Fasci di coniche

Un fascio di coniche è un insieme di infinite coniche che hanno in comune quattro punti, di cui mai tre allineati, oppure che hanno in comune una retta. Nel primo caso si tratta di un fascio di coniche irriducibile (o non speciale), nel secondo di un fascio di coniche riducibile (o speciale).

La lezione che state per leggere è interamente dedicata ai fasci di coniche. Partiremo dalla definizione per poi vedere cosa sono le coniche base e i punti base di un fascio, e qual è la differenza tra fasci di coniche irriducibili e riducibili.

Ci concentreremo infine sui fasci irriducibili, li classificheremo in base alle configurazione dei punti base e concluderemo spiegando come si affronta lo studio di un fascio di coniche.

Cos'è un fascio di coniche

Nel piano complessificato e ampliato con gli elementi impropri consideriamo le equazioni di due coniche distinte in coordinate omogenee

C_1: Σ_(i,j = 1)^3 a_(ij)x_ix_j = 0 ; C_2: Σ_(i,j = 1)^3 b_(ij)x_ix_j = 0

Si dice fascio di coniche generato da C_1,C_2 l'insieme di tutte le coniche la cui equazione può essere ricavata come combinazione lineare delle equazioni di C_1,C_2.

Dalla definizione segue che l'equazione del fascio di coniche individuato da C_1,C_2 è

F: λ C_1+μ C_2 = 0

ossia

F: Σ_(i,j = 1)^3(λ a_(ij)+μ b_(ij))x_ix_j = 0

con λ, μ numeri reali non entrambi nulli.

Supponendo λ ≠ 0 e ponendo k = (μ)/(λ), l'equazione di un fascio di coniche può essere riscritta in funzione di un solo parametro nella forma

F: C_1+k C_2 = 0

o, esplicitamente

F: Σ_(i,j = 1)^3(a_(ij)+k b_(ij))x_ix_j = 0

Questa rappresentazione presenta un piccolo problema: non esiste alcun valore reale di k che individua la conica C_2, la quale viene detta conica esclusa del fascio.

Coniche base e punti base di una fascio di coniche

Prendono il nome di coniche base di un fascio (o generatrici) le due coniche C_1,C_2 con cui è scritta l'equazione del fascio, indipendentemente dal fatto che quest'ultima presenti uno o due parametri.

Esclusa l'eventualità in cui le coniche base sono entrambe degeneri e hanno una retta in comune, in tutti gli altri casi le coniche generatrici hanno quattro punti in comune, che possono essere reali o immaginari, distinti o coincidenti, propri o impropri. Questi quattro punti prendono il nome di punti base del fascio.

Nel caso banale di due coniche generatrici entrambe degeneri e aventi una retta r in comune, tutte le coniche del fascio sono degeneri e si decompongono nella retta r e in un'altra retta che varia da conica a conica.

All'atto pratico per determinare le equazioni delle coniche generatrici è sufficiente raccogliere opportunamente rispetto ai parametri che compaiono nell'equazione del fascio. Dette C_1,C_2 le coniche base del fascio, per calcolare le coordinate dei punti base nel caso non banale basta intersecare C_1 e C_2, ossia calcolare le soluzioni del sistema formato dalle loro equazioni.

Esempio: coniche base e punti base di un fascio di coniche

Determinare le coniche generatrici e i punti base del fascio

F: (9k+1)x^2+(9k+1)y^2−14kxy+2(5k−1)x−2(11k+2)y+1−19k = 0

Svolgimento: per risalire alle equazioni delle coniche base svolgiamo tutti prodotti, per poi mettere in evidenza il fattore k

(9k+1)x^2+(9k+1)y^2−14kxy+2(5k−1)x−2(11k+2)y+1−19k = 0 ; 9kx^2+x^2+9ky^2+y^2−14kxy+10kx−2x−22ky−4y+1−19k = 0 ; x^2+y^2−2x−4y+1+k(9x^2+9y^2−14yx+10x−22y−19) = 0

