Posizioni tra due piani

Stabilire la posizione reciproca tra due piani è una tra le richieste più comuni dei testi d'esame di Geometria dello Spazio, e spesso rientra in esercizi ben più articolati.

 

Lo scopo di questa lezione è quello di spiegare il procedimento per studiare la posizione reciproca di due piani a partire dalle loro equazioni, sia cartesiane che parametriche.

 

Prima però riteniamo opportuno inquadrare la questione da un punto di vista puramente geometrico, dando un'idea concreta di come due piani possono disporsi nello spazio, per poi passare all'atto pratico e mostrare come affrontare e risolvere gli esercizi.

 

Posizioni tra due piani nello spazio da un punto di vista geometrico

 

Il piano è uno degli enti geometrici fondamentali della Geometria Euclidea, per il quale si può fornire solamente una definizione intuitiva. In particolare possiamo pensare al piano come a un foglio di carta che si espande all'infinito.

 

Per capire come due piani possono disporsi reciprocamente tra loro prendiamo, allora, due fogli di carta:

 

- posandoli uno sull'altro avremo un'idea di piani paralleli coincidenti;

 

- se poggiamo uno a terra e l'altro sulla scrivania avremo quelli che vengono detti piani paralleli distinti;

 

- ancora, se facciamo un taglio netto e dritto su uno dei due fogli e incastriamo l'altro in corrispondenza del taglio, saremo di fronte a due piani incidenti che si intersecano lungo il taglio.

 

Cerchiamo ora di esprimere in termini più rigorosi quanto appena scritto. Due piani nello spazio si dicono:

 

- paralleli coincidenti (o coincidenti) se ogni punto dell'uno è anche un punto dell'altro;

 

- paralleli distinti se non hanno alcun punto in comune, ossia se la loro intersezione è vuota.

 

- incidenti se si intersecano lungo una retta.

 

Per non lasciare spazio a dubbi ecco una rappresentazione grafica delle possibili posizioni tra due piani.

 

 

Posizioni tra due piani

Posizioni reciproche tra due piani nello spazio.

 

Posizione tra due piani dalle equazioni

 

È giunto il momento di vedere come studiare la posizione tra due piani partendo dalle loro equazioni. Il seguente paragrafo è dedicato a lettori universitari e più in generale a chiunque abbia una minima dimestichezza con l'Algebra Lineare.

 

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) supponiamo di disporre delle equazioni cartesiane di due piani

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0 \\ \\ \beta:\ a'x+b'y+c'z+d'=0

 

Lo studio della loro reciproca posizione si basa sul calcolo del rango delle seguenti matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}a & b & c \\ a' & b' & c'\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}a & b & c & | & -d \\ a' & b' & c' & | & -d' \end{pmatrix}

 

che sono rispettivamente la matrice incompleta e la matrice completa associate al sistema lineare formato dalle equazioni dei piani.

 

In altri termini, per studiare la posizione reciproca tra due piani dobbiamo studiare la compatibilità del sistema lineare

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

ricorrendo al teorema di Rouché Capelli:

 

1) se il rango della matrice incompleta è massimo, cioè se \mbox{rk}(A)=2, allora è tale anche il rango della matrice completa (A|\mathbf{b}) (essendo A una sua sottomatrice).

 

In tale eventualità il sistema è compatibile e ammette \infty^{3-\mbox{rk}(A)} soluzioni, per cui i piani sono incidenti e le \infty^1 soluzioni sono date da tutti e soli i punti della retta lungo cui i due piani si intersecano.

 

La direzione della retta intersezione, che chiamiamo r, si ottiene dal prodotto vettoriale tra i coefficienti direttori dei piani:

 

\mathbf{v}_r = (a,b,c) \times (a',b',c')

 

In particolare, ricordando che due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo, se

 

(a,b,c)\cdot (a',b',c') = 0

 

risulta che i piani sono incidenti e perpendicolari.

 

 

2) Se il rango della matrice incompleta è pari a 1, cioè se \mbox{rk}(A)=1, dobbiamo distinguere due casi dettati dal valore che può assumere il rango della matrice completa.

