Angolo tra retta e piano

L'angolo tra una retta e un piano nello spazio è l'angolo acuto che la retta forma con la propria proiezione ortogonale sul piano se essa è incidente il piano e non ortogonale al piano; in alternativa, è l'angolo retto che essa forma con il piano se è ortogonale ad esso, o ancora l'angolo nullo se la retta è parallela al piano o contenuta in esso.

 

Nelle precedenti lezioni abbiamo già avuto modo di trattare le nozioni di angoli tra rette nello spazio e di angoli tra piani. L'ultimo caso che ci resta da affrontare riguarda l'angolo formato da retta e piano: come di consueto partiremo dalla definizione, per poi passare alle formule e a una serie di esempi risolti e commentati nel dettaglio.

 

Il calcolo dell'angolo tra retta e piano si riconduce al calcolo dell'angolo tra due rette nello spazio, seppur con meno insidie, per cui consigliamo a chi non l'avesse già fatto di leggere la relativa lezione prima di proseguire.

 

Definizione di angolo tra retta e piano

 

Consideriamo un piano \alpha e una retta r in un riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}), e supponiamo che r sia incidente \alpha e non ortogonale ad esso.

 

Si definisce angolo tra la retta r e il piano \alpha, e si indica con

 

\widehat{r \alpha}

 

uno qualsiasi dei due angoli acuti che r forma con la retta r', data dalla proiezione ortogonale di r su \alpha.

 

Per avere un'idea concreta disegniamo una retta r e un piano \alpha incidenti in un punto P e riportiamo la proiezione ortogonale della retta sul piano, chiamandola r'.

 

 

Angolo tra retta e piano

Esempio di angolo formato da una retta e un piano incidenti e non ortogonali.

 

 

Per com'è stato definito l'angolo tra retta e piano:

 

\widehat{r \alpha} = \widehat{r r'} = \phi

 

Se ben ricordate l'angolo tra due rette nello spazio dipende dall'orientazione delle rette. In questo caso però l'angolo \widehat{r r'}, e quindi l'angolo \widehat{r \alpha}, non dipende dall'orientazione di r, tant'è vero che:

 

- se la retta r è orientata secondo il vettore \overrightarrow{PP_1}, allora r' è orientata come il vettore \overrightarrow{PP_1'};

 

- se r segue il verso del vettore \overrightarrow{PP_2}, allora r' segue il verso di \overrightarrow{PP_2'}.

 

In questo modo si escludono due dei quattro possibili angoli in figura.

 

Considerando poi che gli angoli tra i vettori

 

\overrightarrow{PP_1},\ \overrightarrow{PP_1'}\ \ \ \ ;\ \ \ \overrightarrow{PP_2}, \ \overrightarrow{PP_2'}

 

sono congruenti in quanto angoli opposti al vertice, possiamo concludere che ha senso parlare di ampiezza dell'angolo \widehat{r \alpha} (e non degli angoli) indipendentemente dall'orientazione di r.

 

Per avere una definizione completa rimangono da considerare tre casi relativi alle possibili posizioni tra retta e piano:

 

- se la retta r è incidente \alpha e ortogonale ad esso, diremo banalmente che

 

\widehat{r \alpha} =90^\circ

 

- se invece la retta r è parallela al piano, esterna o interna, diremo che

 

\widehat{r \alpha} =0^\circ

 

Formula per calcolare l'angolo tra retta e piano

 

Volendo attenerci alla definizione di angolo tra retta e piano, per determinare l'ampiezza dell'angolo \widehat{r} \alpha dovremmo scrivere l'equazione della retta r' per poi calcolare l'ampiezza dell'angolo (acuto o retto) tra r,r'.

 

In realtà c'è un metodo più comodo e veloce. Detto

 

\mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c)

 

un vettore dei coefficienti direttori del piano, e detto

 

\mathbf{v}_r=(l,m,n)

 

uno dei vettori direttori della retta r, l'angolo \widehat{r \alpha} tra retta e piano è dato dalla formula

 

 

\sin(\widehat{r \alpha}) = \frac{|\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{v}_r|}{||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\mathbf{v}_r||} = \frac{|al+bm+cn|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \ \sqrt{l^2+m^2+n^2}}

 

 

 

Dimostrazione della formula per calcolare l'angolo tra retta e piano

 

Per chi vuole approfondire, ecco la dimostrazione della formula per l'ampiezza dell'angolo tra piano e retta; qualora non vi interessasse (male!) potete saltarla e passare direttamente all'esempio.

