Conica in forma canonica

Ridurre una conica alla forma canonica equivale a determinare l'equazione della conica rispetto a un nuovo sistema di riferimento cartesiano ortonormale in cui gli assi coordinati sono gli assi della conica, e l'origine coincide col centro o col vertice della conica a seconda che essa sia una conica a centro o una parabola.

Siamo pronti per studiare il metodo che permette di risolvere un'altra tra le più comuni richieste degli esercizi di Algebra Lineare e Geometria: la riduzione di una conica non degenere alla forma canonica. Lo faremo proponendo due procedimenti: il metodo del cambiamento di coordinate in questa lezione e il metodo degli invarianti nella successiva.

Per cominciare spiegheremo con che forma si presenta l'equazione canonica di una conica non degenere, distinguendone due tipi: l'equazione canonica di una conica a centro (ellisse, iperbole) e l'equazione canonica di una conica non a centro (parabola).

Forma canonica di una conica

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale e sia $\mathrm{C}$ una conica non degenere.

Si dice che $\mathrm{C}$ è in forma canonica se l'equazione della conica assume una delle seguenti forme

$\\ \mathrm{C}:\ \alpha x^2 + \beta y^2 -1 = 0 \\ \\ \mathrm{C}:\ \alpha x^2+y=0 \\ \\ \mathrm{C}:\ \alpha y^2+x=0$

con $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ .

Nel primo caso $\mathrm{C}$ è una conica a centro, cioè un'ellisse o un'iperbole; negli altri due è una parabola con asse rispettivamente coincidente con l'asse e con l'asse .

Il sistema di riferimento in cui l'equazione di una conica $\mathrm{C}$ è in forma canonica è detto riferimento canonico per $\mathrm{C}$ .

Riduzione alla forma canonica per cambiamento di coordinate

Sia $RC(O,x,y)=RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$ un sistema di riferimento cartesiano ortonormale, e siano

$\mathrm{C}:\ a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$

l'equazione di una conica non degenere e

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{33}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}$

le due matrici associate alla conica $\mathrm{C}$ .

Il metodo del cambiamento di coordinate per la riduzione di $\mathrm{C}$ alla forma canonica si basa su una trasformazione del sistema di riferimento eseguita in due passi successivi: una rotazione e una traslazione.

Passo 1: rotazione

Per ridurre $\mathrm{C}$ alla forma canonica dobbiamo dapprima passare dal riferimento cartesiano iniziale

$RC(O,x,y)=RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$

a un nuovo riferimento

$RC(O',x',y') = RC(O',\mathbf{i}',\mathbf{j}')$

lasciando fissa l'origine $(O \equiv O')$ e trasformando la base ortonormale $\mathcal{B}=\{\mathbf{i}, \mathbf{j}\}$ in una opportuna base ortonormale $\mathcal{B}'=\{\mathbf{i}',\mathbf{j}'\}$ .

$\mathbf{i}',\mathbf{j}'$ sono i versori che, nel caso di una conica a centro, definiscono le direzioni degli assi. Nel caso di una parabola individuano la direzione dell'asse della parabola e la direzione della retta ortogonale all'asse e tangente alla parabola.

Questo primo cambiamento di coordinate consiste in una rotazione, come mostrato nelle seguenti immagini.

Rotazione nella riduzione alla forma canonica di una conica a centro

Rotazione nella riduzione alla forma canonica di una parabola

Si può dimostrare che i versori che costituiscono le basi degli autospazi associati alla matrice $A_{33}$ definiscono:

- le direzioni degli assi della conica, se $\mathrm{C}$ è una conica a centro (ellisse o iperbole);

- la direzione dell'asse e la direzione della retta ortogonale all'asse e tangente alla conica, se $\mathrm{C}$ è una parabola.

Di conseguenza la matrice di rotazione con cui si passa da a è una matrice quadrata di ordine 2, le cui colonne sono gli autovettori normalizzati della matrice $A_{33}$ .

