Coseni direttori e angolo tra due rette nello spazio

Gli angoli tra due rette nello spazio sono i due angoli convessi formati da due qualsiasi vettori paralleli alle rette. Prendono il nome di coseni direttori di una retta i coseni degli angoli che tale retta forma con gli assi coordinati.

In questa lezione ci occupiamo della nozione di angolo tra due rette qualsiasi nello spazio. Ne vedremo la definizione e soprattutto quali sono le formule che permettono di calcolarlo, corredando il tutto con alcuni esempi. Parleremo quindi dei coseni direttori di una retta nello spazio, e anche in questo caso presenteremo le relative formule.

Prima di addentrarci nel vivo della questione riteniamo opportuno rivedere velocemente come si definisce la nozione di angolo tra vettori. In questo modo risulterà più chiaro come calcolare gli angoli tra due rette e perché, spesso, si preferisce parlare di angolo tra rette orientate.

Premessa: angolo tra vettori e retta orientata

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale $RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ e siano $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ due vettori non nulli.

Si dice angolo tra i vettori $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ l'angolo convesso formato da un rappresentante di $\mathbf{u}$ e da un rappresentante di $\mathbf{v}$ aventi lo stesso punto di applicazione.

Angolo tra vettori

Angolo tra due vettori

Indicando con $\theta \in [0, \pi]$ tale angolo e con $\cdot$ il prodotto scalare euclideo tra vettori, sussiste la seguente relazione:

$\cos(\theta)=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{u}|| \ ||\mathbf{v}||}$

dove $|| \ ||$ indica la norma euclidea.

Definizione di angolo tra rette nello spazio

Consideriamo due rette qualsiasi in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale $RC(O, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ . Definiamo angoli tra le rette i due angoli convessi formati dai vettori direzione delle due rette, e li indichiamo con

$(\widehat{rs})_1,\ (\widehat{rs})_2$

Onde evitare di fare un ragionamento astratto disegniamo due rette incidenti in un punto e chiamiamo $\mathbf{v}_r, \mathbf{v}_s$ due dei loro rispettivi vettori direttori

Angolo tra rette nello spazio

Angolo tra due rette

Tutti i possibili vettori direzione di una retta individuano la medesima direzione - per l'appunto, quella della retta - ma non lo stesso verso. Sappiamo in particolare che si possono fissare due possibili versi e che si può definire una specifica orientazione della retta.

Applichiamo in i vettori $\mathbf{v}_r,\ -\mathbf{v}_r,\ \mathbf{v}_s,\ -\mathbf{v}_s$ .

In questo frangente la scelta di un vettore direzione piuttosto che di un altro potrebbe generare ambiguità nella definizione, dunque ragioniamo nel modo seguente. Per ciascuna retta possiamo considerare due vettori applicati che individuano la direzione della retta e versi opposti. Considerando le possibili orientazioni delle due rette si formano quattro angoli convessi; in termini di ampiezze ci riduciamo a due angoli supplementari tra loro:

- l'angolo $\theta$ compreso tra i vettori $\overrightarrow{PP_1},\ \overrightarrow{PP_2}$ ;

- l'angolo $\phi$ compreso tra i vettori $\overrightarrow{PP_2},\ \overrightarrow{PP_1'}$ .

Quale dei due angoli dobbiamo prendere in considerazione?

Ogni ambiguità viene eliminata a priori fissando un verso di percorrenza sulle due rette. Possiamo quindi riformulare la definizione data in precedenza e dire che l'angolo tra due rette orientate è l'angolo formato dai relativi vettori direttori, purché essi siano coerenti con l'orientazione delle due rette.

Nota bene: per avere un riferimento grafico visivo abbiamo impostato l'intero ragionamento basandoci su due rette dello spazio incidenti, ma lo stesso discorso può essere ripetuto per rette qualsiasi. La definizione di angolo tra due rette nello spazio si basa infatti sulla nozione di angolo tra vettori. Si può quindi parlare tranquillamente anche di angolo tra rette sghembe.

Formula per calcolare l'angolo tra rette orientate

Detti

$\\ \mathbf{v}_r=l\mathbf{i}+m\mathbf{j}+n\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{v}_s=l'\mathbf{i}+m'\mathbf{j}+n'\mathbf{k}$

i vettori direzione di due rette orientate nello spazio, l'angolo $\widehat{rs}$ che esse formano è dato da

$\cos(\widehat{rs}) = \frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{v}_s||} = \frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \ \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}}$

In particolare:

- sono rette ortogonali se e solo se $\cos(\widehat{rs})=0$ , ossia se e solo se

- sono rette parallele (distinte o coincidenti) se e solo se $\cos(\widehat{rs})=\pm 1$ .

Esempio sul calcolo dell'angolo di due rette orientate

Indicando con $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ i versori che individuano, rispettivamente, l'orientazione degli assi coordinati di un sistema di riferimento ortonormale $RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ .

