Conica in forma canonica

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Data l'equazione di una conica in forma generale vedremo, in questa lezione, come ricondurci all'equazione della conica in forma canonica e lo faremo analizzando due procedimenti:

- mediante un'opportuna rototraslazione che costruiremo passo passo;

- col metodo degli invarianti.

Il secondo di tali metodi è senza dubbio il più semplice ma ha un piccolo difetto: mentre il metodo della rototraslazione ci permette di passare dal nuovo al vecchio sistema di riferimento, quello degli invarianti ci dice, con pochissimi conti, qual è l'equazione canonica ma non ci permette di tornare indietro.

Forma canonica di una conica mediante rototraslazione

Data una conica non degenere in forma generale:

$a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22} y^2 +2a_{13} x + 2a_{23} y + a_{33}=0$

Indicate con

$A= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right]$ e $B= \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{matrix}\right]$

la matrice completa ed incompleta (o dei termini quadratici) associate alla conica, per ottenere l'equazione canonica dobbiamo eseguire:

- una rotazione in modo che gli assi (o l'asse) della canonica siano paralleli agli assi cartesiani x e y. Da un punto di vista dell'equazione questo porterà alla scomparsa del termine .

- Una traslazione che porterà a far coincidere il centro (di ellisse o iperbole) o il vertice (se si tratta di una parabola) con l'origine degli assi cartesiani. Questo porterà alla scomparsa dei termini e nell'equazione di partenza.

Vediamo ora come costruire queste due trasformazioni.

Premettiamo che essendo una matrice simmetrica essa è diagonalizzabile, ovvero esisterà una matrice tale che:

$R^{-1}BR=D$

dove con $R^{-1}$ indichiamo l'inversa della matrice e con una matrice diagonale.

Rotazione

1-R) si determinano autovalori e relativi autovettori della matrice ;

2-R) si normalizzano gli autovettori trovati;

3-R) la matrice di rotazione sarà la matrice che avrà come colonne i vettori trovati al punto precedente.

I passi visti fin qui corrispondono al cambiamento di base:

$(*) \ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right]$

cioè utilizzando (*) troveremo i valori di x e y in funzione di X e Y che sostituiremo nell'equazione di partenza. Se tutto è andato bene il termine XY non ci sarà. Se non fosse ancora sparito dovete rivedere i vostri conti.

Facciamoci furbi! Dato per scontato che abbiamo trovato correttamente la matrice , la forma quadratica: $a_{11}x^2 + 2a_{12} xy + a_{22}y^2$ nelle nuove coordinate X,Y sarà:

$\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2$

dove $\lambda_1, \ \lambda_2$ sono gli autovalori della matrice . Attenzione però all'ordine! $\lambda_1$ sarà l'autovalore corrispondente all'autovettore che abbiamo messo sulla prima colonna di e $\lambda_2$ l'autovalore corrispondente all'autovettore che abbiamo messo sulla seconda.

Traslazione

Distinguiamo due casi:

1-T) Se siamo di fronte ad una conica a centro (ellisse o iperbole) ricerchiamo il centro della conica.

2-T) Se abbiamo una parabola ne ricerchiamo il vertice.

In definitiva indicate con le coordinate del centro (o del vertice nel caso della parabola) della nostra conica, la rototraslazione che ci farà passare dall'equazione generale a quella canonica sarà:

$\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \right]$

Viceversa, quella che ci farà tornare nel vecchio sistema di riferimento sarà

$\left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] = R^T \left[ \begin{matrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{matrix} \right]$

dove è la trasposta della matrice , che coincide con la sua inversa in quanto è una matrice ortonormale.

Forma canonica col metodo degli invarianti

Vediamo innanzitutto quali sono gli invarianti di una conica:

: invariante cubico. Altro non è che il determinante della matrice completa associata alla conica

: invariante quadratico. È il determinante della matrice dei termini quadratici

: invariante lineare dato dalla traccia della matrice dei termini quadratici.