Detta la matrice di rotazione, questo cambiamento di coordinate è descritto da

$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = R \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}$

Ricavando i valori di e di in funzione di e , e sostituendoli nell'equazione della conica $\mathrm{C}$ , si giunge a un'equazione della forma

$\mathrm{C}': \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + cx' + dy' + e = 0$

dove $\lambda_1, \lambda_2$ sono gli autovalori della matrice $A_{33}$ .

Per intenderci, se abbiamo svolto correttamente i conti, l'equazione della conica nel sistema di riferimento deve essere priva del termine misto e i coefficienti dei termini quadratici devono coincidere con gli autovalori della matrice $A_{33}$ .

Passo 2: traslazione

Nel secondo passo si effettua un'altra trasformazione di coordinate, e nella fattispecie una traslazione che porti l'origine del riferimento a coincidere:

- col centro della conica $\mathrm{C}'$ , se $\mathrm{C}$ è una conica a centro;

- col vertice della parabola $\mathrm{C}'$ , se $\mathrm{C}$ è una parabola.

Così facendo, inoltre, gli assi del nuovo sistema di riferimento vengono a coincidere con gli assi della conica a centro, o con l'asse della parabola e con la sua tangente nel vertice.

Traslazione nella riduzione alla forma canonica di una parabola

In sintesi, indicando con le coordinate del centro di $\mathrm{C}'$ (ellisse o iperbole) o del vertice di $\mathrm{C}'$ (parabola), la traslazione che permette di ridurre $\mathrm{C}$ alla forma canonica è

$\begin{cases}x'=X+x'_0 \\ y'=Y+y'_0\end{cases}$

Ricapitolando

Per ridurre una conica $\mathrm{C}$ non degenere alla forma canonica si deve:

1) scrivere la matrice dei termini quadratici $A_{33}$ associata alla conica.

2) Calcolare gli autovettori relativi alla matrice $A_{33}$ .

3) Normalizzare i due autovettori.

4) Comporre la matrice di rotazione che ha per colonne i due autovettori normalizzati;

5) Effettuare il cambiamento di coordinate

$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = R \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}$

così da ricondursi all'equazione $\mathrm{C}'$ della conica nel nuovo sistema di riferimento.

6) Se $\mathrm{C}$ è un'ellisse o un'iperbole, calcolare le coordinate del centro di $\mathrm{C}'$ ; se $\mathrm{C}$ è una parabola, calcolare le coordinate del vertice di $\mathrm{C}'$ .

In entrambi i casi indichiamo tali coordinate con

7) Effettuare la trasformazione

$\begin{cases}x'=X+x'_0 \\ y'=Y+y'_0\end{cases}$

Metodo alternativo: rototraslazione

Anziché operare un doppio cambiamento di coordinate si potrebbe optare direttamente per una rototraslazione, e quindi ridurre la conica $\mathrm{C}$ alla forma canonica mediante il cambiamento di coordinate

$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = R \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$

dove è l'usuale matrice di rotazione e sono le coordinate del centro / del vertice della conica, a seconda che sia una conica a centro o una parabola.

Sebbene questo metodo possa apparire più semplice vi assicuriamo che non lo è, per il semplice motivo che richiede una mole notevole di conti: salvo casi particolari, il più delle volte ci si ritrova a dover sviluppare due quadrati di trinomio e il prodotto tra due trinomi.

Esempi di riduzione alla forma canonica mediante cambio di coordinate

Vediamo un paio di esempi di riduzione alla forma canonica di una conica non degenere, considerando una conica a centro nel primo e una parabola nel secondo.

Esempio 1 - Riduzione alla forma canonica di una conica a centro

Classificare la seguente conica e ridurla alla forma canonica

$\mathrm{C}_1:\ 5x^2+5y^2-6xy+16\sqrt{2}x+38=0$

Svolgimento: per classificare la conica assegnata scriviamo le matrici associate

$A=\begin{pmatrix}5 & -3 & 8\sqrt{2} \\ -3 & 5 & 0 \\ 8\sqrt{2} & 0 & 38 \end{pmatrix} \ \ \ , \ \ \ A_{33}=\begin{pmatrix}5 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$

e calcoliamone il determinante.