Vogliamo calcolare l'angolo formato dalle rette

$r:\ \begin{cases}x=t \\ y=-1+t \\ z=2t\end{cases} \ \ \ s:\ \begin{cases}2x+y-4=0 \\ x+y-z-2=0\end{cases}$

in modo che entrambe siano orientate secondo le crescenti.

Svolgimento: la prima cosa da fare è calcolare senza indugi i vettori direzione delle due rette. Ci occuperemo dell'orientazione in un secondo momento.

è assegnata in forma parametrica, ed è quindi immediato risalire al vettore direzione

$\mathbf{v}_r=(1,1,2)$

invece è assegnata in forma cartesiana, e il relativo vettore direzione è dato dal prodotto vettoriale tra i coefficienti direttori dei piani che la definiscono

$\\ \mathbf{v}_s=(2,1,0) \times (1,1,-1)= \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k} \\ 2&1&0 \\ 1&1&-1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \mathbf{k} \ \mbox{det}\begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&1\end{pmatrix} - 1 \ \mbox{det}\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} \\ 2&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \mathbf{k}(2-1)-1(\mathbf{i}-2\mathbf{j}) = \\ \\ = -\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$

Per calcolare il determinante abbiamo usato la regola di Laplace e sviluppato i calcoli rispetto alla terza colonna. Ne consegue che

$\mathbf{v}_s=(-1,2,1)$

Ora osserviamo che una specifica rappresentazione di una retta mediante equazioni cartesiane o parametriche, come quelle fornite dalla traccia dell'esercizio per e per , individua in partenza un'orientazione per la retta. Ci basta infatti considerare il vettore direttore che caratterizza quella rappresentazione, e ricordare che in un sistema di riferimento cartesiano ogni vettore è descritto da un modulo, da una direzione e da un verso.

La domanda che dobbiamo porci è: le orientazioni di che corrispondono alle rappresentazioni fornite dalla traccia sono già concordi rispetto alle crescenti? Se così non fosse dovremmo regolarci di conseguenza.

Affinché le due rette siano orientate secondo le crescenti, il prodotto scalare euclideo tra ciascun vettore direttore e il versore $\mathbf{i}=(1,0,0)$ deve essere positivo (come orientare una retta).

Il vettore $\mathbf{v}_r$ è già concorde all'orientazione desiderata; riguardo a $\mathbf{v}_s$ dobbiamo cambiare segno.

$\mathbf{v}_s'=-\mathbf{v}_s=-(-1,2,1)=(1,-2,-1)$

Abbiamo ora tutto quello che ci serve per calcolare l'angolo tra le due rette orientate

$\\ \cos(\widehat{rs}) = \frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s'}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{v}_s'||} = \\ \\ \\ = \frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \ \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}} = \\ \\ \\ = \frac{(1)(1) + (1)(-2) + (2)(-1)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \ \sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2}} = \\ \\ \\ = \frac{1-2-2}{\sqrt{6} \ \sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{36}}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$

Non ci resta che risolvere l'equazione goniometrica elementare

$\cos(\widehat{rs})=-\frac{1}{2}$

che nell'intervallo $[0, \pi]$ ha come soluzione

$\widehat{rs}=\frac{2}{3}\pi$

Formula per gli angoli tra rette non orientate

Capita spesso di imbattersi in esercizi che chiedono di calcolare l'angolo tra due rette senza dire nulla circa l'orientazione. Non sempre infatti disporremo di una rappresentazione cartesiana o parametrica delle due rette, e non sempre il contesto ci fornirà indicazioni specifiche riguardo a un'orientazione privilegiata.

Potremmo, ad esempio, considerare il caso di due rette passanti rispettivamente per due punti e nello spazio.

In tale eventualità non sarebbe corretto parlare di angolo tra le due rette e sarebbe ben più opportuno calcolare le ampiezze degli angoli formati dalle due rette nello spazio. A tal proposito si può ricorrere alla formula

$\cos((\widehat{rs})_{1,2}) = \pm \frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{v}_s||} = \pm \frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \ \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}}$

dove $\mathbf{v}_r, \mathbf{v}_s$ sono due vettori direttori qualsiasi delle rette (i.e. i loro versi sono irrilevanti)

$\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')$

La presenza del simbolo $\pm$ fornisce il valore di entrambi gli angoli supplementari. In estrema sintesi, in assenza di un'orientazione privilegiata per le due rette, riportiamo entrambe le ampiezze degli angoli che formano. :)

Un modo del tutto equivalente prevede di usare la formula senza simbolo $\pm$ e calcolare successivamente il secondo angolo con l'ovvia relazione

$(\widehat{rs})_{2}=\pi-(\widehat{rs})_{1}$

Esempio sul calcolo degli angoli tra due rette non orientate

In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale $RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ calcolare l'angolo formato dalla retta passante per $P\left(0,1,3)$ e parallela a

$r':\ \begin{cases}x=t \\ y=-\frac{2}{3}-t \\ z=-\frac{1}{3}\end{cases}$

e dalla retta passante per e parallela a

$s':\ \begin{cases}x=t \\ y=-3-2t \\ z=-3+t\end{cases}$

Svolgimento: osserviamo che le rette sono orientate in quanto descritte da una rappresentazione in forma parametrica, a ciascuna delle quali è associato uno specifico vettore direttore. Il contesto però non precisa nulla circa l'orientazione privilegiata per le rette . Sappiamo solamente che esse sono parallele rispettivamente a .

