Piani paralleli e piani coincidenti

Si dicono piani paralleli due o più piani dello spazio tridimensionale che non hanno alcun punto in comune o che coincidono punto per punto. Se i piani non hanno punti in comune vengono detti paralleli e distinti, mentre se coincidono punto per punto prendono il nome di piani paralleli e coincidenti o, più brevemente, di piani coincidenti.

 

In questa lezione ci occuperemo dello studio del parallelismo tra piani, introducendo le condizioni di parallelismo e mostrando come stabilire se due piani sono paralleli e distinti o coincidenti a seconda che siano assegnati in forma cartesiana o in forma parametrica.

 

Le nozioni di piani paralleli e distinti e di piani coincidenti sono quanto mai semplici, ma allo stesso tempo fondamentali e strettamente necessarie per introdurre i concetti di retta nello spazio e di fascio di piani, di cui ci occuperemo nel prosieguo delle lezioni.

 

Condizioni di parallelismo tra due piani

 

Come anticipato a inizio lezione, ricordiamo che due piani \alpha, \beta dello spazio tridimensionale si dicono:

 

- paralleli e distinti se non hanno alcun punto in comune;

 

- paralleli e coincidenti se coincidono punto per punto, ossia se ogni punto del primo piano appartiene anche al secondo e viceversa.

 

 

Piani paralleli distintiPiani paralleli coincidenti

Piani paralleli e distinti

Piani paralleli e coincidenti

 

 

Vediamo quali sono le condizioni di parallelismo tra piani, ossia quali prerogative devono soddisfare le equazioni di due piani affinché questi siano paralleli, distinti o coincidenti.

 

Siano \alpha, \beta due piani in forma cartesiana

 

\\ \alpha:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \beta:\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

Gli eventuali punti comuni tra \alpha, \beta hanno coordinate che soddisfano entrambe le equazioni, cioè sono soluzioni del sistema lineare

 

(*) \ \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

Da qui si capisce che:

 

- affinché i due piani siano paralleli e distinti, il sistema (*) non deve ammettere soluzioni;

 

- affinché i due piani siano paralleli e coincidenti, il sistema (*) deve ammettere \infty^2 soluzioni.

 

Dette

 

A= \begin{pmatrix}a&b&c \\ a'&b'&c'\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ (A|\mathbf{b})= \begin{pmatrix}a&b&c&|&-d \\ a'&b'&c'&|&-d'\end{pmatrix}

 

la matrice incompleta e la matrice completa associate al sistema lineare (*), per il teorema di Rouché-Capelli:

 

- il sistema non ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice A è minore del rango della matrice (A|\mathbf{b});

 

- il sistema ammette \infty^2 soluzioni se e solo se il rango delle due matrici è uguale a 1.

 

Osserviamo che il rango delle matrici A e (A|\mathbf{b}) può essere pari a 1 o 2, dunque il sistema (*) non ammette soluzioni se solo se il rango di A è 1 e il rango di (A|\mathbf{b}) è 2.

 

Possiamo così concludere che i due piani \alpha, \beta sono:

 

- paralleli e distinti se e solo se esiste uno scalare \lambda\ne 0 tale che

 

a=\lambda a';  \ \ \ b=\lambda b' ; \ \ \ c=\lambda c', \ \ \ \mbox{ma} \ d\ne \lambda d'

 

- paralleli e coincidenti se e solo se esiste uno scalare \lambda\ne 0 tale che

 

a=\lambda a'; \ \ \ b=\lambda b'; \ \ \ c=\lambda c'; \ \ \ d=\lambda d'

 

Studio del parallelismo tra piani

 

Vediamo come approcciare lo studio del parallelismo tra due piani \alpha, \beta a seconda di come sono definiti, distinguendo tre casi.

 

 

Caso 1 (Studio del parallelismo tra piani in forma cartesiana)

 

Se \alpha, \beta sono entrambi assegnati in forma cartesiana, ossia se

 

\\ \alpha: ax+by+cz+d=0 \\ \\ \beta: a'x+b'y+c'z+d'=0

 

è sufficiente stabilire se sono verificate le condizioni di parallelismo. In particolare, se esiste uno scalare \lambda\ne 0 tale che:

 

a=\lambda a';  \ \ \ b=\lambda b' ; \ \ \ c=\lambda c', \ \ \ \mbox{ma} \ d\ne \lambda d'

 

i piani sono paralleli e distinti, mentre se si verifica che

 

a=\lambda a'; \ \ \ b=\lambda b'; \ \ \ c=\lambda c'; \ \ \ d=\lambda d'

 

i piani sono paralleli e coincidenti.

