Fascio di piani

Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani che possono avere una retta in comune oppure essere tra loro paralleli: nel primo caso si parla di fascio di piani proprio, nel secondo di fascio di piani improprio.

 

Basandoci sullo studio delle posizioni reciproche tra piani, in questa lezione ci occuperemo dei fasci di piani: vedremo come si definiscono i fasci di piani proprio e improprio, per poi spiegare come se ne scrivono le equazioni.

 

Com'è nostra abitudine correderemo la spiegazione con immagini ed esempi che vi aiuteranno a fissare meglio le idee. ;)

 

Definizione di fascio di piani

 

Per definizione un fascio di piani è un qualsiasi insieme costituito da un'infinità di piani. Se i piani di un fascio hanno una retta in comune, si parla di fascio di piani proprio; se invece gli infiniti piani sono paralleli tra loro, diremo che il fascio di piani è improprio.

 

 

Fascio di piani

Due fasci di piani rispettivamente proprio e improprio

 

 

Ora che abbiamo un'idea concreta di come sono fatti, analizziamo nel dettaglio i due tipi di fasci e vediamo come ricavarne le equazioni.

 

Fascio di piani proprio

 

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) e consideriamo una retta r nello spazio. Un fascio di piani proprio è formato dagli infiniti piani che contengono la retta r, che prende il nome di sostegno del fascio.

 

Se ben ricordate, la forma cartesiana di una retta nello spazio è data dalle equazioni cartesiane di due piani non paralleli che si intersecano nella retta

 

r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}

 

Da qui si capisce che per individuare univocamente un fascio di piani proprio è sufficiente considerare due piani non paralleli che si intersecano nel suo sostegno

 

\\ \alpha:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \beta:\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

e che prendono il nome di generatori del fascio.

 

L'equazione di un fascio di piani proprio avente come sostegno una retta r, individuata da due generatori \alpha, \beta, è data dalla combinazione lineare non banale delle equazioni dei due piani 

 

\mathrm{F}:\ \lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d')= 0\\ \\ \mbox{con }\lambda, \mu \in \mathbb{R}, \ (\lambda, \mu) \neq (0, 0)

 

Sviluppando i prodotti e raccogliendo in modo opportuno possiamo scrivere l'equazione del fascio proprio di piani come

 

\mathrm{F}:\ (\lambda a + \mu a')x+(\lambda b + \mu b')y+(\lambda c + \mu c')z+\lambda d+ \mu d'=0

 

che assomiglia all'equazione cartesiana di un piano, i cui coefficienti direttori

 

(\lambda a + \mu a', \ \lambda b + \mu b', \ \lambda c + \mu c')

 

dipendono dai parametri reali \lambda, \mu. Al variare di tali parametri in \mathbb{R} otteniamo tutti e soli i piani del fascio \mathrm{F}.

 

I parametri \lambda, \mu sono inoltre omogenei, vale a dire che se \rho è un qualsiasi numero reale non nullo allora (\rho \lambda, \rho \mu) e (\lambda , \mu) individuano lo stesso piano.

 

Spesso è scomodo lavorare con due parametri, dunque supponendo che \lambda sia diverso da zero si può porre

 

k= \frac{\mu}{\lambda}

 

e scrivere l'equazione del fascio di piani come

 

\mathrm{F}:\ ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0

 

Sviluppando il prodotto e raccogliendo in modo opportuno si ricade nell'equazione

 

\mathrm{F}:\ (a+ka')x+(b+kb')y+(c+kc')z+d+kd'=0

 

che è più comoda da gestire perché dipende da un solo parametro. In questo modo però non esiste alcun valore di k che individui il secondo piano generatore del fascio

 

\beta:\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

il quale, proprio come nel caso dei fasci di rette, viene detto piano escluso del fascio.

 

Fascio di piani improprio

 

Un fascio improprio di piani è formato da infiniti piani paralleli tra loro. In modo equivalente in un fascio improprio tutti i piani hanno gli stessi parametri direttori, i quali individuano la direzione ortogonale a ciascuno di essi.

