Polarità di una conica, polo e retta polare
Si dice polarità definita da una conica una particolare corrispondenza biunivoca che ogni conica non degenere definisce tra i punti e le rette del piano cui la conica appartiene.
Lo scopo di questa lezione è spiegare nel modo più semplice possibile la nozione di polarità definita da una conica non degenere . Partendo da un qualsiasi punto
del piano ampliato definiremo la retta polare di
rispetto alla conica e, viceversa, partendo da una qualsiasi retta
troveremo un punto
del piano, detto polo della retta
, tale che
sia la polare di
rispetto a
.
Per concludere enunceremo e dimostreremo il teorema di reciprocità, e forniremo l'interpretazione geometrica della retta polare di un punto rispetto a una conica.
Retta polare di un punto rispetto a una conica
Nel piano complessificato e ampliato con i punti impropri, sia
l'equazione di una conica generale in coordinate omogenee. Da qui in poi per comodità ci riferiremo ad essa scrivendo
o eventualmente
Denotiamo inoltre con le derivate parziali di
rispetto a
. Per intenderci
Fissato un punto del piano, di coordinate omogenee
, si definisce polare del punto
rispetto alla conica
la retta
di equazione
dove sono i valori delle derivate parziali di
calcolate nel punto
.
Osservazione (simmetria nell'equazione della retta polare)
Per quanto diremo nel seguito è utile osservare che il primo membro dell'equazione è simmetrico rispetto alle terne
e
Esempio sul calcolo della retta polare di un punto rispetto a una conica
Determinare la retta polare del punto rispetto alla conica di equazione
Svolgimento: come prima cosa osserviamo che è una conica non degenere, infatti la matrice dei coefficienti associata alla conica
ha determinante diverso da zero.
Scriviamo le coordinate del punto e l'equazione della conica in coordinate omogenee
Poniamo
Calcoliamo le derivate parziali di rispetto a
e valutiamole nel punto
L'equazione della retta polare cercata è
ossia
Dividendo tutto per 2 e scrivendola in coordinate non omogenee, possiamo concludere che la polare del punto riferita alla conica
è
Polo di una retta rispetto a una conica
Vediamo ora cos'è e come si definisce il polo di una retta del piano ampliato rispetto a una conica non degenere (o generale), la cui equazione sia espressa in coordinate omogenee.
Consideriamo una retta , di equazione in coordinate omogenee
con numeri reali non tutti nulli e determinati a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. Esiste allora un determinato punto
del piano ampliato tale che la retta
sia la polare del punto
rispetto alla conica
.
Tale punto è detto polo della retta rispetto alla conica
.
Per provare l'esistenza di tale punto ragioniamo nel modo seguente. In generale la polare di un punto ha equazione
Se si vuole che essa coincida con la retta
le coordinate di devono essere tali che
Calcoliamo il valore delle tre derivate parziali
e sostituiamole nel precedente sistema
La matrice dei coefficienti associata al sistema è
che, a meno del coefficiente moltiplicativo 2, coincide con la matrice associata alla conica .
Per ipotesi è una conica non degenere, per cui il determinante di
è non nullo, e per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione.
In definitiva il precedente sistema lineare permette di ricavare le coordinate del polo della retta , uniche a meno di una costante moltiplicativa, e ciò dimostra che esiste un punto del piano ampliato che ammette
come polare rispetto alla conica.
Ricapitolando: fissata l'equazione di una conica non degenere , a partire da un qualsiasi punto del piano ampliato abbiamo definito l'equazione di una particolare retta, detta polare del punto rispetto alla conica.
Viceversa, data l'equazione di una qualsiasi retta del piano ampliato abbiamo visto che è possibile risalire a un punto
tale che la retta
sia la polare di
rispetto a
.
Abbiamo così dimostrato che ogni conica non degenere definisce una corrispondenza biunivoca tra punti e rette del suo piano, e tale corrispondenza è detta polarità.
Teorema di reciprocità
Il teorema di reciprocità consente di fornire una rappresentazione grafica della retta polare di un punto
rispetto a una conica non degenere
di cui è noto il grafico.
Eccone l'enunciato: se un punto appartiene alla retta polare
di un punto
rispetto alla conica
, allora
appartiene alla retta polare di
rispetto a
.
Dimostrazione
Fissata una conica non degenere, di equazione
sia un punto della conica, e sia
la retta polare di
rispetto a
, la cui equazione è
Supponiamo che il punto appartenga a
.
Dobbiamo dimostrare che appartiene alla polare di
rispetto a
, che indichiamo con
e la cui equazione è
Il punto appartiene a
, pertanto le coordinate di
soddisfano l'equazione di
Per la proprietà di simmetria del primo membro dell'equazione della retta polare risulta che
di conseguenza
Dalla precedente uguaglianza segue che il punto appartiene alla retta
, da cui la tesi.
Interpretazione geometrica della polare di un punto rispetto a una conica
Per fornire l'interpretazione geometrica della retta polare di un punto rispetto a una conica non degenere
distinguiamo tre casi, dati dalle posizioni reciproche tra punto e conica.
Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che un punto può appartenere, essere interno o essere esterno a
. Nello specifico:
appartiene alla conica
se per il punto
può essere condotta un'unica retta tangente alla conica;
è esterno alla conica
se per
si possono condurre due rette reali e distinte tangenti a
;
è interno alla conica
se le rette tangenti alla conica condotte per
sono rette immaginarie coniugate.
Caso 1 - Il punto appartiene alla conica
Se il punto appartiene alla conica
, la retta polare di
rispetto a
coincide con la retta tangente a
in
.
Retta polare di un punto appartenente alla conica.
Per dimostrarlo si può considerare l'equazione di una qualsiasi retta del piano passante per il punto , metterla a sistema con l'equazione della conica e imporre la condizione di tangenza.
Svolgendo alcuni lunghi (e noiosi) calcoli si giunge all'equazione della retta tangente alla conica in , e si verifica essa che coincide con l'equazione della retta polare di
rispetto a
.
Caso 2 - Il punto è esterno alla conica
Se è esterno a
, cioè se per
si possono condurre due rette reali e distinte
tangenti alla conica, la sua polare
è la retta passante per i punti di contatto delle tangenti con la conica.
Retta polare di un punto esterno alla conica.
Per convincersene basta osservare che le polari dei punti rispetto a
sono le tangenti a
in tali punti, e che esse passano per
.
Per il teorema di reciprocità la polare di deve, di conseguenza, passare per
e per
.
Caso 3 - Il punto è interno alla conica
Se è interno alla conica, la polare di
rispetto a
è la retta passante per i poli
di due qualsiasi rette secanti la conica e passanti per
.
Retta polare di un punto interno alla conica.
A conferma di ciò, dette e
due rette condotte per
, e indicando con
e
i loro poli, per il teorema di reciprocità la polare di
deve passare sia per
che per
.
Per il momento è tutto, ma vi raccomandiamo di non perdere la prossima lezione, in cui descriveremo il metodo di studio delle coniche. Vi mostreremo come determinare le rette in cui si decompone una conica degenere e come determinare centro, assi, vertici, asintoti e fuochi di una conica non degenere.
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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