Angolo tra piani

Gli angoli tra due piani sono definiti come gli angoli formati da due rette ortogonali ai due piani. In particolare, l'angolo formato da due piani è univocamente determinato se le suddette rette sono orientate.

 

Tenendo a mente quali sono le possibili posizioni tra due piani, passiamo a trattare il concetto di angolo tra due piani. Dopo averne dato la definizione proporremo la formula per calcolarne l'ampiezza, per poi mostrare qualche esempio.

 

La nozione di angolo tra piani si riconduce a quella di angolo tra due rette nello spazio. In caso di dubbi al riguardo vi consigliamo di dare un'occhiata alla relativa lezione prima di proseguire.

 

Definizione geometrica di angolo tra piani

 

Fissiamo un sistema di rifermento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) e consideriamo due piani non paralleli \alpha,\beta.

 

Tagliamo i piani \alpha,\beta con un piano \gamma perpendicolare a entrambi. In modo equivalente, con un piano \gamma perpendicolare alla retta t di intersezione tra \alpha,\beta.

 

Siano quindi r la retta di intersezione tra \alpha,\gamma e s la retta di intersezione tra \beta,\gamma.

 

 

Angolo tra piani nello spazio

Angolo tra due piani

 

 

Detto P il punto di intersezione dei tre piani, le rette r,s generano quattro angoli con vertice in P:

 

\phi, \ \phi', \ \mu, \ \mu'

 

Osserviamo che

 

\\ \phi=\phi' \\ \\ \mu=\mu'

 

in quanto opposti al vertice. Concentriamoci sulla coppia \phi,\mu: ciascuno di essi è un angolo individuato dalle rette r,s, nonché dai piani \alpha,\beta. Osserviamo che tali angoli sono supplementari.

 

Prendono il nome di angoli tra i piani \alpha,\beta, e si indicano con (\widehat{\alpha \beta})_1,(\widehat{\alpha \beta})_2, i due angoli convessi formati dalle rette r,s.

 

Nel caso di due piani paralleli si può ripetere una costruzione analoga, a patto di sovrapporre i due piani in modo che siano coincidenti. In questo modo le rette r,s coincidono e formano una coppia di angoli di ampiezze (\widehat{\alpha \beta})_1=0^\circ e (\widehat{\alpha \beta})_2=180^\circ.

 

Formula per calcolare l'angolo tra due piani

 

Indichiamo con \mathbf{n}_{\alpha},\mathbf{n}_{\beta} rispettivamente i vettori direttori dei piani \alpha,\beta. Per costruzione essi hanno direzioni parallele al piano \gamma.

 

Immaginiamo di applicare i vettori \mathbf{n}_{\alpha},\mathbf{n}_{\beta} nel punto P e chiamiamo r',s' le rette corrispondenti. È facile vedere che r',s' si possono ottenere da una rotazione di 90° nel piano \gamma rispettivamente delle rette r,s, dunque r',s' formano angoli congruenti rispetto a quelli formati da r,s.

 

Ricordando ciò che abbiamo studiato nella lezione sull'angolo tra due rette nello spazio, possiamo calcolare gli angoli (\widehat{r's'})_1, (\widehat{r's'})_2 come gli angoli formati dai vettori direttori \mathbf{n}_{\alpha},-\mathbf{n}_{\alpha},\mathbf{n}_{\beta},-\mathbf{n}_{\beta} (non curandoci dell'orientazione delle rette r',s'

 

(\widehat{\alpha \beta})_1 = (\widehat{r s})_1=(\widehat{r' s'})_1=(\widehat{\mathbf{n}_{\alpha} \mathbf{n}_{\beta}})_1\\ \\ (\widehat{\alpha \beta})_2 = (\widehat{r s})_2=(\widehat{r' s'})_2=(\widehat{\mathbf{n}_{\alpha} \mathbf{n}_{\beta}})_2

 

Considerando quindi due qualsiasi vettori direttori per i rispettivi piani \alpha,\beta

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c) \\ \\ \mathbf{n}_{\beta}=(a',b',c')

 

la formula per calcolare gli angoli tra i due piani \alpha,\beta discende dalla formula per il calcolo dell'angolo tra vettori, ed è data da

 

 

\cos(\widehat{\alpha \beta}) = \pm \frac{\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}}{||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\mathbf{n}_{\beta}||}=\pm \frac{aa'+bb'+cc'}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \ \sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}

 

 

Esattamente come nel caso degli angoli tra due rette nello spazio, il simbolo \pm restituisce l'ampiezza dei due angoli supplementari, quelli che nella precedente immagine abbiamo indicato con \phi,\mu.

 

Inoltre:

 

- \alpha,\beta sono piani perpendicolari se e solo se \cos(\widehat{\alpha \beta})=0, ossia

 

aa'+bb'+cc'=0

 

- \alpha,\beta sono piani paralleli se e solo se \cos(\widehat{\alpha \beta})=\pm 1.

 

 

Infine, se il contesto (o il testo dell'esercizio) fornisce un verso di percorrenza esplicitando due specifici vettori direttori \mathbf{n}_{\alpha},\mathbf{n}_{\beta} per i due piani, allora l'angolo è univocamente determinato e si ottiene con la formula

 

 

\cos(\widehat{\alpha \beta}) = \frac{\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}}{||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\mathbf{n}_{\beta}||}= \frac{aa'+bb'+cc'}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \ \sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}

 

 

Esempi sul calcolo dell'angolo di due piani

 

Se c'è qualcosa che non vi convince, per il momento non preoccupatevene più di tanto: i seguenti esercizi svolti sul calcolo dell'angolo tra due piani che aiuteranno a chiarire ogni vostro dubbio.

