Polarità di una conica, polo e retta polare

Si dice polarità definita da una conica una particolare corrispondenza biunivoca che ogni conica non degenere definisce tra i punti e le rette del piano cui la conica appartiene.

Lo scopo di questa lezione è spiegare nel modo più semplice possibile la nozione di polarità definita da una conica non degenere $\mathrm{C}$ . Partendo da un qualsiasi punto del piano ampliato definiremo la retta polare di rispetto alla conica e, viceversa, partendo da una qualsiasi retta troveremo un punto del piano, detto polo della retta , tale che sia la polare di rispetto a $\mathrm{C}$ .

Per concludere enunceremo e dimostreremo il teorema di reciprocità, e forniremo l'interpretazione geometrica della retta polare di un punto rispetto a una conica.

Retta polare di un punto rispetto a una conica

Nel piano complessificato e ampliato con i punti impropri, sia

$\mathrm{C}:\ a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13} x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + a_{33}x_3^2=0$

l'equazione di una conica generale in coordinate omogenee. Da qui in poi per comodità ci riferiremo ad essa scrivendo

o eventualmente

Denotiamo inoltre con le derivate parziali di rispetto a . Per intenderci

$\\ F_1(x):= \frac{\partial}{\partial x_1} F(x_1,x_2,x_3) = 2a_{11}x_1+2a_{12}x_2+2a_{13}x_3 \\ \\ \\ F_2(x):= \frac{\partial}{\partial x_2} F(x_1,x_2,x_3) = 2a_{22}x_2+2a_{12}x_1+2a_{23}x_3 \\ \\ \\ F_3(x):= \frac{\partial}{\partial x_3} F(x_1,x_2,x_3) = 2a_{13}x_1+2a_{23}x_2+2a_{33}x_3$

Fissato un punto del piano, di coordinate omogenee $P(\overline{x})=P(\overline{x}_1, \overline{x}_2, \overline{x}_3)$ , si definisce polare del punto rispetto alla conica $\mathrm{C}$ la retta di equazione

$p:\ F_1(\overline{x}) x_1 + F_2(\overline{x}) x_2 + F_3(\overline{x}) x_3 = 0\ \ \ (*)$

dove $F_1(\overline{x}), \ F_2(\overline{x}) \mbox{ e } F_3(\overline{x})$ sono i valori delle derivate parziali di calcolate nel punto $P(\overline{x}_1, \overline{x}_2, \overline{x}_3)$ .

Osservazione (simmetria nell'equazione della retta polare)

Per quanto diremo nel seguito è utile osservare che il primo membro dell'equazione è simmetrico rispetto alle terne e $(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3)$

$F_1(\overline{x}) x_1 + F_2(\overline{x}) x_2 + F_3(\overline{x}) x_3 = F_1(x)\overline{x}_1 + F_2(x)\overline{x}_2 + F_3(x)\overline{x}_3$

Esempio sul calcolo della retta polare di un punto rispetto a una conica

Determinare la retta polare del punto rispetto alla conica di equazione

$\mathrm{C}:\ x^2+2y^2+2xy-5=0$

Svolgimento: come prima cosa osserviamo che $\mathrm{C}$ è una conica non degenere, infatti la matrice dei coefficienti associata alla conica

$A=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&2&0 \\ 0&0&-5\end{pmatrix}$

ha determinante diverso da zero.

Scriviamo le coordinate del punto e l'equazione della conica in coordinate omogenee

$\\ P(1,1,1) \\ \\ \mathrm{C}:\ x_1^2+2x_2^2+2x_1x_2-5x_3^2=0$

Poniamo

Calcoliamo le derivate parziali di rispetto a

$\\ F_1(x):= \frac{\partial}{\partial x_1} F(x) = \frac{\partial}{\partial x_1} F(x_1,x_2,x_3) = 2x_1+2x_2 \\ \\ \\ F_2(x):= \frac{\partial}{\partial x_2} F(x) = \frac{\partial}{\partial x_2} F(x_1,x_2,x_3) = 4x_2+2x_1 \\ \\ \\ F_3(x):= \frac{\partial}{\partial x_3} F(x) = \frac{\partial}{\partial x_3} F(x_1,x_2,x_3) = -10x_3$

e valutiamole nel punto

$\\ F_1(1,1,1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2+2 = 4 \\ \\ F_2(1,1,1) = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4+2 = 6 \\ \\ F_3(1,1,1) = -10 \cdot 1 = -10$

L'equazione della retta polare cercata è

$p:\ F_1(\overline{x}) x_1 + F_2(\overline{x}) x_2 + F_3(\overline{x}) x_3 = 0$

ossia

Dividendo tutto per 2 e scrivendola in coordinate non omogenee, possiamo concludere che la polare del punto riferita alla conica $\mathrm{C}$ è

Polo di una retta rispetto a una conica

Vediamo ora cos'è e come si definisce il polo di una retta del piano ampliato rispetto a una conica $\mathrm{C}$ non degenere (o generale), la cui equazione sia espressa in coordinate omogenee.

