Equazione della sfera

L'equazione della sfera, in riferimento a un sistema cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z), è un'equazione di secondo grado nelle tre incognite x, y e z, sprovvista dei monomi misti xy, xz e yz e avente coefficienti dei termini quadratici non nulli e uguali tra loro.

 

In questa lezione, dedicata agli studenti universitari, ci occuperemo dell'equazione cartesiana della sfera nello spazio tridimensionale. In particolare, vi mostreremo come scrivere l'equazione della sfera essendo note le coordinate del centro e la misura del raggio e, viceversa, nota l'equazione vedremo come ricavare centro e raggio. Se invece siete interessati alle formule elementari della sfera, vi rimandiamo all'omonima lezione.

 

Prima di procedere precisiamo che l'espressione equazione della sfera costituisce un abuso di linguaggio comunemente accettato. Sarebbe più opportuno parlare di equazione della superficie della sfera. Avrete modo di capire di cosa stiamo parlando leggendo il primo paragrafo, in cui abbiamo richiamato le definizioni di sfera e di superficie sferica.

 

Definizioni di sfera e di superficie sferica

 

Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z ), e fissiamo un punto C e un segmento non nullo di lunghezza r.

 

Prende il nome di sfera il solido costituito da tutti i punti dello spazio che hanno distanza da C minore o uguale a r.

 

Si dice superficie sferica il luogo geometrico dei punti P dello spazio aventi distanza da C uguale a r.

 

Il punto C è detto centro della sfera e il segmento r è detto raggio. Per fissare le idee ecco una rappresentazione grafica della sfera nello spazio.

 

 

Sfera nello spazio

Sfera e superficie sferica.

 

 

In questo frangente è bene ribadire la differenza tra le definizioni di sfera e di superficie sferica:

 

- la superficie sferica è il luogo dei punti dello spazio equidistanti da un punto fissato, detto centro;

 

- la sfera è la parte di spazio delimitata dalla superficie sferica.

 

Se ci riflettete un attimo noterete che nel piano vale un discorso del tutto analogo per cerchio e circonferenza. La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto assegnato; il cerchio è la porzione di piano delimitata dalla circonferenza.

 

Detto ciò, quella che si suole calcolare è l'equazione della superficie sferica e non l'equazione della sfera, ma con un abuso di linguaggio ci si riferisce all'equazione della superficie sferica chiamandola equazione della sfera, ed è quello che faremo anche noi da qui in poi.

 

Inoltre, è bene sapere che alcuni libri di testo di Algebra Lineare non fanno alcuna distinzione tra sfera e superficie sferica, e definiscono la sfera come una palla vuota, ossia usano il termine sfera per indicare direttamente la sua superficie.

 

Equazione della sfera

 

Dette C(x_C,y_C,z_C) le coordinate cartesiane del centro della sfera, e indicato con r il raggio, l'equazione della sfera di centro C e raggio r è

 

\mathrm{S}:\ (x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

Più in generale, l'equazione canonica della sfera si scrive come

 

\mathrm{S}:\ x^2+y^2+z^2+\alpha x +\beta y+ \gamma z + \delta = 0

 

Partendo da quest'ultima equazione possiamo ricavare:

 

- le coordinate cartesiane del centro

 

C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, \ -\frac{\gamma}{2}\right)

 

- la misura del raggio, con la formula

 

r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta}

 

Come determinare l'equazione di una sfera

 

Vediamo nel dettaglio come ricavare l'equazione della sfera noti centro e raggio e come determinare l'equazione canonica della sfera.

 

Da qui in poi supponiamo di lavorare in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y,z ) e indichiamo con C(x_C,y_C,z_C) il centro e con r il raggio.

 

Dalla definizione di superficie sferica segue che un punto P(x,y,z) dello spazio appartiene ad essa se e solo se la sua distanza da C coincide con la misura del raggio

 

P(x,y,z) \in \mathrm{S} \iff d(P,C)=r

 

Riscriviamo tale condizione applicando la formula della distanza tra due punti nello spazio

 

\sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2}=r

 

Elevando ambo i membri al quadrato otteniamo l'equazione della sfera noti centro e raggio

 

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

Per ricavare l'equazione canonica sviluppiamo i tre quadrati di binomio

 

x^2-2xx_C+x_C^2+y^2-2yy_C+y_C^2+z^2-2zz_C+z_C^2-r^2=0

 

dopodiché riscriviamo l'equazione nel modo seguente

 

x^2+y^2+z^2+(-2x_C)x+(-2y_C)y+(-2z_C)z+(x_C^2+y_C^2+z_C^2-r^2)=0

 

e poniamo

 

\alpha:=-2x_C\ \ ;\ \ \beta:=-2y_C\ \ ;\ \ \gamma:=-2z_C \\ \\ \delta:=x_C^2+y_C^2+z_C^2-r^2

 

In questo modo l'equazione canonica della sfera si ottiene per semplice sostituzione

 

x^2+y^2+z^2+\alpha x +\beta y+ \gamma z + \delta = 0

 

e, in forza dei passaggi con cui l'abbiamo ricavata, segue che le coordinate del centro sono date da

