Dalle equazioni parametriche della retta alle cartesiane

Il passaggio dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane di una retta nello spazio è un procedimento molto semplice, e allo stesso tempo utile per risolvere svariati esercizi di Geometria dello Spazio che coinvolgono le rette.

 

Dando per buono che sappiate come si definiscono le equazioni parametriche e le equazioni cartesiane di una retta nello spazio tridimensionale, in questa lezione spiegheremo come passare dalla forma parametrica a quella cartesiana della retta, e nella successiva vedremo come effettuare il passaggio inverso.

 

Il procedimento che esporremo è il cosiddetto metodo di cancellazione del parametro. Vi assicuriamo che ruota attorno a operazioni algebriche elementari; bisogna solo prestare attenzione a qualche caso particolare, che avremo modo di evidenziare a breve.

 

Passaggio dalle equazioni parametriche alle cartesiane di una retta

 

Supponiamo di disporre delle equazioni parametriche di una retta

 

r:\ \begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases} \mbox{ con } t\in \mathbb{R}

 

e di volerne ricavare le equazioni cartesiane, dunque di determinare una rappresentazione della retta come intersezione di due piani non paralleli

 

r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

 

Il metodo da applicare dipende, sostanzialmente, da come sono fatte le tre equazioni che descrivono la retta in forma parametrica. Se vi affidate al seguente procedimento state certi che porterete a termine il passaggio dall'una all'altra rappresentazione riducendo al minimo le possibilità d'errore.

 

 

Caso 1) Le tre equazioni parametriche della retta sono tutte in funzione del parametro.

 

Se in tutte e tre le equazioni parametriche della retta r compare il parametro t procediamo nel modo seguente:

 

1a) scegliamo una delle tre equazioni ed esplicitiamola in favore di t;

 

1b) consideriamo il sistema formato dalle restanti due equazioni, e in ciascuna di esse sostituiamo il parametro t con l'espressione appena ricavata;

 

1c) portando tutto a primo membro e svolgendo tutte le possibili semplificazioni si ottengono le equazioni cartesiane di due piani, che descrivono la retta r in forma cartesiana.

 

 

Caso 2) Una delle tre equazioni parametriche della retta non dipende dal parametro.

 

Se una delle tre equazioni parametriche di r non dipende da t, ossia è della forma

 

\mbox{incognita = costante}

 

allora è già una delle equazioni cartesiane di r. L'altra si determina in modo analogo al caso precedente, ossia:

 

2a) si isola t in una delle altre due equazioni;

 

2b) se ne sostituisce l'espressione nell'equazione rimasta, che non dipenderà più da t e quindi sarà la seconda equazione cartesiana di r.

 

 

Caso 3) Due delle equazioni parametriche della retta non dipendono dal parametro.

 

Se due delle equazioni parametriche non dipendono dal parametro, c'è poco da fare: il sistema lineare formato da tali equazioni fornisce la rappresentazione cartesiana di r.

 

Esempi sul passaggio dalle equazioni parametriche di una retta alle cartesiane

 

Vediamo un esempio sul passaggio dalla rappresentazione parametrica della retta a quella cartesiana per ciascuno dei casi analizzati.

 

 

Esempio 1

 

Determinare una rappresentazione cartesiana della retta

 

r:\ \begin{cases}x=2-3t \\ y=-1+t \\ z=5+5t\end{cases}

 

Svolgimento: tutte e tre le equazioni del sistema contengono il parametro, dunque scegliamone una da cui ricavare il valore di t.

 

In termini di calcoli è consigliabile considerare la seconda equazione, in cui il coefficiente di t è 1.

 

\\ y=-1+t \\ \\ t=y+1

 

Procediamo considerando il sistema formato dalle restanti equazioni

 

\begin{cases}x=2-3t \\ z=5+5t\end{cases}

 

e in ciascuna di esse sostituiamo t con y+1

 

\begin{cases}x=2-3(y+1) \\ z=5+5(y+1)\end{cases}

 

Svolgiamo i prodotti, portiamo tutto a primo membro e sommiamo i termini simili

 

\\ \begin{cases}x=2-3y-3 \\ z=5+5y+5\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x+3y+1=0 \\ -5y+z-10=0\end{cases}

 

Abbiamo finito! L'ultimo sistema fornisce la rappresentazione cartesiana di r.

 

 

Esempio 2

 

Passare dalla forma parametrica a quella cartesiana della retta

 

r:\ \begin{cases}x=3 \\ y=2+3t \\ z=3-t\end{cases}

 

Svolgimento: la prima equazione non dipende dal parametro, dunque x=3 è uno dei due piani che descrive le equazioni cartesiane di r.

 

Per trovarne l'altra ricaviamo t dalla terza equazione

 

\\ z=3-t \\ \\ t=3-z

 

e sostituiamo nella seconda

 

\\ y=2+3t \\ \\ y=2+3(3-z) \\ \\ y=2+9-3z \\ \\ y+3z-11=0

 

Le equazioni cartesiane di r sono dunque

 

r:\ \begin{cases}x-3=0 \\ y+3z-11=0 \end{cases}

 

 

Esempio 3

 

Ricavare una rappresentazione cartesiana della retta

 

r:\ \begin{cases}x=0 \\ y=-2 \\ z=6-7t\end{cases}

 

Svolgimento: due delle equazioni parametriche non dipendono dal parametro, dunque possiamo immediatamente concludere che la rappresentazione cartesiana di r è

 

r:\ \begin{cases}x=0 \\ y+2=0\end{cases}

 

 


 

È tutto ragazzi! Se avete qualche dubbio o se volete dare uno sguardo a qualche esercizio risolto, fate un giro su YouMath partendo dalla scheda correlata. Al più, potete usate la barra di ricerca interna: abbiamo risposto a migliaia di domande e svolto altrettanti esercizi. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: come passare dalle equazioni parametriche alle equazioni cartesiane della retta - come ricavare la rappresentazione cartesiana di una retta dalle equazioni parametriche.