$\mbox{det}(A)=-32 \neq 0$

quindi $\mathrm{C}_1$ è non degenere. Inoltre

$\mbox{det}(A_{33})=16 > 0$

e possiamo concludere che $\mathrm{C}_1$ è un'ellisse.

Il polinomio caratteristico associato alla matrice $A_{33}$ è

$\\ p(\lambda) = \mbox{det}(A_{33}-\lambda \mbox{Id}_2) = \\ \\ = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}5&-3 \\ -3&5\end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}5-\lambda & -3 \\ -3 & 5-\lambda \end{pmatrix} = \\ \\ = (5-\lambda)^2-9 = \\ \\ = \lambda^2-10\lambda+16$

Gli zeri del polinomio caratteristico, e quindi gli autovalori di $A_{33}$ , sono

$\lambda_1=2, \ \lambda_2=8$

Proseguiamo calcolando gli autovettori relativi a ciascun autovalore. Per determinare gli autovettori relativi a $\lambda_1=2$ consideriamo il sistema lineare omogeneo

$(A_{33}-\lambda_1 \mbox{Id}_2) \mathbf{v} = \mathbf{0}$

dove $\mathbf{v}=(x,y)^T$ è il vettore colonna delle incognite.

$\left[\begin{pmatrix}5&-3 \\ -3&5\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$

ossia

$\begin{pmatrix}3&-3 \\ -3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$

da cui

$\begin{cases}3x-3y=0 \\ -3x+3y=0\end{cases}$

Tale sistema ammette $\infty^1$ soluzioni, date da

$(x,y)=(t,t)=t(1,1)\ \ \mbox{ con } t \in \mathbb{R}$

per cui un autovettore relativo all'autovalore $\lambda_1=2$ è

$\mathbf{v}_1=(1,1)$

Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che un autovettore associato all'autovalore $\lambda_2=8$ è

$\mathbf{v}_2=(-1,1)$

Calcoliamo la norma di ciascun autovettore

$\\ ||\mathbf{v}_1|| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \\ \\ ||\mathbf{v}_2|| = \sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$

e normalizziamoli

$\\ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{||\mathbf{v}_1||} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ \\ \\ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{v}_2}{||\mathbf{v}_2||} = \frac{1}{\sqrt{2}} (-1,1) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

A questo punto possiamo comporre la matrice di rotazione, le cui colonne sono i vettori $\mathbf{u}_1 \mbox{ e } \mathbf{u}_2$

$R=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$

Siamo pronti a effettuare il primo cambio di sistema di riferimento

$\begin{pmatrix}x \\ \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x' \\ \\ y'\end{pmatrix}$

da cui si ottiene

$\begin{cases}x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x'-\dfrac{1}{\sqrt{2}}y' \\ \\ y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x'+\dfrac{1}{\sqrt{2}}y\end{cases}$

Sostituendo tali espressioni di e nell'equazione della conica

$\mathrm{C}_1:\ 5x^2+5y^2-6xy+16\sqrt{2}x+38=0$

si ricava l'equazione

$5\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x'-\frac{1}{\sqrt{2}}y'\right)^2+5\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{2}}y'\right)^2 + \\ \\ \\ - 6\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x'-\frac{1}{\sqrt{2}}y'\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{2}}y'\right)+ \\ \\ \\ + 16\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x'-\frac{1}{\sqrt{2}}y'\right)+38=0$

che, con le dovute semplificazioni, si riduce a

$\mathrm{C}_1':\ 2x'^2+8y'^2+16x'-16y'+38=0$

Notiamo che tale equazione è sprovvista del monomio e i coefficienti dei termini quadratici sono gli autovalori della matrice $A_{33}$ . Ciò conferma che siamo sulla buona strada. :)

Proseguiamo. In accordo con il metodo già studiato nella lezione sullo studio delle coniche, ricaviamo le coordinate del centro di conica

