tra piano e retta potete fare affidamento sulla barra di ricerca interna, nonché sulla scheda correlata. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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