Studio di una conica

Studiare una conica vuol dire innanzitutto classificarla, ossia stabilire se è degenere o generale. Nel caso di una conica degenere si determinano le equazioni delle rette in cui si spezza, mentre nel caso di una conica generale si calcolano le coordinate di centro, fuochi e vertici e le equazioni di assi e asintoti.

Dando per assodato che sappiate come classificare una conica, in questa lezione ci occupiamo della seconda parte dello studio dell'equazione di una conica. Mostreremo come si determinano le equazioni delle rette da cui è formata una conica semplicemente e doppiamente degenere, e spiegheremo come si definiscono e come si calcolano centro, vertici, fuochi, assi, asintoti e direttrici di una conica non degenere.

Per comprendere a fondo quanto diremo, oltre a saper classificare una conica occorre sapere cosa sono il polo di una retta e la retta polare di un punto riferiti a una conica. Abbiamo trattato questi argomenti in dettaglio nella lezione sulla polarità.

Studio di una conica degenere

Supponiamo che, nel piano complessificato, venga assegnata l'equazione di una conica in coordinate non omogenee

Nel caso disponessimo di un'equazione in coordinate omogenee sarebbe sufficiente passare dall'una all'altra forma.

Se il determinante della matrice della conica è nullo, ossia se

allora è una conica degenere e si spezza in due rette, eventualmente coincidenti.

Per determinare le equazioni di tali rette basta risolvere l'equazione della conica rispetto a oppure rispetto a .

Esempio sullo studio di una conica degenere

Studiare la conica di equazione

Svolgimento: la matrice dei coefficienti associata alla conica è

lasciamo a voi il compito di verificare, ad esempio con la regola di Sarrus, che il determinante di è nullo. Da qui si desume che è una conica degenere.

Per determinare le equazioni delle rette che costituiscono la conica ne riscriviamo l'equazione

esplicitandola rispetto a e trattando come parametro. Raccogliamo rispetto a

e poniamo

Calcoliamo il delta quarti

Usando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado otteniamo le soluzioni

Riscrivendo le soluzioni separatamente ricaviamo le equazioni delle rette da cui è formata la conica

Studio di una conica generale (o non degenere)

Nel piano complessificato e ampliato con gli elementi impropri, dove è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale indichiamo con

l'equazione in coordinate omogenee di una conica generale che, quindi, potrebbe essere un'iperbole, una parabola o un'ellisse, di cui è un caso particolare la circonferenza.

Dopo aver classificato la conica come non degenere, per portare a termine lo studio occorre determinare centro, assi, asintoti, vertici, fuochi e direttrici della conica, spesso detti elementi notevoli di . Vediamo come procedere...

Centro di una conica

Si definisce centro di una conica il polo della retta impropria rispetto alla conica.

Se ben ricordate la parabola è per definizione tangente alla retta impropria, dunque ha come centro un punto improprio; al contrario ellisse e iperbole hanno come centro un punto proprio. Per questo motivo iperbole ed ellisse sono dette coniche a centro, mentre la parabola è detta conica non a centro.

Alla luce di questa osservazione, per ricavare le coordinate del centro di una conica generale analizziamo separatamente il caso in cui è una parabola e quello in cui è un'ellisse o un'iperbole.

Centro di una parabola

Stando a quanto appena detto il centro di una parabola è un punto improprio e coincide col punto di tangenza tra la parabola e la retta impropria, la cui equazione è .

Per calcolare le coordinate del centro di una parabola è sufficiente mettere a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della retta impropria

Da qui scaturisce un'equazione di secondo grado

che, nel caso della parabola, è sempre lo sviluppo di un quadrato di binomio, dunque possiamo riscrivere la precedente equazione nella forma

con numeri reali e non nulli.

Le coordinate del centro della parabola sono tali da soddisfare la precedente equazione.

Centro di un'ellisse o di un'iperbole

Nel caso dell'ellisse o dell'iperbole le coordinate del centro sono date dalla soluzione del sistema lineare

dove

sono rispettivamente le equazioni delle rette polari dei punti impropri , che individuano le direzioni degli assi coordinati del sistema di riferimento.

Per chi se lo stesse chiedendo, il sistema per le coordinate del centro ammette un'unica soluzione, infatti la matrice dei coefficienti del sistema coincide con la matrice dei termini quadratici della conica

il cui determinante è sicuramente non nullo, dal momento che stiamo lavorando con un'ellisse o un'iperbole.

Per giustificare la validità di tale procedimento basta osservare che sono punti della retta impropria. Poiché il centro è il polo della retta impropria, per il teorema di reciprocità tale centro appartiene sia a che a .

Diametri di una conica

Prende il nome di diametro di una conica ogni retta propria passante per il centro.

Dalla definizione di diametro segue che in una parabola, essendo il centro un punto all'infinito, tutti i diametri sono paralleli.

Si può inoltre dimostrare che una retta propria è diametro di una conica se e solo se il polo di è un punto improprio.

La direzione definita dal polo di un diametro di una conica prende il nome di direzione coniugata a .

