Posizioni retta-piano

Vi sono tre possibili posizioni reciproche tra una retta e un piano: una retta e un piano nello spazio possono essere paralleli, incidenti, oppure la retta può giacere interamente sul piano.

 

Dopo aver studiato le possibili posizioni tra due rette nello spazio e in che modo possono disporsi due piani l'uno rispetto all'altro, completiamo il quadro geometrico e ci occupiamo delle possibili posizioni retta-piano. Nella prima parte della lezione analizzeremo le varie configurazioni da un punto di vista geometrico, mostrando graficamente come rette e piani possono disporsi reciprocamente tra loro.

 

Nella seconda parte, dedicata a lettori universitari, spiegheremo come determinare la posizione tra una retta e un piano assegnati attraverso due metodi. Il primo si rifà allo studio della compatibilità del sistema formato dalle equazioni cartesiane di retta e piano, mentre il secondo si basa sul confronto tra i rispettivi vettori dei coefficienti direttori.

 

Posizioni retta-piano da un punto di vista geometrico

 

Partiamo dall'elenco di tutte le posizioni che una retta r può assumere rispetto ad un piano \alpha. Essa può essere:

 

- parallela al piano (parallela esterna), ossia non aver nessun punto in comune con esso;

 

- incidente il piano, quando ha uno e un solo punto in comune con esso;

 

- giacente sul piano (parallela interna), cioè avere infiniti punti in comune con esso. In questo caso tutti gli infiniti punti della retta appartengono al piano.

 

In altri termini, una retta ed un piano possono avere nessuno, infiniti o un solo punto in comune. Nel primo caso retta e piano sono paralleli, nel secondo la retta giace sul piano e nel terzo retta e piano sono incidenti.

 

Sappiamo che retta e piano sono due enti geometrici primitivi, ma possiamo ugualmente farci un'idea intuitiva delle loro possibili posizioni con l'ausilio di un foglio di carta e di una matita. Pensiamo al foglio di carta come a un piano e alla matita come a una retta: tali oggetti sono immersi nella stanza in cui ci troviamo, ossia nello spazio tridimensionale.

 

Possiamo disporre matita e foglio essenzialmente in tre modi: posando la matita sul foglio avremo un'idea di retta che giace sul piano; bucando il foglio con la matita otteniamo un solo punto di intersezione tra retta e piano. Posando infine la matita a terra e il foglio su un piano orizzontale, ad esempio la scrivania, avremo un'idea di parallelismo tra piano e retta.

 

Per fissare le idee ecco una rappresentazione grafica delle posizioni reciproche tra retta e piano.

 

 

Posizione tra retta e piano nello spazio

 

 

Nel prosieguo della lezione studieremo le posizioni tra retta e piano da un punto di vista algebrico, rivolgendoci ai lettori universitari e più in generale a chiunque abbia dimestichezza con l'Algebra Lineare.

 

Posizione tra retta e piano dalle equazioni

 

Vediamo come si affrontano gli esercizi in cui si chiede di determinare la posizione tra una retta e un piano a partire dalle loro equazioni.

 

Possiamo procedere in due modi. Il primo metodo si basa sullo studio della compatibilità del sistema lineare costituito dalle equazioni cartesiane di retta e piano; il secondo si avvale dello studio dei rispettivi vettori direzione.

 

Studio della posizione tra retta e piano tramite un sistema lineare

 

L'equazione cartesiana di un piano è del tipo

 

\alpha:\ ax+by+cz+d=0

 

mentre l'equazione cartesiana di una retta nello spazio è della forma

 

r:\ \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}

 

Studiare la posizione reciproca tra retta e piano in forma cartesiana equivale a studiare la compatibilità del sistema lineare formato dalle loro equazioni, ossia:

 

\begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}

 

Per riuscirci basta applicare il teorema di Rouché Capelli. Dette

 

A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{pmatrix}

 

la matrice dei coefficienti, e

 

(A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix} a & b & c &|&-d\\ a_1 & b_1 & c_1 &|&- d_1\\ a_2 & b_2 & c_2 &|& - d_2 \end{pmatrix}

 

la matrice completa associate al sistema, possono presentarsi le seguenti eventualità.