Quel che possiamo fare è scrivere due vettori direzione qualsiasi per le rette , ad esempio i medesimi vettori direttori di

$\\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,-1,0) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(1,-2,1)$

e calcolare le ampiezze degli angoli tra le due rette con la formula

$\\ \cos(\widehat{rs}) = \pm \frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{v}_s||} = \\ \\ \\ = \pm \frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \ \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}} = \\ \\ \\ = \pm \frac{(1)(1)+(-1)(-2)+(0)(1)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \ \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \\ \\ \\ = \pm \frac{1+2}{\sqrt{2} \ \sqrt{6}}= \pm \frac{3}{\sqrt{12}} = \pm \frac{3}{2\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Le soluzioni appartenenti all'intervallo $[0, \pi]$ dell'equazione goniometriche

$\cos(\widehat{rs})=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

sono

$\widehat{rs}=\frac{\pi}{6}\ , \ \widehat{rs}=\frac{5}{6} \pi$

e sono proprio gli angoli convessi (supplementari tra loro) individuati dalle due rette.

Coseni direttori di una retta nello spazio

Se quanto detto fin qui è chiaro, capire cosa sono e come si calcolano i coseni direttori di una retta dello spazio è a dir poco immediato.

In un sistema di riferimento cartesiano ortonormale $RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ i coseni direttori di una retta orientata sono i coseni degli angoli $\widehat{xr}, \ \widehat{yr}, \ \widehat{zr}$ che la retta forma con i tre assi coordinati .

Indicando con $\mathbf{v}_r=(l,m,n)$ il vettore direttore di , abbiamo che

$\\ \cos(\widehat{xr})=\frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{i}}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{i}||} \\ \\ \\ \cos(\widehat{yr})=\frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{j}}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{j}||} \\ \\ \\ \cos(\widehat{zr})=\frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{k}}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{k}||}$

In particolare, se $\mathbf{i}=(1,0,0), \ \mathbf{j}=(0,1,0), \ \mathbf{k}=(0,0,1)$ , allora

$\\ \cos(\widehat{xr})=\frac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} \\ \\ \\ \cos(\widehat{yr})=\frac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} \\ \\ \\ \cos(\widehat{zr})=\frac{n}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$

da cui risulta evidente che i coseni direttori di una retta orientata uguagliano le componenti del corrispondente versore direttore.

Osservazione (coseni direttori di una retta non orientata)

Per determinare i coseni direttori di una retta non orientata si usano le stesse formule, ma con l'aggiunta del simbolo $\pm$ da anteporre al secondo membro. Proprio come nel caso della formula per l'angolo tra rette non orientate si ottengono i valori di due angoli supplementari.

Esempio sul calcolo dei coseni direttori di una retta

Nel sistema di riferimento ortonormale $RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ , con

$\mathbf{i}=(1,0,0), \ \mathbf{j}=(0,1,0), \ \mathbf{k}=(0,0,1)$

calcolare i coseni direttori della retta

$r:\ \begin{cases}x=1+t \\ y=2+2t \\ z=-3-2t\end{cases}$

orientata nel verso delle decrescenti.

Svolgimento: il vettore direzione della retta associato alla rappresentazione parametrica fornita dal testo è

$\mathbf{v}_r=(1,2,-2)$

Affinché sia orientata nel verso delle decrescenti il prodotto scalare tra $\mathbf{v}_r$ e il versore $\mathbf{j}$ deve essere negativo.

Scegliamo quindi come vettore direttore di

$\mathbf{v}_r'=-\mathbf{v}_r=(-1,-2,2)$

Possiamo ora calcolare i rispettivi coseni direttori

$\\ \cos(\widehat{xr})=\frac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(2)^2}}=-\frac{1}{3} \\ \\ \\ \cos(\widehat{yr})=\frac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\frac{-2}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(2)^2}}=-\frac{2}{3} \\ \\ \\ \cos(\widehat{zr})=\frac{n}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\frac{2}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(2)^2}}=\frac{2}{3}$

Come avrete notato, il calcolo dell'angolo tra due rette nasconde un'insidia, molto spesso sottovalutata, dovuta all'orientazione della retta. Speriamo, con questa lezione, di aver chiarito ogni dubbio in merito.

Nel salutarvi vi ricordiamo che, per altri esercizi accuratamente svolti, potete fare affidamento alla scheda correlata e alla barra di ricerca interna. :)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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