Possiamo ora effettuare la traslazione che porta l'origine del sistema di riferimento nel centro della conica, con la conseguenza che gli assi del nuovo sistema di riferimento verranno a coincidere con gli assi dell'ellisse

$\begin{cases}x'=X+x_0' \\ y'=Y+y_0'\end{cases}$

cioè

$\begin{cases}x'=X-4 \\ y'=Y+1\end{cases}$

Sostituiamo nell'equazione della conica

$\\ \mathrm{C}_1':\ 2x'^2+8y'^2+16x'-16y'+38=0 \\ \\ 2(X-4)^2+8(Y+1)^2+16(X-4)-16(Y+1)+38=0$

e, dopo aver svolto i conti, ricaviamo finalmente

che è l'equazione canonica della conica $\mathrm{C}_1$ .

Esempio 2 - Riduzione alla forma canonica di una parabola

Ridurre alla forma canonica la parabola di equazione

$\mathrm{C}_2:\ x^2+4y^2-4xy-4x+3y+1=0$

Nota bene: in questo caso proponiamo uno svolgimento basato sul metodo della rototraslazione, ma ci limitiamo a riportare solo i passi salienti omettendo i calcoli.

Svolgimento ridotto: la matrice dei termini quadratici associata alla conica è

$A_{33} = \begin{pmatrix}1&-2 \\ -2&4\end{pmatrix}$

i cui autovalori sono

$\lambda_1=0 \ , \ \lambda_2=5$

Un autovettore relativo a $\lambda_1=0$ è

$\mathbf{v}_1=(2,1)$

mentre un autovettore relativo a $\lambda_2=5$ è

$\mathbf{v}_2=(-1,2)$

Normalizziamoli:

$\\ \mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{v}_1}{||\mathbf{v}_1||}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) \\ \\ \\ \mathbf{u}_2=\frac{\mathbf{v}_2}{||\mathbf{v}_2||}=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

La matrice di rotazione è

$R=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}} & -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}$

Il vertice della parabola è

$V(x_0,y_0)=\left(\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)$

e quindi la rototraslazione che permette di ricavare la forma canonica di $\mathrm{C}_2$ è descritta da

$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = R \begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$

ossia

$\begin{pmatrix}x \\ \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{\sqrt{5}} & -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x' \\ \\ y'\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} \\ \\ -\dfrac{2}{5}\end{pmatrix}$

da cui si ottiene

$\begin{cases}x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}x'-\dfrac{1}{\sqrt{5}}y'+\dfrac{1}{5} \\ \\ y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}x'+\dfrac{2}{\sqrt{5}}y'-\dfrac{2}{5}\end{cases}$

Sostituendo tali espressioni nell'equazione di $\mathrm{C}_2$ , dopo alcune semplificazioni se ne ottiene la forma canonica

$5y'^2-\sqrt{5}x'=0$

Pro e contro della riduzione in forma canonica per cambiamento di coordinate

Come avrete notato la riduzione alla forma canonica tramite rotazione+traslazione (o rototraslazione) risulta piuttosto laboriosa, ma ha un pregio: consente di tornare al vecchio sistema di coordinate mediante la trasformazione inversa

$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = R^T \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$

dove indica la trasposta della matrice di rotazione.

Questo aspetto non è da sottovalutare. Uno dei metodi per studiare una conica prevede infatti di ridurla alla forma canonica, per poi determinarne gli elementi notevoli con le formule di Geometria Analitica note fin dalle scuole superiori e, infine, di "riportarli" nel sistema di coordinate iniziali.

Nella lezione successiva studieremo un secondo metodo di riduzione delle coniche alla forma canonica - il cosiddetto metodo degli invarianti - decisamente più veloce del metodo del cambiamento di coordinate e dunque più conveniente, purché non vi sia l'esigenza di ritornare al sistema di coordinate di partenza.

Qui abbiamo finito. Per altri esercizi accuratamente svolti e spiegati punto per punto potete far affidamento sulla barra di ricerca interna, come pure sulla scheda correlata di esercizi risolti. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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