 

 

Caso 1: retta e piano incidenti

 

Se i ranghi delle matrici incompleta e completa sono entrambi uguali a 3

 

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=3

 

allora il sistema ammette un'unica soluzione, dunque retta e piano sono incidenti. In altri termini se il rango delle due matrici è massimo allora retta e piano si incontrano in un solo punto, le cui coordinate sono date dall'unica soluzione del sistema.

 

 

Caso 2: retta parallela al piano (parallela esterna)

 

Se il rango della matrice incompleta è diverso dal rango della matrice incompleta

 

\mbox{rk}(A) \neq \mbox{rk}(A|\mathbf{b})

 

allora il sistema è incompatibile, per cui retta e piano sono paralleli.

 

 

Caso 3: la retta giace sul piano (parallela interna)

 

Se le due matrici hanno lo stesso rango, ma non rango massimo

 

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b}) = 2

 

il sistema ammette \infty^1 soluzioni, il che vuol dire che la retta giace sul piano.

 

Vi facciamo notare che, nelle nostre ipotesi, la matrice incompleta del sistema lineare non può avere rango 1. In caso contrario le equazioni di r non descriverebbero una retta nello spazio.

 

 

Osservazione (studio della posizione reciproca tra retta e piano in forma parametrica)

 

Se viene assegnata una rappresentazione parametrica della retta, possiamo passare dalle equazioni parametriche alla forma cartesiana e ricondurci al caso precedente.

 

Se invece disponiamo di una rappresentazione parametrica del piano: basterà passare dalla forma parametrica alla forma cartesiana.

 

 

Esempio sullo studio della posizione retta-piano con le equazioni

 

Studiare la posizione reciproca tra il piano

 

\alpha:\ x+5y-3z+5=0

 

e la retta

 

r:\ \begin{cases} x-y-1=0 \\ 2y-z+2=0 \end{cases}

 

Svolgimento: scriviamo il sistema lineare formato dalle loro equazioni cartesiane

 

\begin{cases}x+5y-3z+5=0 \\ x-y-1=0 \\ 2y-z+2=0 \end{cases}

 

e le matrici incompleta e completa associate al sistema

 

\\ A=\begin{pmatrix}1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}1 & 5 & -3 &|&-5\\ 1 & -1 & 0 &|&1 \\ 0 & 2 & -1 &|& -2 \end{pmatrix}

 

Calcoliamo il determinante della matrice A. Usando ad esempio la regola di Sarrus, lasciamo a voi il compito di verificare che

 

\mbox{det}(A)=0

 

dunque il rango di A non è massimo. Poiché la traccia dell'esercizio si riferisce a r come a una retta, potremmo già concludere che \mbox{rk}(A)=2, ma noi preferiamo essere diffidenti... ;)

 

La sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando la prima riga e la prima colonna di A ha determinante non nullo

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}=1-0=1 \neq 0

 

per cui il rango di A è effettivamente 2.

 

Passiamo alla matrice completa

 

(A|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}1 & 5 & -3 &|& -5\\ 1 & -1 & 0 &|& 1 \\ 0 & 2 & -1 &|&-2 \end{pmatrix}

 

Come potete osservare la seconda e la quarta colonna sono uguali, e se si esclude una delle due si ricade, a meno dell'ordine delle colonne, nella matrice A.

 

Questa semplice osservazione ci permette di concludere che

 

\mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2

 

e quindi che la retta giace sul piano.

 

Studio della posizione tra retta e piano tramite i coefficienti direttori

 

Note le equazioni di un piano \alpha e di una retta r, indipendentemente dal fatto che siano in forma parametrica o in forma cartesiana, troviamo i coefficienti direttori del piano e determiniamo i parametri direttori della retta.

 

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}), diciamo

 

\mathbf{n}=(a, b, c)

 

il vettore le cui componenti sono i parametri direttori del piano \alpha, e indichiamo con

 

\mathbf{v}=(l,m,n)

 

il vettore che individua la direzione della retta r.

