Riferimento cartesiano affine e riferimento cartesiano ortonormale

Riferimento cartesiano affine e riferimento cartesiano ortonormale sono gli ambienti di lavoro in cui si sviluppa la Geometria Analitica dello Spazio, e differiscono tra loro per il fatto che un riferimento cartesiano affine si costruisce da una qualsiasi base di vettori dello spazio, mentre un sistema cartesiano ortonormale richiede che la base di definizione sia ortonormale.

 

Com'è c'era da aspettarsi, in questa prima lezione di Geometria dello Spazio definiremo le nozioni di sistema di riferimento cartesiano affine e cartesiano ortonormale, grazie alle quali saremo in grado di rappresentare i piani e le rette dello spazio e di studiare le loro posizioni reciproche.

 

Partiremo dalla definizione di riferimento cartesiano affine, per poi mettere in evidenza che un sistema siffatto ha qualche limite che ci spinge a passare oltre e definire un sistema di riferimento cartesiano ortonormale.

 

Riferimento cartesiano affine nello spazio

 

Nello spazio ordinario, dove si suppongono validi tutti i postulati della Geometria Euclidea elementare, consideriamo l'insieme di tutti i vettori liberi munito delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare.

 

Come dovreste già sapere, una struttura algebrica di questo tipo è uno spazio vettoriale di dimensione 3, generalmente indicato con \mathcal{V}^3.

 

Per definire un sistema di riferimento affine fissiamo un punto O e una base \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} di \mathcal{V}^3.

 

Siano quindi \overrightarrow{OP_1}, \ \overrightarrow{OP_2}, \ \overrightarrow{OP_3} i rappresentati di \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 aventi come origine il punto O.

 

Le rette che contengono i vettori \overrightarrow{OP_1}, \ \overrightarrow{OP_2}, \ \overrightarrow{OP_3} sono rette orientate, non appartenenti allo stesso piano e dotate, ciascuna, di un'unità di misura pari al modulo del vettore da cui sono definite

 

u_1=\overline{OP_1}, \ u_2=\overline{OP_2}, \ u_3=\overline{OP_3}

 

 

Sistema di riferimento affine

Sistema di riferimento affine

 

 

Le tre rette orientate così ottenute prendono il nome di assi cartesiani affini dello spazio e il punto O è detto origine.

 

L'origine e i tre assi cartesiani costituiscono quello che viene detto sistema di riferimento affine dello spazio, e che viene indicato con

 

RA(O, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3)

 

Coordinate cartesiane affini nello spazio

 

Fissato un riferimento cartesiano affine RA(O, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) a ogni punto P dello spazio possiamo associare una terna ordinata di numeri reali

 

(x_P, y_P, z_P) \in \mathbb{R}^3

 

i cui elementi sono le coordinate del vettore \overrightarrow{OP} rispetto alla base \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}.

 

In altri termini, per ogni vettore \overrightarrow{OP} dello spazio esistono e sono unici gli scalari x_P, y_P, z_P \in \mathbb{R} tali che

 

\overrightarrow{OP}=x_P \mathbf{v}_1+y_P \mathbf{v}_2 + z_P \mathbf{v}_3

 

Viceversa, ogni terna ordinata di numeri reali individua univocamente un punto P dello spazio, e quindi il vettore \overrightarrow{OP}.

 

In generale, un punto P di coordinate (x_P, y_P, z_P) si indica con P(x_P,y_P,z_P), e all'origine del sistema di riferimento si associa la terna (0,0,0).

 

 

Coordinate affini

Coordinate affini

 

 

Le componenti della terna ordinata (x_P, y_P, z_P) prendono il nome di coordinate affini del punto P.

 

Da quanto detto finora si evince che un riferimento cartesiano affine dello spazio pone una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri reali, ed ecco quindi spiegato il motivo per cui si afferma che i punti dello spazio sono \infty^3.

 

Coordinate di un vettore dagli estremi di un suo rappresentante

 

Fissiamo un sistema di riferimento affine dello spazio RA(O, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) e supponiamo che un vettore \mathbf{v} venga assegnato tramite un suo rappresentante \overrightarrow{P_1P_2} di cui sono note le coordinate affini dei punti che lo definiscono

 

P_1(x_1, y_1, z_1)\ \ \ ; \ \ \ P_2(x_2, y_2, z_2)

 

 

Coordinate di un vettore dagli estremi

Coordinate di un vettore dagli estremi di un rappresentante

 

 

Per la regola del parallelogramma

 

\\ \mathbf{v}=\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1} = \\ \\ = x_2 \mathbf{v}_1 + y_2 \mathbf{v}_2+z_2 \mathbf{v}_3 - (x_1 \mathbf{v}_1 + y_1 \mathbf{v}_2+z_1 \mathbf{v}_3) = \\ \\ = (x_2-x_1)\mathbf{v}_1+(y_2-y_1)\mathbf{v}_2+(z_2-z_3)\mathbf{v}_3

 

Abbiamo così dimostrato che le coordinate del vettore \mathbf{v}=\overrightarrow{P_1P_2}, rispetto alla base \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} che definisce il sistema di riferimento affine, uguagliano la differenza delle coordinate affini di P_2 e P_1 rispetto alla stessa base.

 

Riferimento cartesiano ortonormale nello spazio

 

Un sistema di riferimento affine è l'ambiente di lavoro in cui solitamente si introducono le equazioni parametriche e cartesiane delle rette e dei piani, e in cui si studia il parallelismo tra rette, tra piani e tra rette e piani.

 

In un sistema di riferimento del genere, tuttavia, non è possibile studiare la perpendicolarità tra rette, tra piani o tra rette e piani, in quanto il concetto di perpendicolarità è strettamente legato a quello di prodotto scalare.