 

Supponiamo che retta e piano siano incidenti non ortogonalmente. Dalla precedente immagine è immediato notare che l'angolo acuto individuato dalle rette r,r' è il complementare dell'angolo acuto \mu formato dalle rette r,s

 

\widehat{r \alpha} = \widehat{rr'} = \frac{\pi}{2}-\widehat{rs}

 

Per le formule trigonometriche sugli archi associati

 

\sin(\widehat{r \alpha}) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\widehat{rs}\right) = \cos(\widehat{rs})

 

La direzione della retta s è la direzione ortogonale al piano

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

ed è individuata dal corrispondente vettore dei coefficienti direttori del piano

 

\mathbf{v}_s=\mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c)

 

Inoltre, detto \mathbf{v}_r=(l,m,n) un vettore direttore della retta r, possiamo calcolare gli angoli convessi tra le due rette con la formula

 

\cos(\widehat{rs}) = \pm \frac{\mathbf{v}_s \cdot \mathbf{v}_r}{||\mathbf{v}_s|| \ ||\mathbf{v}_r||}=\pm \frac{al+bm+cn}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \ \sqrt{l^2+m^2+n^2}}

 

Nella nostra ipotesi di non parallelismo e di non perpendicolarità il simbolo \pm fornisce il valore di due angoli supplementari, uno acuto e l'altro ottuso.

 

A noi interessa l'angolo acuto, di conseguenza il coseno deve essere positivo

 

\sin(\widehat{r \alpha}) = |\cos(\widehat{rs})| = \frac{|al+bm+cn|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \ \sqrt{l^2+m^2+n^2}}

 

e ciò prova la validità della formula nell'ipotesi di retta e piano incidenti non ortogonalmente.

 

Se retta e piano sono ortogonali l'angolo deve avere ampiezza pari a 90°

 

\sin(\widehat{r \alpha})=1

 

D'altra parte i vettori \mathbf{n}_{\alpha},\mathbf{v}_{r} sono paralleli, e dunque linearmente dipendenti

 

\mathbf{v}_{r}=\lambda \mathbf{n}_{\alpha}\ \ \ \mbox{per }\lambda\in\mathbb{R}

 

dunque, grazie alle proprietà della norma euclidea

 

\frac{|\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{v}_r|}{||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\mathbf{v}_r||}=\frac{|\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \lambda \mathbf{n}_{\alpha}|}{||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\lambda \mathbf{n}_{\alpha}||}=\frac{|\lambda|\ ||\mathbf{n}_{\alpha}||^2}{|\lambda|\ ||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\mathbf{n}_{\alpha}||}=1

 

il che prova la validità della formula.

 

Da ultimo, nel caso di parallelismo interno o esterno tra retta e piano l'angolo deve valere 0°, ossia

 

\sin(\widehat{r \alpha})=0

 

e inoltre i vettori direttori di retta e piano devono essere ortogonali, dunque il loro prodotto scalare euclideo deve essere nullo

 

\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{v}_r=0

 

da cui la tesi.

 

 

Esempio sul calcolo dell'ampiezza dell'angolo tra retta e piano

 

Calcolare l'ampiezza dell'angolo individuato dalla retta

 

r:\ \begin{cases}x=1+t \\ y=3-t \\ z=2\end{cases}

 

e dal piano

 

\alpha:\ x-2y+z-1=0

 

Svolgimento: per determinare l'ampiezza dell'angolo \widehat{r} \alpha ci servono un vettore che individui la direzione della retta r e il vettore dei coefficienti direttori del piano.

 

Dalle equazioni parametriche della retta r è immediato risalire al relativo vettore direzione

 

\mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,-1,0)

 

Le componenti del vettore dei coefficienti direttori di un piano in forma cartesiana sono, nell'ordine, i coefficienti delle incognite dell'equazione cartesiana, dunque

 

\mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c)=(1,-2,1)

 

L'angolo tra retta e piano è dato dalla formula

 

\\ \sin(\widehat{r \alpha}) = \frac{|al+bm+cn|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \ \sqrt{l^2+m^2+n^2}} = \\ \\ \\ = \frac{|(1)(1)+(-2)(-1)+(1)(0)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \ \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}}= \\ \\ \\ = \frac{|1+2+0|}{\sqrt{1+4+1} \ \sqrt{1+1}} = \\ \\ \\ = \frac{|3|}{\sqrt{6} \ \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}}= \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Nell'intervallo \left[0, \frac{\pi}{2}\right] l'unica soluzione dell'equazione goniometrica

 

\sin(\widehat{r \alpha}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

 

è

 

\widehat{r \alpha}=\frac{\pi}{3}

 

dunque retta e piano formano un angolo di 60°.

 

 


 

Con questa lezione chiudiamo la parte del corso dedicata alle posizioni reciproche e agli angoli. Dalla prossima concentreremo la nostra attenzione sulle distanze, partendo dalla distanza tra due punti nello spazio, per poi occuparci della distanza punto-retta e della distanza punto-piano.

 

Nel frattempo, per qualsiasi dubbio o per altri esercizi svolti sul calcolo dell'angolo tra piano e retta potete far affidamento sulla barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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