Consideriamo una retta , di equazione in coordinate omogenee

$p:\ u_1 x_ 1+ u_2 x_2 + u_3 x_3=0$

con numeri reali non tutti nulli e determinati a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. Esiste allora un determinato punto $P(\overline{x})=P(\overline{x}_1, \overline{x}_2, \overline{x}_3)$ del piano ampliato tale che la retta sia la polare del punto rispetto alla conica $\mathrm{C}$ .

Tale punto è detto polo della retta rispetto alla conica $\mathrm{C}$ .

Per provare l'esistenza di tale punto ragioniamo nel modo seguente. In generale la polare di un punto $P(\overline{x})=P(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3)$ ha equazione

$F_1(\overline{x}) x_1 + F_2(\overline{x}) x_2 + F_3(\overline{x}) x_3 = 0$

Se si vuole che essa coincida con la retta

$p:\ u_1 x_ 1+ u_2 x_2 + u_3 x_3=0$

le coordinate di $P(\overline{x})$ devono essere tali che

$\begin{cases}F_1(\overline{x}) = u_1 \\ F_2(\overline{x}) = u_2 \\ F_3(\overline{x}) = u_3\end{cases}$

Calcoliamo il valore delle tre derivate parziali

$\\ F_1(\overline{x}):= \frac{\partial}{\partial \overline{x}_1} F(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3) = 2a_{11}\overline{x}_1+2a_{12}\overline{x}_2+2a_{13}\overline{x}_3 \\ \\ \\ F_2(\overline{x}):= \frac{\partial}{\partial \overline{x}_2} F(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3) = 2a_{22}\overline{x}_2+2a_{12}\overline{x}_1+2a_{23}\overline{x}_3 \\ \\ \\ F_3(\overline{x}):= \frac{\partial}{\partial \overline{x}_3} F(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3) = 2a_{13}\overline{x}_1+2a_{23}\overline{x}_2+2a_{33}\overline{x}_3$

e sostituiamole nel precedente sistema

$\begin{cases} 2a_{11}\overline{x}_1+2a_{12}\overline{x}_2+2a_{13}\overline{x}_3 = u_1 \\ 2a_{12}\overline{x}_1+2a_{22}\overline{x}_2+2a_{23}\overline{x}_3 = u_2 \\ 2a_{13}\overline{x}_1+2a_{23}\overline{x}_2+2a_{33}\overline{x}_3 = u_3 \end{cases}$

La matrice dei coefficienti associata al sistema è

$A=\begin{pmatrix}2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ 2a_{12} & 2a_{22} & 2a_{23} \\ 2a_{13} & 2a_{23} & 2a_{33}\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}$

che, a meno del coefficiente moltiplicativo 2, coincide con la matrice associata alla conica $\mathrm{C}$ .

Per ipotesi $\mathmr{C}$ è una conica non degenere, per cui il determinante di è non nullo, e per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione.

In definitiva il precedente sistema lineare permette di ricavare le coordinate del polo della retta , uniche a meno di un costante moltiplicativa, e ciò dimostra che esiste un punto del piano ampliato che ammette come polare rispetto alla conica.

Ricapitolando: fissata l'equazione di una conica non degenere $\mathrm{C}$ , a partire da un qualsiasi punto del piano ampliato abbiamo definito l'equazione di una particolare retta, detta polare del punto rispetto alla conica.

Viceversa, data l'equazione di una qualsiasi retta del piano ampliato abbiamo visto che è possibile risalire a un punto tale che la retta sia la polare di rispetto a $\mathrm{C}$ .

Abbiamo così dimostrato che ogni conica non degenere definisce una corrispondenza biunivoca tra punti e rette del suo piano, e tale corrispondenza è detta polarità.

Teorema di reciprocità

Il teorema di reciprocità consente di fornire una rappresentazione grafica della retta polare di un punto rispetto a una conica non degenere $\mathrm{C}$ di cui è noto il grafico.

Eccone l'enunciato: se un punto appartiene alla retta polare di un punto rispetto alla conica $\mathrm{C}$ , allora appartiene alla retta polare di rispetto a $\mathrm{C}$ .