Per passare dalla forma generale all'equazione canonica di una conica col metodo degli invarianti si procede il modo seguente:

- classifichiamo la conica assicurandoci che non sia degenere

- calcoliamo gli autovalori $\lambda_1, \ \lambda_2$ della matrice dei termini quadratici:

se si tratta di un'ellisse o di un'iperbole sappiamo che dobbiamo arrivare ad un'equazione del tipo: $ax^2 \pm by^2=\pm 1$ passando da un'equazione del tipo: $\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + t =0$ .

Per trovare imporremo che:

$det(A) = det \left[ \begin{matrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & t\end{matrix} \right]$

Se si tratta di una parabola dobbiamo arrivare ad un'equazione del tipo: passando da un'equazione del tipo: $\lambda x^2+2ty=0$ , dove $\lambda$ è l'autovalore non nullo della matrice . Per trovare imporremo che:

$det(A) = det \left[ \begin{matrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t \\ 0 & t & 0\end{matrix} \right]$

Esempio sulla riduzione di una conica in forma canonica

Ridurre in forma canonica la seguente conica:

$5x^2+5y^2-6xy+16\sqrt{2}x+38=0$

Come prima cosa classifichiamola:

$A= \left[ \begin{matrix} 5 & -3 & 8\sqrt{2} \\ -3 & 5 & 0 \\ 8\sqrt{2} & 0 & 38\end{matrix}\right] \ \ \ B= \left[ \begin{matrix} 5 & -3 \\ -3 & 5 \end{matrix}\right]$

$det(A)=-32 \neq 0$ : conica non degenere

$det(B)=16 \textgreater 0$ : ellisse

Iniziamo col determinarne la forma canonica col metodo della rototraslazione.

1-R) Troviamo autovalori e relativi autovettori della matrice :

$det(B-I \lambda)=0 \iff (5-\lambda)^2-9=0 \iff \lambda^2-10\lambda+16=0 \iff \lambda_1=2, \ \lambda_2=8$

I relativi autospazi sono: generato dal vettore

generato dal vettore

2-R) Normalizziamo i vettori trovati al punto precedente:

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right), \ \ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

3-R) La matrice di rotazione sarà:

$R= \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]$

Indicate con le nuove coordinate abbiamo quindi che:

$\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \\ \frac{1}{\sqrt{2}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y \end{matrix} \right]$

Ovvero:

$\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{2}}X - \frac{1}{\sqrt{2}}Y \\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}X + \frac{1}{\sqrt{2}}Y\end{cases}$

Andando a sostituire nell'equazione di partenza avremo:

$(\spadesuit) \ 2X^2+8Y^2+16X-16Y+38=0$

Osserviamo che il termine è sparito e che 2 e 8 (coefficienti di e rispettivamente) sono proprio gli autvalori della matrice .

Effettuiamo ora una traslazione, riferita, attenzione, alla conica $(\spadesuit)$ , per far coincidere il suo centro con l'origine degli assi cartesiani.

Dette le coordinate del nuovo sistema di riferimento, la traslazione sarà:

$\begin{cases}X=x'-4 \\ Y=y'+1 \end{cases}$

Sostituendo in $(\spadesuit)$ avremo (finalmente) la nostra conica in forma canonica:

, ovvero

Per chi è particolarmente avverso ai conti () e vuol fare il tutto in un solo colpo, una volta trovata la matrice di rotazione , potrà trovare il centro della conica di partenza $(x_0, \ y_0)$ e troverà la forma canonica mediante l'unica trasformazione di coordinate:

$\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = R \left[ \begin{matrix} X \\ Y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \right]$

Procediamo ora col metodo degli invarianti

La conica da ridurre alla forma canonica era: $5x^2+5y^2-6xy+16\sqrt{2}x+38=0$

ellisse con determinante della matrice completa () e autovalori della matrice dei termini quadratici: $\lambda_1=2$ e $\lambda_2=8$ .

La nostra equazione canonica, come visto nella parte teorica, sarà quindi del tipo: , con che si ottiene ponendo:

$det(A)=-32=det \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{matrix}\right]=16t$

Ovvero: e quindi la forma canonica della nostra conica è proprio:

$2x^2+8y^2-2=0 \to x^2+4y^2=1$

che è la stessa che abbiamo ottenuto col metodo della rototraslazione!

Buon Proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino [Galois]

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