 

Siano, inoltre, P_0 un qualsiasi punto di r e \cdot il prodotto scalare standard tra vettori.

 

Sono date le seguenti possibilità.

 

A) Se \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} \neq 0, retta e piano sono incidenti.

 

B) Se \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0, e P_0 \notin \alpha, retta e piano sono paralleli esterni.

 

C) Se \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0, e P_0 \in \alpha, la retta è contenuta nel piano (parallela interna).

 

Vediamo di giustificare le precedenti affermazioni. In un riferimento cartesiano ortonormale il vettore dei coefficienti direttori di un piano \mathbf{n} individua la direzione ortogonale a tutte le direzioni parallele al piano, mentre la direzione di una retta è individuata da un qualsiasi vettore parallelo a essa

 

 

Coefficienti direttori di retta e piano

 

 

 

Se il prodotto scalare tra i vettori è nullo, \mathbf{n}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{0}, i due vettori direttori sono perpendicolari. Abbiamo quindi due possibili configurazioni: la retta può giacere sul piano o essere parallela a esso.

 

Come facciamo a capire se ci troviamo nell'una o nell'altra situazione? Basta considerare un generico punto della retta e sostituirlo nell'equazione del piano. Se otteniamo un'identità allora il punto appartiene al piano, e quindi la retta giace sul piano; in caso contrario sono paralleli.

 

Viceversa, se il prodotto scalare tra i vettori direzione non è nullo, \mathbf{n} e \mathbf{v} possono formare un qualsiasi angolo, purché non retto. Ne consegue che retta e piano dovranno necessariamente intersecarsi, ossia essere incidenti.

 

 

Esempio sullo studio della posizione reciproca tra retta e piano con i vettori direttori

 

Riprendiamo il precedente esempio:

 

\alpha:\ x+5y-3z+5=0\\ \\ r:\ \begin{cases} x-y-1=0 \\ 2y-z+2=0 \end{cases}

 

e determiniamone la reciproca posizione ricorrendo al metodo dei vettori direzione.

 

Svolgimento: il vettore dei coefficienti direttori del piano associato all'equazione cartesiana è

 

\mathbf{n}=(1,5,-3)

 

Per ricavare un vettore direzione della retta calcoliamo il prodotto vettoriale delle direzioni normali dei due piani che la definiscono, ossia

 

\mathbf{v}_r=(1, -1, 0) \times (0, 2, -1) = (1, 1, 2)

 

Il prodotto scalare tra i vettori direzione di piano e retta è nullo

 

\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}_r =(1, 5, -3) \cdot (1, 1, 2)=1+5-6=0

 

dunque la retta può essere parallela al piano o giacere su di esso. Per sciogliere il dubbio consideriamo un generico punto della retta, ad esempio

 

P_0(1, 0, 2) \in r

 

È immediato verificare che le sue coordinate soddisfano l'equazione del piano \alpha, e quindi la retta giace sul piano.

 

Caso particolare: retta e piano perpendicolari

 

Detto \mathbf{v}_r=(l,m,n) uno dei vettori direttori della retta r, e indicando con \mathbf{n}_{\alpha}=(a,b,c) un vettore di coefficienti direttori del piano \alpha, la retta r e il piano \alpha sono perpendicolari se e solo se \mathbf{v}_r,\mathbf{n}_{\alpha} sono linearmente dipendenti, ossia se e solo se la matrice che ha per righe (o per colonne) i due vettori ha rango 1.

 

In formule:

 

r \perp \alpha \iff \mbox{rk}\begin{pmatrix}l&m&n \\ a&b&c \end{pmatrix}=1

 

 


 

È tutto! Per concludere ci teniamo a dirvi che spesso, per complicare un po' gli esercizi, vengono assegnate l'equazione di una retta e quella di un fascio di piani, e viene chiesto di studiare la posizione reciproca tra la retta e i piani del fascio.

 

I metodi da utilizzare rimangono esattamente gli stessi, con l'unica differenza che si avrà a che fare con uno o al più due parametri. In particolare, se si opta per il primo metodo, ci si ritrova a dover studiare la compatibilità di un sistema lineare parametrico. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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