 

Per effettuare uno studio completo della Geometria dello Spazio occorre definire un nuovo ambiente di lavoro, ossia fissare un nuovo sistema di riferimento, dove oltre allo studio della perpendicolarità è possibile trattare con tranquillità quelle che vengono dette nozioni metriche, come la distanza tra due punti dello spazio, l'angolo tra due rette dello spazio, l'angolo tra due piani, e così via...

 

Un sistema di riferimento che più si addice ai nostri scopi e in cui è più facile lavorare è il sistema di riferimento cartesiano ortonormale. Vediamo come si definisce.

 

Sempre nello spazio ordinario, dove sono validi tutti i postulati della Geometria Euclidea, consideriamo lo spazio vettoriale \mathcal{V}^3 e, questa volta, dotiamolo del prodotto scalare euclideo.

 

Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che, dati due vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \mathcal{V}^3, il loro prodotto scalare euclideo è il numero reale ottenuto moltiplicando le norme dei due vettori per il coseno dell'angolo convesso \theta da essi formato. In una formula:

 

\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = ||\mathbf{v}_1|| \ ||\mathbf{v}_2|| \cos(\theta)\ \ \mbox{ con } \theta \in [0, \pi]

 

Fissiamo quindi un punto O dello spazio e consideriamo una base ortonormale \mathcal{B}=\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\} di \mathcal{V}^3.

 

Un riferimento cartesiano ortonormale dello spazio è formato dal punto O e dai vettori della base \mathcal{B}, e si indica con

 

RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})

 

In altri termini, un sistema di riferimento ortonormale è un sistema di riferimento affine RA(O, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) tale che \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 siano vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare euclideo, e di norma 1.

 

Con un ragionamento analogo a quello fatto per i sistemi di riferimento affini, consideriamo le rette orientate passanti per i rappresentati \overrightarrow{OP_1}, \ \overrightarrow{OP_2}, \overrightarrow{OP_3} di \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}, che prendono rispettivamente il nome di asse x (asse delle ascisse), asse y (asse delle ordinate) e asse z (asse delle quote).

 

Tali rette si dicono assi cartesiani ortonormali dello spazio, o, più brevemente, assi cartesiani. Il punto O mantiene il nome origine e, evidentemente, l'unità di misura di cui è dotata ciascuna retta è la stessa, cosicché un sistema di riferimento cartesiano ortonormale è un sistema di riferimento monometrico.

 

Inoltre, analogamente a quanto detto per i sistemi di riferimento affini, a ogni punto P dello spazio corrisponde una terna ordinata di numeri reali (x_P, y_P, z_P), i cui elementi sono le componenti del vettore \overrightarrow{OP} riferite alla base \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}, e viceversa.

 

x_P, \ y_P, \ z_P sono dette, nell'ordine, ascissa, ordinata e quota del punto P e, tutte e tre assieme, prendono il nome di coordinate cartesiane del punto P.

 

 

Sistema di riferimento cartesiano ortonormale

Sistema di riferimento cartesiano ortonormale

 

 

Un sistema di riferimento cartesiano individua tre piani, detti piani coordinati; precisamente:

 

- il piano individuato dal punto O e dai versori \mathbf{i} \mbox{ e } \mathbf{j}, denominato piano [xy];

 

- il piano determinato dal punto O e dai versori \mathbf{i} \mbox{ e } \mathbf{k}, denominato piano [xz];

 

- il piano individuato dal punto O e dai versori \mathbf{j} \mbox{ e } \mathbf{k}, denominato piano [yz].

 

Alla luce delle precedenti definizioni, un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) si indica anche come RC(O, x, y, z) o, più brevemente, con Oxyz.

 

Distanza in un sistema di riferimento ortonormale

 

L'introduzione del concetto di sistema di riferimento ortonormale ci consente di parlare di distanza tra due punti dello spazio.

 

Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) e assegnati due punti

 

A(x_A, y_A, z_A), \ B(x_B, y_B, z_B)

 

si definisce distanza tra A e B, e si indica con d(A,B), la norma euclidea del vettore \overrightarrow{AB}

 

\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A) \mathbf{i}+(y_B-y_A)\mathbf{j}+(z_B-z_A)\mathbf{k}

 

Le componenti del suddetto vettore rispetto alla base \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\} sono (x_B-x_A, \ y_B-y_A, \ z_B-z_A), dunque

 

d(A,B)=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

 

Più esplicitamente, in un sistema di riferimento cartesiano la distanza tra due punti è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze tra le coordinate omonime dei punti.

 

Riferimento cartesiano affine e riferimento cartesiano ortonormale nel piano

 

Le considerazioni fatte a proposito dei sistemi di riferimento affine e ortonormale nello spazio valgono anche nel piano, dove:

 

- un sistema di riferimento affine si definisce a partire da una qualsiasi base \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} dello spazio vettoriale \mathcal{V}^2 (insieme dei vettori liberi del piano dotato delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare);

 

- un sistema di riferimento cartesiano ortonormale si costruisce da una base ortonormale \{\mathbf{i}, \mathbf{j}\} di \mathcal{V}^2.

 

 


 

Ora che abbiamo definito gli ambienti in cui lavoreremo possiamo addentrarci nello studio della Geometria dello Spazio, partendo dallo studio delle equazioni di un piano, per poi passare a quelle della retta e studiare le posizioni reciproche tra rette, tra piani e tra rette e piani.

 

Nelle lezioni che seguono supporremo di lavorare in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, ma sarà nostra premura mettere in evidenza cosa cambia e cosa rimane immutato se, invece di un riferimento cartesiano ortonormale, si lavora in un sistema di riferimento affine.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione successiva

 
 

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