Ci siamo così ricondotti a un'equazione della forma

C_1+kC_2 = 0

e possiamo concludere che le coniche base del fascio sono

C_1: x^2+y^2−2x−4y+1 = 0 ; C_2: 9x^2+9y^2−14yx+10x−22y−19 = 0

I punti base si ottengono mettendo a sistema le equazioni delle due coniche base

x^2+y^2−2x−4y+1 = 0 ; 9x^2+9y^2−14yx+10x−22y−19 = 0

Per trovarne le soluzioni moltiplichiamo la prima per -9

−9x^2−9y^2+18x+36y−9 = 0 ; 9x^2+9y^2−14yx+10x−22y−19 = 0

e sommiamo le due equazioni membro a membro, così da ottenere

28x+14y−14xy−28 = 0

Semplifichiamola dividendo per 14 e scomponiamola con un raccoglimento parziale

x(2−y)−(2−y) = 0 ; (2−y)(x−1) = 0

Per la legge di annullamento del prodotto dev'essere

y = 2 ∨ x = 1

Sostituiamo ciascuno dei valori ottenuti in una delle equazioni del sistema iniziale, ad esempio la prima. Ne ricaviamo due sistemi

x^2+y^2−2x−4y+1 = 0 ; y = 2 ; x^2+y^2−2x−4y+1 = 0 ; x = 1

Lasciamo a voi il compito di trovare le rispettive soluzioni e di verificare che i punti base del fascio sono

A(−1,2) , B(3,2) , C(1,0) , D(1,4)

Fascio di coniche riducibile e fascio di coniche irriducibile

Sappiamo che possono presentarsi due eventualità riguardo a coniche generatrici e punti base di un fascio:

I) le coniche generatrici si intersecano in 4 punti base (reali o immaginari e contati con le rispettive molteplicità);

R) le coniche base del fascio hanno una retta in comune.

Nel primo caso diremo che il fascio di coniche è irriducibile (o non speciale), nel secondo che è riducibile (o speciale).

Si può dimostrare che in un fascio di coniche riducibile tutte le coniche sono degeneri, mentre un fascio di coniche irriducibile ha, al più, tre coniche degeneri.

Esempi su fasci di coniche riducibili e irriducibili

F_1: x^2+kx(y−1) = 0

è un fascio di coniche riducibile, infatti le coniche base del fascio sono

C_1: x^2 = 0 ; C_2: x(y−1) = 0

e hanno in comune la retta r di equazione x = 0.

F_2: x^2+y^2−2x−4y+1+k(x^2+10y^2−2x−40y+31) = 0

è un fascio di coniche irriducibile, in quanto le due coniche generatrici sono non degeneri.

Configurazione dei punti base di un fascio di coniche irriducibile

I quattro punti base A, B, C, D di un fascio di coniche irriducibile possono presentarsi in configurazioni diverse a seconda che alcuni di essi coincidano o che siano tutti distinti tra loro.

Caso 1 - Quattro punti base distinti

Se i quattro punti base A, B, C, D sono tutti distinti allora il fascio ha esattamente tre coniche degeneri distinte, di cui almeno una è reale.

Fascio di coniche con quattro punti base distinti

Fascio di coniche con quattro punti base distinti.

Dette C_1, C_2, C_3 le coniche degeneri del fascio, tali coniche sono semplicemente degeneri e sono costituite dalle coppie di rette che congiungono i punti base a due a due.

Più precisamente:

C_1 = r_(AB) U r_(CD) ; C_2 = r_(AC) U r_(BD) ; C_3 = r_(AD) U r_(BC)

Caso 2 - Due dei quattro punti base coincidono (fascio di coniche tangenti)

Se due punti base coincidono, ad esempio A ≡ B, tutte le coniche non degeneri del fascio hanno la stessa retta tangente t in A.

Fascio di coniche tangenti

Fascio di coniche tangenti.

In tal caso le coniche degeneri del fascio sono due

C_1 = t U r_(CD) ; C_2 = r_(AC) U r_(AD)

Caso 3 - I quattro punti base coincidono a due a due (fascio di coniche bitangenti)

Se i punti base coincidono a due a due, cioè se A ≡ B e C ≡ D, allora tutte le coniche non degeneri del fascio hanno due rette tangenti in comune, da cui il nome fascio di coniche bitangenti.

Tali rette sono la t_1 tangente in A e la t_2 tangente in C.

Fascio di coniche bitangenti

Fascio di coniche bitangenti.

In un fascio di coniche bitangenti le coniche degeneri sono due, una semplicemente e l'altra doppiamente degenere:

C_1 = t_1 U t_2 ; C_2 = r_(AC) U r_(AC)

Caso 4 - Tre punti base coincidono (fascio di coniche osculatrici)

Se A ≡ B ≡ C e il punto D è distinto da essi, tutte le coniche non degeneri del fascio hanno la stessa retta tangente nel punto A, che viene detto punto di osculazione, da cui il nome di fascio di coniche osculatrici.

Fascio di coniche osculatrici

Fascio di coniche osculatrici.

