Formula del cambiamento di base per applicazioni lineari

La formula del cambiamento di base per applicazioni lineari permette di ricavare la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare rispetto a basi diverse di dominio e codominio.

Dopo aver visto come scrivere la matrice di cambiamento di base in uno spazio vettoriale, e dopo aver introdotto la nozione di matrice associata a un'applicazione lineare, vogliamo fare un ulteriore passo in avanti e introdurre la formula che permette di scrivere la matrice associata a una trasformazione lineare rispetto a basi diverse.

In altri termini, data una trasformazione lineare F:V → W e fissate due basi mathcalB_V e mathcalB'_V di V e due basi mathcalB_W e mathcalB'_W di W, vedremo qual è il legame tra la matrice associata a F rispetto alle basi mathcalB_V e mathcalB_W e la matrice che rappresenta F rispetto alle basi mathcalB'_V e mathcalB'_W.

Formula del cambiamento di base

Siano V e W due spazi vettoriali su uno stesso campo K rispettivamente di dimensioni n ed m, siano mathcalB_V e mathcalB'_V due basi di V, e infine siano mathcalB_W e mathcalB'_W due basi di W.

Siano inoltre F:V → W un'applicazione lineare e A_(F)^(mathcalB_V, mathcalB_W) la matrice associata a F rispetto alle basi mathcalB_V e mathcalB_W.

Quello che ci proponiamo di fare è individuare la matrice A_(F)^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) che rappresenta F rispetto a due basi di dominio e codominio diverse da quelle considerate inizialmente.

Indichiamo con M_(mathcalB_V → mathcalB'_V) la matrice di cambiamento di base da mathcalB_V a mathcalB'_V e con M_(mathcalB_W → mathcalB'_W) la matrice di cambiamento di base da mathcalB_W a mathcalB'_W.

Consideriamo un qualsiasi vettore v ∈ V e sia w: = F(v) l'immagine di v tramite F.

Rappresentiamo con:

v_(mathcalB_V) le coordinate di v rispetto alla base mathcalB_V;

v_(mathcalB'_V) le coordinate di v rispetto alla base mathcalB'_V;

w_(mathcalB_W) le componenti di w riferite alla base mathcalB_W;

w_(mathcalB'_W) le componenti di w calcolate rispetto alla base mathcalB'_W.

In caso di dubbi vi rimandiamo alla lezione sulle coordinate di un vettore rispetto a una base.

Denotiamo poi con · il prodotto riga per colonna; dalla definizione di matrice di cambiamento di base segue che

(1): v_(mathcalB'_V) = M_(mathcalB_V → mathcalB'_V)·v_(mathcalB_V) ; (2): w_(mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·w_(mathcalB_W)

Dalla definizione di matrice rappresentativa di una trasformazione lineare si ha che

(3): w_(mathcalB_W) = A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W)·v_(mathcalB_V) ; (4): w_(mathcalB'_W) = A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W)·v_(mathcalB'_V)

Il nostro intento è individuare la relazione tra le matrici A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) e A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W). Per riuscirci partiamo dalla (4), leggendola da destra verso sinistra, e componiamo opportunamente le precedenti uguaglianze

A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W)·v_(mathcalB'_V) = per (4) ; = w_(mathcalB'_W) = per (2) ; = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·w_(mathcalB_W) = per (3) ; = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W)·v_(mathcalB_V) = per (1) ; = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)·v_(mathcalB'_V)

Quanto detto finora vale per ogni v ∈ V, per cui la formula di cambiamento di base per matrici associate alla stessa applicazione lineare è la seguente:

A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

A parole: la matrice associata a un'applicazione lineare F:V → W rispetto alle basi mathcalB'_V e mathcalB'_W è uguale al prodotto tra la matrice di cambiamento di base da mathcalB_W  mathcalB'_W, la matrice associata a F rispetto alle basi mathcalB_V e mathcalB_W e l'inversa della matrice di cambiamento di base da mathcalB_V a mathcalB'_V.

Esempio di applicazione della formula di cambiamento di base

Consideriamo gli spazi vettoriali V = R^3 e W = R^2 e sia F:R^3 → R^2 l'applicazione lineare definita da

F(x,y,z) = (x+y-z, x-2y)

Consideriamo le seguenti basi per il dominio

mathcalB_V = mathcalB_(R^3) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ; mathcalB'_V = mathcalB'_(R^3) = (0,2,1), (1,-1,0), (2,0,3)

e le seguenti per il codominio

mathcalB_W = mathcalB_(R^2) = (1,0), (0,1) ; mathcalB'_W = mathcalB'_(R^2) = (-1,1), (2,-5)

Osserviamo che mathcalB_V e mathcalB_W sono rispettivamente le basi canoniche di R^3 e di R^2, dunque per scrivere la matrice associata a F rispetto a tali basi è sufficiente calcolare le immagini dei vettori di mathcalB_V tramite F e disporre le componenti dei vettori immagine per colonne in una matrice

F(1,0,0) = (1+0+0, 1-2·0) = (1,1) ; F(0,1,0) = (0+1-0, 0-2·1) = (1,-2) ; F(0,0,1) = (0+0-1, -2·0) = (-1,0)

Di conseguenza

A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W) = [1 1 -1 ; 1 -2 0]

Vogliamo ora determinare la matrice A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) associata a F rispetto alle basi mathcalB'_V e mathcalB'_W usando la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari

A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

Dobbiamo quindi calcolare le matrici M_(mathcalB_W → mathcalB'_W) e (M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1)

Dalla teoria sulle matrici di passaggio sappiamo che

M_(mathcalB_W → mathcalB'_W) = (M_(mathcalB'_W → mathcalB_W))^(-1)

e che la matrice che esprime il passaggio da una base qualsiasi alla base canonica di uno spazio vettoriale si ottiene disponendo per colonna i vettori della base qualsiasi.