 

 

Esempio 1

 

Calcolare l'angolo formato dai piani

 

\\ \alpha:\ x+y+2z-3=0 \\ \\ \beta:\ x-2y-z+7=0

 

Svolgimento: poiché il testo dell'esercizio fornisce esplicitamente le equazioni cartesiane dei due piani, fornisce anche implicitamente un'orientazione privilegiata. Un piano infatti può essere rappresentato mediante infinite equazioni cartesiani, e sappiamo che la direzione ortogonale a un piano può essere individuata mediante infiniti vettori che differiscono l'uno dall'altro per un multiplo scalare non nullo.

 

A una specifica rappresentazione cartesiana di un piano però è associato uno specifico vettore direttore, e questa è esattamente l'indicazione che ci serve.

 

Essendo note le equazioni cartesiane dei piani è immediato scrivere i vettori dei coefficienti direttori

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha}=(1,1,2) \\ \\ \mathbf{n}_{\beta}=(1,-2,-1)

 

Possiamo quindi calcolare l'angolo tra i piani \alpha,\beta ricorrendo alla formula

 

\\ \cos(\widehat{\alpha \beta}) = \frac{\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}}{||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\mathbf{n}_{\beta}||}= \\ \\ \\ = \frac{(1)(1)+(1)(-2)+(2)(-1)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \ \sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}} = \\ \\ \\ = \frac{1-2-2}{\sqrt{6} \ \sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{36}}= \frac{-3}{6}= -\frac{1}{2}

 

Ne scaturisce un'equazione goniometrica elementare

 

\\ \cos(\widehat{\alpha \beta})=-\frac{1}{2}

 

la cui soluzione appartenente all'intervallo [0, \pi] è data da

 

\widehat{\alpha \beta} = \frac{2\pi}{3}

 

 

Esempio 2

 

Determinare l'angolo acuto individuato dai piani

 

\\ \alpha: 3x-1=0 \\ \\ \beta: x+y+5=0

 

Svolgimento: i vettori che esprimono le rispettive direzioni normali ai piani sono

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha}=(3,0,0) \\ \\ \mathbf{n}_{\beta}=(1,1,0)

 

Per esaudire la richiesta dell'esercizio non ci serve altro e possiamo ricorrere direttamente alla formula

 

\\ \cos(\widehat{\alpha \beta}) = \frac{\mathbf{n}_{\alpha} \cdot \mathbf{n}_{\beta}}{||\mathbf{n}_{\alpha}|| \ ||\mathbf{n}_{\beta}||}= \\ \\ \\ = \frac{(3)(1)+(0)(1)+(0)(0)}{\sqrt{3^2+0^2+0^2} \ \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \\ \\ \\ = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}

 

La soluzione appartenente all'intervallo [0,\pi] dell'equazione trigonometrica

 

\\ \cos(\widehat{\alpha \beta})=\frac{\sqrt{2}}{2}

 

è

 

\\ \widehat{\alpha \beta} = \frac{\pi}{4}

 

 

Esempio 3

 

Indicando con

 

\mathbf{i}=(1,0,0), \ \mathbf{j}=(0,1,0), \ \mathbf{k}=(0,0,1)

 

i versori che individuano, nell'ordine, l'orientazione degli assi coordinati x, y, z di un riferimento cartesiano ortonormale RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}), calcolare l'angolo tra i piani

 

\\ \alpha: -x+y-1=0 \\ \\ \beta: -x+2y-z=0

 

orientati in modo tale che i rispettivi vettori normali siano nel verso delle x crescenti.

 

Svolgimento: il testo fornisce le equazioni cartesiane dei due piani, e quindi implicitamente i vettori direttori associati ad esse, ma impone di lavorare con una specifica orientazione che potrebbe non coincidere con quella assegnata. È nostro compito capire se e come intervenire.

 

I vettori direttori associati alle rappresentazioni cartesiane di partenza sono

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha}=(-1,1,0) \\ \\ \mathbf{n}_{\beta}=(-1,2,-1)

 

Affinché essi siano orientati nel verso delle x crescenti, il prodotto scalare canonico tra ciascun vettore e il versore \mathbf{i}=(1,0,0) dev'essere positivo, dunque dobbiamo invertirne il verso.

 

Consideriamo i vettori direttori ottenuti moltiplicando i precedenti per uno scalare negativo, ad esempio -1

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha}'=(1,-1,0) \\ \\ \mathbf{n}_{\beta}'=(1,-2,1)

 

che, a titolo di cronaca, corrispondono alle rappresentazioni cartesiane

 

\\ \alpha: x-y+1=0 \\ \\ \beta: x-2y+z=0

 

L'angolo tra i due piani è univocamente determinato e si calcola con la formula

 

\\ \cos(\widehat{\alpha \beta}) = \frac{\mathbf{n}'_{\alpha} \cdot \mathbf{n}'_{\beta}}{||\mathbf{n}'_{\alpha}|| \ ||\mathbf{n}'_{\beta}||}= \\ \\ \\ = \frac{(1)(1)+(-1)(-2)+(0)(1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \ \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \\ \\ \\ = \frac{3}{\sqrt{2} \ \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{12}}= \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Nell'intervallo [0,\pi] l'equazione goniometrica

 

\cos(\widehat{\alpha \beta})=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

ha per soluzione

 

\widehat{\alpha \beta} = \frac{\pi}{6}

 

ed è proprio l'ampiezza dell'angolo tra i due piani.

 

 


 

Per il momento non abbiamo altro da aggiungere. Nella prossima lezione analizzeremo le posizioni reciproche tra retta e piano, per poi definire e vedere come si calcola l'angolo tra retta e piano.

 

Nel frattempo, per altri esercizi svolti o per qualsiasi dubbio, potete fare affidamento alla barra di ricerca interna e alla scheda correlata. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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