In un fascio di coniche osculatrici vi è una sola conica semplicemente degenere, formata dalla retta tangente e dalla retta passante per i punti A,D

C_1 = t U r_(AD)

Caso 5 - Tutti i punti base coincidono (fascio di coniche iperosculatrici)

Se tutti i punti base coincidono, ossia se A ≡ B ≡ C ≡ D, allora tutte le coniche non degeneri del fascio hanno la stessa retta tangente in A (detto punto di iperosculazione).

Fascio di coniche iperosculatrici

Fascio di coniche iperosculatrici.

Un fascio siffatto è detto fascio di coniche iperosculatrici e ammette una sola conica doppiamente degenere, formata dalla retta tangente contata due volte

C_1 = t U t

Studio di un fascio di coniche

Studiare un fascio di coniche significa innanzitutto ricavare le equazioni delle coniche generatrici, per poi stabilire se si tratta di un fascio riducibile o irriducibile.

Nella prima eventualità possiamo fermarci; nella seconda dobbiamo completare lo studio con tre ulteriori passaggi:

- determinare le coordinate dei punti base del fascio;

- classificare le coniche del fascio, ossia stabilire per quali valori reali del parametro (o dei parametri) si ottengono coniche semplicemente degeneri, doppiamente degeneri e non degeneri;

- classificare le coniche non degeneri del fascio tra ellissi, iperboli e parabole.

Per raggiungere lo scopo è sufficiente applicare l'usuale metodo di classificazione delle coniche. Basta pensare all'equazione del fascio come all'equazione parametrica di una conica, scrivere le due matrici associate e trarre le dovute conclusioni.

Esempio sullo studio di un fascio di coniche

Studiare il fascio di coniche di equazione

C: x^2+(k−1)y^2−4x−2y+3 = 0

Svolgimento: per cominciare determiniamo le equazioni delle coniche generatrici. Riscriviamo l'equazione del fascio sviluppando i prodotti e raccogliendo rispetto al parametro

x^2+ky^2−y^2−4x−2y+3 = 0 ; x^2−y^2−4x−2y+3+ky^2 = 0

Da qui è facile determinare le equazioni delle coniche base

C_1: x^2−y^2−4x−2y+3 = 0 ; C_2: y^2 = 0

Il fascio è irriducibile in quanto non esiste alcuna retta comune.

Proseguiamo lo studio determinando i punti base come intersezioni tra le coniche generatrici. Impostiamo il sistema

x^2−y^2−4x−2y+3 = 0 ; y^2 = 0

La seconda equazione ammette come soluzione y = 0 con molteplicità due. La prima equazione si riduce a

x^2−4x+3 = 0

da cui le soluzioni x = 1 , x = 3. I punti base sono quindi

A(1,0) , B(3,0)

e ne deduciamo che C è un fascio di coniche bitangenti, per cui devono esservi una conica semplicemente degenere e una doppiamente degenere.

Passiamo alla classificazione delle coniche del fascio. Riprendiamo l'equazione così com'è stata assegnata

x^2+(k−1)y^2−4x−2y+3 = 0

scriviamo le due matrici associate

A = [1 0 −2 ; 0 k−1 −1 ;−2 −1 3] ; A_(33) = [1 0 ; 0 k−1 ]

e calcoliamone i determinanti

det(A) = −k ; det(A_(33)) = k−1

Il determinante di A si annulla per k = 0, dunque:

- per k = 0 otteniamo una conica degenere;

- per k ≠ 0 otteniamo coniche generali (o non degeneri).

In particolare per k = 0 si ottiene una delle coniche generatrici

C_1: x^2−y^2−4x−2y+3 = 0

che è semplicemente degenere. Non dimentichiamoci la conica esclusa del fascio:

C_2: y^2 = 0

che è doppiamente degenere.

Per ultimare lo studio dobbiamo analizzare le coniche non degeneri del fascio, e per farlo studiamo il segno del determinante di A_(33).

Ricordiamo che:

- se det(A_(33)) > 0, le coniche sono ellissi;

- se det(A_(33)) = 0, le coniche sono parabole;

- se det(A_(33)) < 0, le coniche sono iperboli.

Nel nostro caso det(A_(33)) = k−1 ed è facile vedere che:

- per k > 1 le coniche del fascio sono ellissi;

- a k = 1 corrisponde una parabola;

- per k < 1, k ne 0 le coniche del fascio sono iperboli.

Ci fermiamo qui, ricordando che per altri esercizi svolti o per eventuali dubbi potete far affidamento sulla barra di ricerca interna e sulla scheda correlata. Con questa lezione chiudiamo la parte del corso dedicata alle coniche; dalla prossima ci occuperemo delle quadriche. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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