 

 

Caso 2 (Studio del parallelismo tra piani in forma parametrica)

 

Se i piani sono assegnati in forma parametrica, conviene passare dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana dei due piani, per poi procedere come in 1).

 

 

Caso 3 (Studio del parallelismo tra piani in forma parametrica e cartesiana)

 

Se un piano è dato in forma parametrica e l'altro in forma cartesiana, esprimere in forma cartesiana il piano dato in forma parametrica e procedere come in 1).

 

Esempi sullo studio del parallelismo tra piani

 

1) Studiare il parallelismo tra i piani

 

\\ \alpha_1:\ 2x+y-3z+5=0 \\ \\ \beta_1:\ 4x+2y-6z+10=0

 

Svolgimento: i piani \alpha_1 \mbox{ e } \beta_1 sono paralleli e coincidenti, infatti se indichiamo con a, b,c, d i coefficienti dell'equazione di \alpha_1 e con a',b',c',d' quelli di \beta_1 allora:

 

\\ a=\frac{1}{2}a' ; \ \ \  b=\frac{1}{2}b'; \ \ \ c=\frac{1}{2}c'; \ \ \ d=\frac{1}{2}d'

 

 

2) Studiare il parallelismo tra i piani

 

\\ \alpha_2:\ \begin{cases}x=2s+t \\ y=3 \\ z=1-s+5t \end{cases} \\ \\ \\ \beta_2:\ \begin{cases}x=2+t \\ y=1-s \\ z=2t-3s \end{cases}

 

Svolgimento: l'equazione cartesiana di

 

\alpha_2:\ \begin{cases}x=2s+t \\ y=3 \\ z=1-s+5t \end{cases}

 

è

 

\alpha_2:\ y-3=0

 

Di contro, l'equazione cartesiana di

 

\beta_2:\ \begin{cases}x=2+t \\ y=1-s \\ z=2t-3s \end{cases}

 

è

 

\beta_2:\ 2x+3y-z-7=0

 

ricavata esplicitando la prima equazione in favore di t, la seconda rispetto a s e sostituendo le relative espressioni nella terza.

 

Da un rapido confronto tra le due equazioni cartesiane possiamo immediatamente concludere che i due piani non sono paralleli, né distinti né coincidenti.

 

 

3) Verificare che i piani

 

\\ \alpha_3:\ \begin{cases}x=1+2s-t \\ y=s \\ z=-1-t\end{cases} \\ \\ \\ \beta_3:\ x-2y-z+1=0

 

sono paralleli e distinti.

 

Svolgimento: determiniamo l'equazione cartesiana del piano

 

\alpha_3:\ \begin{cases}x=1+2s-t \\ y=s \\ z=-1-t\end{cases}

 

Dalla seconda equazione sappiamo che s=y, dunque sostituiamo nella prima

 

\\ x=1+2s-t \\ \\ x=1+2y-t

 

ed esplicitiamola in favore di t

 

\\ x=1+2y-t \\ \\ t=1+2y-x

 

Sostituendo nella terza

 

\\z=-1-t \\ \\ z=-1-(1+2y-x) \\ \\ z=-1-1-2y+x \\ \\ z=x-2y-2

 

ricaviamo l'equazione cartesiana di \alpha_3

 

\alpha_3:\ x-2y-z-2=0

 

Confrontandola con l'equazione di

 

\beta_3:\ x-2y-z+1=0

 

si evince che i due piani sono paralleli e distinti, infatti, indicati con a,b,c,d e a',b',c',d' rispettivamente i coefficienti del piano \alpha_3 e quelli del piano \beta_3, si ha:

 

a= a'; \ \ \ b=b'; \ \ \ c=c'; \ \ \ d\ne d'

 

 


 

Se due piani non sono né paralleli distinti né coincidenti allora sono necessariamente incidenti, e la loro intersezione corrisponde a una retta dello spazio tridimensionale.

 

Dalla prossima lezione ci occuperemo proprio delle rette, ripercorrendo quanto fatto per i piani. Studieremo le equazioni parametriche di una retta nello spazio e le equazioni cartesiane della retta nello spazio, per poi mostrare come si effettua il passaggio dall'una all'altra forma e infine approfondire la nozione di direzione di una retta.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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