Dimostrazione

Fissata una conica $\mathrm{C}$ non degenere, di equazione

sia $P(\overline{x})=P(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3)$ un punto della conica, e sia la retta polare di rispetto a $\mathrm{C}$ , la cui equazione è

$p:\ F_1(\overline{x}) x_1 + F_2(\overline{x}) x_2 + F_3(\overline{x}) x_3 = 0$

Supponiamo che il punto $Q(\tilde{x})=Q(\tilde{x}_1, \tilde{x}_2, \tilde{x}_3)$ appartenga a .

Dobbiamo dimostrare che appartiene alla polare di rispetto a $\mathrm{C}$ , che indichiamo con e la cui equazione è

$q:\ F_1(\tilde{x}) x_1 + F_2(\tilde{x}) x_2 + F_3(\tilde{x}) x_3 = 0$

Il punto appartiene a , pertanto le coordinate di soddisfano l'equazione di

$F_1(\overline{x}) \tilde{x}_1 + F_2(\overline{x}) \tilde{x}_2 + F_3(\overline{x}) \tilde{x}_3 = 0$

Per la proprietà di simmetria del primo membro dell'equazione della retta polare risulta che

$F_1(\overline{x}) \tilde{x}_1 + F_2(\overline{x}) \tilde{x}_2 + F_3(\overline{x}) \tilde{x}_3 = F_1(\tilde{x}) \overline{x}_1 + F_2(\tilde{x}) \overline{x}_2 + F_3(\tilde{x}) \overline{x}_3$

di conseguenza

$F_1(\tilde{x}) \overline{x}_1 + F_2(\tilde{x}) \overline{x}_2 + F_3(\tilde{x}) \overline{x}_3=0$

Dalla precedente uguaglianza segue che il punto $P(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3)$ appartiene alla retta , da cui la tesi.

Interpretazione geometrica della polare di un punto rispetto a una conica

Per fornire l'interpretazione geometrica della retta polare di un punto rispetto a una conica non degenere $\mathrm{C}$ distinguiamo tre casi, dati dalle posizioni reciproche tra punto e conica.

Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che un punto può appartenere, essere interno o essere esterno a $\mathrm{C}$ . Nello specifico:

appartiene alla conica $\mathrm{C}$ se per il punto può essere condotta un'unica retta tangente alla conica;

è esterno alla conica $\mathrm{C}$ se per si possono condurre due rette reali e distinte tangenti a $\mathrm{C}$ ;

è interno alla conica $\mathrm{C}$ se le rette tangenti alla conica condotte per sono rette immaginarie coniugate.

Caso 1 - Il punto appartiene alla conica

Se il punto appartiene alla conica $\mathrm{C}$ , la retta polare di rispetto a $\mathrm{C}$ coincide con la retta tangente a $\mathrm{C}$ in .

Retta polare di un punto di una conica

Retta polare di un punto appartenente alla conica.

Per dimostrarlo si può considerare l'equazione di una qualsiasi retta del piano passante per il punto , metterla a sistema con l'equazione della conica e imporre la condizione di tangenza.

Svolgendo alcuni lunghi (e noiosi) calcoli si giunge all'equazione della retta tangente alla conica in , e si verifica essa che coincide con l'equazione della retta polare di rispetto a $\mathrm{C}$ .

Caso 2 - Il punto è esterno alla conica

Se è esterno a $\mathrm{C}$ , cioè se per si possono condurre due rette reali e distinte tangenti alla conica, la sua polare è la retta passante per i punti di contatto delle tangenti con la conica.

Retta polare di un punto esterno a una conica

Retta polare di un punto esterno alla conica.

Per convincersene basta osservare che le polari dei punti rispetto a $\mathrm{C}$ sono le tangenti a $\mathrm{C}$ in tali punti, e che esse passano per .

Per il teorema di reciprocità la polare di deve, di conseguenza, passare per e per .

Caso 3 - Il punto è interno alla conica

Se è interno alla conica, la polare di rispetto a $\mathrm{C}$ è la retta passante per i poli di due qualsiasi rette secanti la conica e passanti per .

Retta polare di un punto interno a una conica

Retta polare di un punto interno alla conica.

A conferma di ciò, dette e due rette condotte per , e indicando con e i loro poli, per il teorema di reciprocità la polare di deve passare sia per che per .

Per il momento è tutto, ma vi raccomandiamo di non perdere la prossima lezione, in cui descriveremo il metodo di studio delle coniche. Vi mostreremo come determinare le rette in cui si decompone una conica degenere e come determinare centro, assi, vertici, asintoti e fuochi di una conica non degenere.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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