 

x_C=-\frac{\alpha}{2}, \ \ \ y_C=-\frac{\beta}{2}, \ \ \ z_C=-\frac{\gamma}{2}

 

ossia

 

C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, \ -\frac{\gamma}{2}\right)

 

Per quanto riguarda la formula della misura del raggio

 

\\ r= \sqrt{r^2} = \sqrt{x_C^2+y_C^2+z_C^2-\delta} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(-\frac{\alpha}{2}\right)^2 +\left(-\frac{\beta}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\gamma}{2}\right)^2 - \delta} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta}

 

Sfera degenere e sfera immaginaria

 

Riscriviamo l'equazione canonica di una sfera

 

x^2+y^2+z^2+\alpha x +\beta y+ \gamma z + \delta = 0 \ \ \ (\bullet)

 

e la formula che permette di ricavare la misura del raggio

 

r=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}+\frac{\beta^2}{4}+\frac{\gamma^2}{4}-\delta}

 

che dipende da una radice quadrata. Possiamo allora distinguere tre casi, a seconda del segno del radicando, che può essere positivo, negativo o nullo.

 

 

Caso 1 - Sfera reale

 

Se il radicando è positivo, l'equazione (\bullet) definisce una sfera dello spazio euclideo, detta sfera reale.

 

Caso 2 - Sfera degenere

 

Se il radicando è nullo la sfera si riduce a un solo punto che coincide con il centro. In tal caso l'equazione (\bullet) individua quella che viene detta sfera degenere.

 

Caso 3 - Sfera immaginaria

 

Da ultimo, se il radicando è negativo l'equazione (\bullet) definisce quella che si dice sfera immaginaria, ossia un luogo geometrico vuoto la cui equazione ha le fattezze dell'equazione di una sfera.

 

Caratteristiche dell'equazione della sfera

 

Prima di vedere qualche esempio, fissiamo nuovamente la nostra attenzione sull'equazione canonica di una sfera

 

x^2+y^2+z^2+\alpha x +\beta y+ \gamma z + \delta = 0

 

e analizziamone le caratteristiche principali.

 

1) È un'equazione di secondo grado in 3 incognite x,y,z.

 

2) È sprovvista dei monomi misti xy,xz,yz.

 

3) Dipende dai 4 parametri reali \alpha,\beta,\gamma,\delta, dunque per determinare univocamente l'equazione di una sfera abbiamo bisogno di 4 condizioni indipendenti.

 

4) I coefficienti dei termini quadratici x^2,y^2,z^2 sono non nulli e uguali a 1.

 

In particolare, disponendo dell'equazione di una sfera con coefficienti quadratici diversi da 1, per ricavare correttamente le coordinate del centro e la misura del raggio dovremo dividere tutti i termini dell'equazione per il coefficiente comune ai termini quadratici, e solo a questo punto applicare le formule già viste per risalire a centro e raggio.

 

Esempi sull'equazione della sfera

 

Esempio 1) Stabilire se la seguente equazione rappresenta una sfera

 

2x^2+2y^2+2z^2+6x-4y+2=0

 

e, in caso affermativo, determinare le coordinate del centro e la misura del raggio.

 

Svolgimento: i tre termini quadratici hanno lo stesso coefficiente e l'equazione è priva dei monomi misti, dunque siamo effettivamente in presenza dell'equazione di una sfera.

 

Prima di applicare le formule per centro e raggio dobbiamo scrivere l'equazione in forma canonica, ossia dividere tutto per 2 (coefficiente dei termini quadratici).

 

x^2+y^2+z^2+3x-2y+1=0

 

Le coordinate del centro sono date da

 

C\left(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2}, \ -\frac{\gamma}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2},-\frac{-2}{2},\frac{0}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2},1,0\right)

 

La misura del raggio è

 

\\ r= \sqrt{\left(-\frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\beta}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\gamma}{2}\right)^2 - \delta} = \\ \\ \\ = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2+1^2+0^2-1}= \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{9}{4}+1-1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}

 

 

Esempio 2) Scrivere l'equazione canonica della sfera avente come centro il punto C(2,3,-1) e raggio r=2.

 

Svolgimento: l'equazione della sfera noti centro e raggio è

 

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2+(z-z_C)^2=r^2

 

Sostituiamo le coordinate del centro con C(2,3,-1) e r=2.

 

(x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=2^2

 

Per ottenere la forma canonica richiesta, basta svolgere i conti e ordinare in modo opportuno.

 

\\ (x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=2^2 \\ \\ x^2-4x+4+y^2-6y+9+z^2+2z+1=4 \\ \\ x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z+10=0

 

Possiamo così concludere che l'equazione canonica della sfera di centro C(2,3,-1) e raggio r=2 è

 

x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z+10=0

 

 


 

Per il momento è tutto. Vi consigliamo di dare un'occhiata alla prossima lezione, in cui spieghiamo come calcolare l'equazione del piano tangente una sfera in un punto, nonché alla scheda correlata di esercizi risolti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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