 

Per determinare l'equazione di un fascio di piani paralleli ci servono l'equazione cartesiana di un piano

 

\pi:\ ax+by+cz+d=0

 

o in alternativa le componenti di un vettore che individui la direzione normale a tutti i piani del fascio

 

\mathbf{n}=(a,b,c)

 

In entrambi i casi l'equazione del fascio improprio di piani è data da

 

\mathrm{F}:\ ax+by+cz+k=0\ \ \mbox{ con } k \in \mathbb{R}

 

e al variare del parametro k\in\mathbb{R} si ottengono tutti e soli gli infiniti piani del fascio.

 

Come determinare l'equazione di un fascio di piani

 

Il metodo per determinare l'equazione di un fascio di piani varia in base al tipo di fascio.

 

- per scrivere l'equazione di un fascio di piani proprio ci servono le equazioni cartesiane di una retta nello spazio o, equivalentemente, due piani non paralleli. L'equazione del fascio si ottiene uguagliando a zero la combinazione lineare delle equazioni dei due piani;

 

- per determinare l'equazione di un fascio di piani paralleli ci occorre l'equazione cartesiana di un piano o, equivalentemente, la direzione della normale al piano. L'equazione del fascio si ottiene facendo variare il termine noto nell'insieme dei numeri reali.

 

 

Esempio 1

 

Scrivere l'equazione del fascio di piani avente come sostegno la retta r passante per i punti

 

A(1,1,1), \ B(2,3,1)

 

Svolgimento: innanzitutto scriviamo l'equazione della retta r, e per farlo abbiamo bisogno di un punto appartenente alla retta e della rispettiva direzione.

 

Com'è noto, la direzione di una retta dello spazio passante per due punti A, B coincide con la direzione del vettore

 

\mathbf{v}_r=\overrightarrow{AB}=

 

le cui componenti sono date dalla differenza tra le coordinate cartesiane degli estremi

 

=B-A=(2,3,1)-(1,1,1)=(1,2,0)

 

Scegliamo come punto di passaggio A(1,1,1) e componiamo le equazioni cartesiane di r. La terza componente del vettore \mathbf{v}_r è nulla, dunque le equazioni cartesiane di r sono

 

r:\ \begin{cases}\dfrac{x-x_A}{l}=\dfrac{y-y_A}{m}\\ \\ z=z_A \end{cases}

 

ossia

 

r: \begin{cases}\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}\\ \\ z=1 \end{cases}

 

che possiamo riscrivere come

 

r:\ \begin{cases}2x-y-1=0 \\ z-1=0 \end{cases}

 

L'equazione del fascio di piani avente come sostegno la retta r è

 

\mathrm{F}: \lambda(2x-y-1)+\mu(z-1)=0

 

o, se preferite

 

\mathrm{F}: 2\lambda x- \lambda y + \mu z -\lambda-\mu =0

 

 

Esempio 2

 

Scrivere l'equazione del fascio generato dai piani

 

\\ \alpha:\ x-y+2z=0 \\ \\ \beta:\ 2x-2y+4z+5=0

 

Svolgimento: poiché disponiamo delle equazioni cartesiane di due piani, saremmo portati a scrivere l'equazione di un fascio di piani proprio... Ma non lasciamoci trarre in inganno!

 

I vettori dei parametri direttori dei due piani

 

\\ \mathbf{n}_{\alpha}=(1,-1,2) \\ \\ \mathbf{n}_{\beta}=(2,-2,4)

 

sono linearmente dipendenti, infatti

 

\mathbf{n}_{\beta}=2\mathbf{n}_{\alpha}

 

dunque \alpha, \beta sono piani paralleli. In definitiva dobbiamo scrivere l'equazione di un fascio improprio:

 

\mathrm{F}: x-y+2z+k=0

 

 


 

Come al solito vi consigliamo di fare quanti più esercizi possibili. Qui su YM ne potete trovare a decine, tutti accuratamente svolti, utilizzando la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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