Solitamente il calcolo dei diametri di una conica non è una richiesta tipica degli esercizi, ma il concetto di diametro e le relative conseguenze sono alla base delle definizioni di asintoti e di assi di una conica, di cui ci occupiamo tra un istante.

Asintoti di una conica

Si dicono asintoti di una conica a centro (ellisse, iperbole) i diametri passanti per i punti impropri della conica.

I punti impropri di una una conica sono i punti di intersezione tra la conica e la retta impropria. Un'ellisse, per definizione, è non secante la retta impropria, dunque possiamo asserire che l'ellisse non ha asintoti reali; al contrario l'iperbole è secante la retta impropria in due punti (impropri) distinti, dunque ammette due asintoti reali.

Per determinare le equazioni degli asintoti di un'iperbole bisogna individuare i punti di intersezione tra iperbole e retta impropria. Le soluzioni del sistema

sono le coordinate omogenee dei punti impropri dell'iperbole, e quindi forniscono le direzioni degli asintoti.

Ricordando che ogni asintoto è un diametro, e che un diametro è una retta propria passante per il centro, possiamo concludere che gli asintoti di un'iperbole sono rette passanti per il centro le cui direzioni sono le soluzioni del suddetto sistema.

In modo del tutto equivalente, per calcolare i parametri direttori degli asintoti di un'iperbole si può risolvere la seguente equazione

Assi di una conica

Definiamo asse di una conica un diametro ortogonale alla sua direzione coniugata.

Come nel caso del centro, per spiegare come determinare le equazioni degli assi di una conica preferiamo analizzare separatamente il caso in cui è un'ellisse o un'iperbole e quello in cui è una parabola.

Assi di un'ellisse o di un'iperbole

Ellisse e iperbole ammettono due assi distinti e ortogonali tra loro, e sono le rette passanti per il centro della conica e aventi direzioni tali da soddisfare l'equazione

Supponendo e trattando come parametro e come incognita, il discriminante associato alla precedente equazione è

ed è sicuramente non negativo, in quanto somma di quadrati.

Osserviamo in particolare che

Sotto tali condizioni l'equazione è identicamente soddisfatta, dunque ogni retta per il centro è un asse della conica. Se ricordate, le condizioni e equivalgono al fatto che sia una circonferenza, dunque possiamo asserire che una conica è una circonferenza se e solo se ogni diametro è un asse.

Asse di una parabola

La parabola ha un unico asse e, indicando con il centro della parabola, il suo asse è la polare di che individua la direzione ortogonale a .

All'atto pratico, per trovare l'equazione dell'asse di una parabola si deve determinare il centro della parabola, calcolare la direzione ortogonale al centro e scrivere l'equazione della retta polare di rispetto alla parabola.

Per chi avesse dubbi in merito, ricordiamo che se

è l'equazione di una conica in coordinate omogenee, la polare di un punto rispetto alla conica è la retta di equazione

dove sono le derivate parziali di rispetto a e valutate nel punto .

Vertici di una conica

Si definiscono vertici di una conica i punti propri di intersezione tra la conica e i rispettivi assi.

La parabola ha un solo vertice reale, l'iperbole ne ha due reali e due immaginari coniugati, mentre l'ellisse ha quattro vertici reali.

Fuochi di una conica

Si dicono fuochi di una conica i punti propri del piano della conica ottenuti dalle intersezioni delle tangenti condotte per i punti ciclici , dove è l'unità immaginaria.

Si dimostra che:

- ellisse e iperbole possiedono due fuochi reali appartenenti a un asse e due fuochi immaginari appartenenti all'altro asse;

- la parabola ha un solo fuoco reale appartenente all'asse;

- nella circonferenza i fuochi coincidono col centro.

Fuochi di ellisse e iperbole

Per determinare le coordinate dei fuochi di un'ellisse o di un'iperbole si deve considerare una generica retta passante per il punto ciclico , la cui equazione è

e intersecarla con l'equazione della conica assegnata.

Imponendo la condizione di tangenza si ottiene un'equazione di secondo grado in , che ammette due soluzioni complesse coniugate.

Calcolandone le soluzioni e sostituendole nell'equazione della generica retta si determinano le rette tangenti alla conica condotte per il punto ciclico , che chiamiamo .

Le rette immaginarie coniugate di , che indichiamo rispettivamente con , sono le rette tangenti alla conica passanti per il punto ciclico .

Infine, i fuochi reali dell'ellisse o dell'iperbole si ottengono dall'intersezione tra le rette e dall'intersezione tra le rette .

Fuochi di una parabola

Per individuare il fuoco di una parabola si procede allo stesso modo con la differenza che, dopo aver imposto la condizione di tangenza, si ottiene un'equazione di primo grado in .

Di conseguenza si giunge all'equazione di un'unica retta propria tangente alla parabola e condotta per il punto ciclico , che chiamiamo .

La sua complessa coniugata è l'unica retta propria tangente alla parabola e passante per l'altro punto ciclico.

Il punto di intersezione tra queste due rette è il fuoco della parabola.

