Retta, piano e spazio ampliati

Piano ampliato e spazio ampliato, conosciuti anche come piano proiettivo e spazio proiettivo, sono gli ambienti di lavoro in cui si classificano e si studiano le equazioni delle coniche e delle quadriche nei corsi universitari di Algebra Lineare. Per cogliere a pieno questi nuovi concetti si parte dalla definizione di retta ampliata.

Finora ci siamo occupati dello studio di rette e piani nello spazio tridimensionale "classico", con cui si ha dimestichezza fin dalla Scuola Superiore. Tra le tante cose abbiamo visto che due rette parallele distinte o due piani paralleli distinti non hanno alcun punto in comune. Scommettiamo, però, che almeno una volta avete sentito frasi del tipo: due rette parallele si incontrano all'infinito. Cosa vuol dire?

Come ormai dovreste aver capito, la Matematica è un continuo crescendo di idee e di concetti, e in questa lezione introdurremo alcune nuove nozioni quali retta, piano e spazio ampliati. In molti casi esse permettono di enunciare nuove proposizioni geometriche: potremo ad esempio affermare che due rette qualsiasi del piano ampliato hanno (sempre e comunque) un punto in comune.

Retta ampliata e punto improprio di una retta

Consideriamo una retta e un punto non appartenente a essa, e sia il fascio proprio di rette avente come centro il punto .

Ampliamento della retta.

Come suggerisce la precedente immagine vi è una corrispondenza biunivoca tra i punti di e le rette del fascio , con una sola eccezione. Mentre a ogni punto di corrisponde una determinata retta del fascio, a ogni retta di corrisponde un punto di ad eccezione della retta parallela a . Essa infatti non ha punti in comune con .

D'altra parte è facile convincersi che, quando il punto si allontana indefinitamente su sia in un verso che nell'altro, la retta del fascio che congiunge i punti tende alla retta . Viceversa, quando una retta del fascio ruota attorno al punto e si avvina a , il punto di intersezione tra e si allontana indefinitamente su .

Alla luce di ciò si conviene di affermare che le rette hanno in comune un punto all'infinito, detto anche punto improprio e solitamente indicato con .

In questo modo la corrispondenza tra le rette del fascio e i punti di diventa biunivoca, non sussistendo più alcuna eccezione. Ne consegue tra l'altro che due rette hanno sempre un punto in comune: un punto proprio quando si intersecano, improprio quando sono parallele.

Infine, il concetto di punto improprio permette di introdurre quello di retta ampliata (o retta proiettiva), definita come l'ente geometrico costituito da una qualsiasi retta e dal suo punto improprio.

Interpretazione geometrica dei punti impropri

Se ben ricordate due rette parallele del piano o dello spazio hanno in comune la stessa direzione, cosicché la nozione di punto improprio può identificarsi con quella di direzione di una retta.

Arrivati a questo punto del corso di studi una tale analogia non dovrebbe sorprendere più di tanto. Se ci pensate un attimo, la corrispondenza tra punto e direzione appare evidente fin da subito. Per convincersene basta pensare ad affermazioni del tipo: "una retta è individuata da un punto e da una direzione, oppure da due punti distinti", così come "un piano è univocamente determinato da tre punti non allineati o da un punto e da due direzioni", e così via...

Piano ampliato e retta impropria di un piano

Siano un piano, un punto non appartenente ad esso e la stella di rette per il punto , definita come l'insieme di tutte le rette dello spazio passanti per .

Ampliamento del piano.

Osserviamo che a ogni punto del piano corrisponde una retta di , la retta che passa per i punti .

Viceversa non è vero che a tutte le rette della stella corrisponde un punto di , infatti le rette per e parallele ad non hanno alcun punto in comune con esso.

Se però aggiungiamo al piano i punti impropri delle sue rette, si viene a creare una corrispondenza biunivoca tra i punti di e le rette della stella , infatti:

→ a ogni punto proprio di corrisponde la retta passante per i punti ;

→ a un punto improprio di corrisponde una retta per parallela alla retta a cui appartiene il punto improprio considerato;

← a una retta passante per il punto e non parallela ad corrisponde il punto di intersezione tra e ;

← a una retta per e parallela ad corrisponde il punto improprio delle infinite rette di parallele tra loro e alla retta considerata.

Inoltre, tutte le infinite rette per e parallele al piano giacciono sullo stesso piano passante per e parallelo ad . I punti impropri di queste rette appartengono sia ad che a .

Si conviene allora di dire che due piani paralleli hanno in comune una retta all'infinito, che viene denominata retta impropria e che contiene tutti i punti all'infinito dei due piani.

Infine, prende il nome di piano ampliato un qualsiasi piano con l'aggiunta della rispettiva retta impropria.

Spazio ampliato e piano improprio

Si dice piano improprio, o piano all'infinito, l'insieme di tutti i punti impropri e di tutte le rette improprie dello spazio.

Si definisce spazio ampliato l'ente geometrico inteso come l'aggregazione tra punti, rette e piani, sia propri che impropri.

Nello spazio ampliato sono valide le seguenti proposizioni, che raggruppano più enunciati distinti della Geometria Euclidea:

1) una retta è determinata da due punti distinti;

2) un piano è individuato da tre punti che non appartengono alla stessa retta;

3) una retta e un punto che non appartiene alla retta individuano un piano;

4) due piani distinti determinano una retta;

5) tre piani non appartenenti alla stessa retta si incontrano in uno stesso punto;

6) un piano e una retta che non giace sul piano si incontrano in un punto.

Per il momento ci fermiamo qui e vi diamo il tempo di digerire questi nuovi concetti. Contrariamente a quelle che sono le nostre normali abitudini, quella che avete letto è una lezione puramente teorica, ma avrete modo di apprezzarne le potenzialità nella prossima spiegazione, dedicata alle coordinate omogenee. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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