 

2a) Se rango della matrice completa (A|\mathbf{b}) è uguale a 2 allora il sistema è incompatibile, ossia i due piani sono paralleli distinti.

 

2b) Se anche il rango della matrice (A|\mathbf{b}) è uguale a 1, il sistema è compatibile e ammette \infty^2 soluzioni, dunque i piani sono paralleli coincidenti.

 

 

Osservazione (studio della posizione tra piani in forma parametrica)

 

Nel caso in cui disponessimo delle equazioni parametriche di uno dei due piani (o di entrambi) basterebbe ricondursi dalla forma parametrica alla forma cartesiana e procedere come abbiamo visto.

 

Esercizio svolto sullo studio della posizione reciproca tra piani

 

Mettiamo un pratica quanto detto fin qui risolvendo un esercizio sullo studio della posizione di due piani.

 

Studiare al variare del parametro reale h\in \mathbb{R} la posizione dei due piani di equazione

 

\alpha:\ 2x+hy-2z+3=0 \\ \\ \beta:\ x+2y-z-1=0

 

Svolgimento: il piano \alpha dipende da un parametro, dunque occorre studiare la compatibilità del sistema lineare parametrico

 

\begin{cases}2x+hy-2z+3=0 \\ x+2y-z-1=0 \end{cases}

 

Scriviamo la matrice completa e la matrice incompleta associate al sistema

 

\\ (A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}2 & h & -2 & | & -3 \\ 1 & 2 & -1 & | & 1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A=\begin{pmatrix}2 & h & -2 \\ 1 & 2 & -1\end{pmatrix}

 

Per facilitare il calcolo del rango delle due matrici possiamo ridurle in matrici a gradini ricorrendo al metodo di eliminazione gaussiana. Prendiamo in esame la matrice completa

 

(A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}2 & h & -2 & | & -3 \\ 1 & 2 & -1 & | & 1\end{pmatrix}

 

e sostituiamo la seconda riga con la differenza tra la prima riga e il doppio della seconda

 

\\ R_2 \to R_1-2R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}2&h&-2&|&-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4&-2&|&2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&h-4&0&|&-5\end{pmatrix}

 

La matrice ridotta è

 

(A|\mathbf{b})'=\begin{pmatrix}2 & h & -2 & | & -3 \\ 0 & h-4 & 0 & | & -5\end{pmatrix}

 

Trascurando l'ultima colonna si ottiene anche la riduzione a scala della matrice incompleta A

 

A'=\begin{pmatrix}2 & h & -2 \\ 0 & h-4 & 0\end{pmatrix}

 

Se ben ricordate, il rango di una matrice a gradini uguaglia il numero di righe non identicamente nulle, dunque

 

\mbox{rk}(A)=\begin{cases}2\ \ \mbox{ se } h \neq 4 \\ 1\ \ \mbox{ se } h=4\end{cases}

 

Di contro, il rango della matrice completa è

 

\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2\ \ \forall h\in\mathbb{R}

 

Basta infatti osservare che la seconda riga della matrice (A|\mathbf{b})' è non nulla per qualsiasi valore del parametro h.

 

Possiamo così concludere che:

 

- per h=4 i due piani sono paralleli distinti, infatti \mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2 \neq 1=\mbox{rk}(A);

 

- per h\neq 4 i piani sono incidenti, essendo \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2.

 

Infine, il prodotto scalare tra le direzioni dei due piani è

 

\\ (2,h,-2) \cdot (1,2,-1) = \\ \\ = 2+2h+2 = 2h+4

 

e si annulla per h=-2, da cui si evince che per tale valore di h i piani sono incidenti e perpendicolari, e l'esercizio è concluso.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Il metodo migliore per interiorizzare tutti i concetti che abbiamo visto consiste nel fare tanti esercizi, e ne potete trovare a iosa utilizzando la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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Tags: posizione tra due piani nello spazio - come stabilire se due piani sono piani paralleli, incidenti, coincidenti e perpendicolari.