Direttrice di una conica

Si dice direttrice di una conica relativa a un fuoco la retta polare del fuoco rispetto alla conica.

Abbiamo già ricordato come si determina l'equazione della retta polare di un punto rispetto a una conica, quindi non ci dilunghiamo oltre.

Nota bene (Metodo alternativo per lo studio dei punti notevoli)

Non tutti i docenti universitari ricorrono ai precedenti metodi per lo studio degli elementi notevoli di una conica. Molti preferiscono ricondursi all'equazione canonica della conica mediante un'opportuna rototraslazione, ricercare gli elementi notevoli della conica in forma canonica e ricondurre le equazioni e i punti trovati al sistema di riferimento originario.

Sebbene possa apparire più semplice, vi assicuriamo che anche questo metodo è abbastanza lungo e laborioso; provare per credere. ;)

Esempio sullo studio di una conica non degenere

Studiare la conica di equazione

Svolgimento: partiamo con la classificazione e stabiliamo di che tipo di conica si tratta.

Le matrici associate a sono

Il determinante di è non nullo e il determinante di è negativo

dunque è un'iperbole.

Passiamo al calcolo degli elementi notevoli della conica e determiniamo le coordinate di centro, vertici e fuochi e le equazioni di asintoti, assi e direttrici.

Centro

Il centro dell'iperbole è un punto proprio, le cui coordinate si ottengono risolvendo il sistema lineare

ossia

la cui soluzione è

Il centro dell'iperbole è quindi .

Asintoti

Gli asintoti di un'iperbole sono due rette reali e distinte passanti per il centro , e i cui vettori direzione hanno componenti tali da soddisfare l'equazione

Nel nostro caso

da cui si ottiene

Ponendo ad esempio ricaviamo .

Indicando con e con i vettori direzione dei due asintoti, otteniamo

e abbiamo tutto quello che serve per scrivere le equazioni parametriche degli asintoti

da cui

Volendo passare dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane basta ricavare dalla prima equazione

e sostituirne l'espressione nella seconda equazione, in entrambi i sistemi, così da ottenere

Assi

Gli assi di un'iperbole sono due rette passanti per il centro e aventi parametri direttori che soddisfano l'equazione

cioè

Dalla precedente equazione possiamo scrivere due vettori direttori, uno per ciascuno dei due assi dell'iperbole

dunque un asse è parallelo all'asse e l'altro è parallelo all'asse .

Dal momento che ciascun asse passa per il centro dell'iperbole , le rispettive equazioni sono

Vertici

I vertici di un'iperbole sono i due punti reali di intersezione dell'iperbole con uno dei suoi assi.

Per calcolare le coordinate dei vertici intersechiamo l'iperbole con l'asse

Applicando il metodo di sostituzione ci riduciamo all'equazione di secondo grado

che ha discriminante negativo, dunque ammette due soluzioni complesse e coniugate che sono:

di conseguenza i vertici immaginari di sono:

Intersecando l'iperbole con l'altro asse

otteniamo l'equazione

le cui soluzioni sono

Possiamo concludere che i vertici reali dell'iperbole sono

Fuochi

Per determinare le coordinate dei due fuochi reali dell'iperbole mettiamo a sistema la sua equazione con quella di una generica retta passante per il punto ciclico

Sostituiamo l'espressione di data dalla seconda equazione nella prima

Svolgendo i conti e raccogliendo rispetto a si ottiene l'equazione

Il delta quarti associato è

Sviluppando i calcoli e raccogliendo rispetto a otteniamo

Arrivati a questo punto imponiamo la condizione di tangenza tra retta e iperbole, ossia imponiamo che il delta quarti sia nullo

Da qui si ricavano le soluzioni

Sostituendole nella generica equazione della retta passante per il punto ciclico si determinano le equazioni delle rette tangenti alla conica condotte per

Le rispettive rette coniugate sono le tangenti all'iperbole passanti per il punto ciclico

Infine, i fuochi reali dell'iperbole sono dati rispettivamente dall'intersezione tra le rette e dall'intersezione tra le rette .

Lasciamo a voi il compito di verificare che i fuochi sono dati da

Direttrici

Per chiudere in bellezza possiamo calcolare le equazioni delle direttrici dell'iperbole, definite come le rette polari dei fuochi.

Scriviamo il primo membro dell'equazione dell'iperbole e le coordinate dei fuochi in coordinate omogenee

Calcoliamo le derivate parziali di

Indicando le coordinate omogenee del fuoco con

l'equazione di una delle due direttrici dell'iperbole è

Onde evitare di commettere errori, calcoliamo separatamente i valori

Pertanto l'equazione di una delle direttrici è

che possiamo riscrivere come

In coordinate non omogenee

Procedendo allo stesso modo, a voi il compito di verificare che la direttrice relativa al fuoco è

È tutto! Per altri esercizi accuratamente svolti sullo studio di una conica, o per eventuali dubbi, potete usare la barra di ricerca interna. Non perdetevi inoltre la scheda correlata di esercizi risolti. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 09/05/2023