Essendo mathcalB_W la base canonica di R^2 possiamo scrivere

M_(mathcalB'_W → mathcalB_W) = [-1 2 ; 1 -5]

per poi calcolarne la matrice inversa

M_(mathcalB_W → mathcalB'_W) = (M_(mathcalB'_W → mathcalB_W))^(-1) = [-1 2 ; 1 -5]^(-1) = [-(5)/(3) -(2)/(3) ;-(1)/(3) -(1)/(3)]

Infine, per quanto concerne (M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1) è sufficiente osservare che

(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1) = M_(mathcalB'_V → mathcalB_V)

mathcalB_V è la base canonica di R^3, e per quanto detto in precedenza

(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1) = M_(mathcalB'_V → mathcalB_V) = [0 1 2 ; 2 -1 0 ; 1 0 3]

Possiamo quindi applicare la formula di cambiamento di base e ricavare la matrice cercata

A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = M_(mathcalB_W → mathcalB'_W)·A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W)·(M_(mathcalB_V → mathcalB'_V))^(-1) = [-(5)/(3) -(2)/(3) ;-(1)/(3) -(1)/(3)] [1 1 -1 ; 1 -2 0] [0 1 2 ; 2 -1 0 ; 1 0 3] = [1 -2 (1)/(3) ; 1 -1 -(1)/(3)]

Per verificare la correttezza del risultato ottenuto calcoliamo la matrice riferita a F rispetto alle basi

mathcalB'_V = (0,2,1), (1,-1,0), (2,0,3) ; mathcalB'_W = (-1,1), (2,-5)

attenendoci alla definizione di matrice associata a un'applicazione lineare.

La prima cosa da fare è determinare l'immagine dei vettori di mathcalB'_V rispetto a F

F(0,2,1) = (0+2-1, 0-2·2) = (1,-4) ; F(1,-1,0) = (1-1-0, 1-2·(-1)) = (0,3) ; F(2,0,3) = (2+0-3, 2-2·0) = (-1,2)

A questo punto è sufficiente calcolare i coefficienti delle combinazioni lineari che permettono di esprimere i vettori immagine come combinazione lineare degli elementi di mathcalB'_W

(1,-4) = 1·(-1,1)+1·(2,-5) ; (0,3) = -2·(-1,1)+(-1)·(2,-5) ; (-1,2) = (1)/(3)(-1,1)-(1)/(3)(2,-5)

La matrice che ha per colonne i coefficienti delle precedenti combinazioni lineari è la matrice cercata, ossia

A_F^(mathcalB'_V, mathcalB'_W) = [1 -2 (1)/(3) ; 1 -1 -(1)/(3)]

e come potete notare coincide con quella ottenuta con la formula di cambiamento di base.

Caso particolare: formula del cambiamento di base per endomorfismi

Un caso particolarmente interessante si presenta quando F è un endomorfismo, cioè un'applicazione lineare avente lo stesso spazio vettoriale come dominio e codominio, e si considera la stessa base mathcalB in partenza e in arrivo.

Volendo essere più precisi, vogliamo vedere cosa accade alla formula di cambiamento di base considerando una trasformazione lineare

F:V → V

e assumendo mathcalB e mathcalB' come basi di V.

Indichiamo con:

A_F^(mathcalB) la matrice associata a F rispetto alla stessa base mathcalB in partenza e in arrivo, vale a dire A_F^(mathcalB, mathcalB);

M_(mathcalB → mathcalB') la matrice di cambiamento di base da mathcalB a mathcalB';

A_F^(mathcalB') la matrice associata a F rispetto alla stessa base mathcalB' in partenza e in arrivo, vale a dire A_F^(mathcalB', mathcalB').

Applicando la formula di cambiamento di base di un'applicazione lineare a questo caso specifico si ottiene

A_F^(mathcalB') = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·(M_(mathcalB → mathcalB'))^(-1)

La precedente formula è detta formula del cambiamento di base per matrici associate a un endomorfismo ed è utile per dimostrare che matrici associate a un endomorfismo rispetto a basi diverse sono matrici simili.

Riscrivendola come

A_F^(mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalB))^(-1)·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB)

risulta evidente la similitudine tra le matrici A_F^(mathcalB') e A_F^(mathcalB), infatti esiste una matrice invertibile M_(mathcalB'→ mathcalB) tale che A_F^(mathcalB') si ottenga dal prodotto tra l'inversa di M_(mathcalB'→ mathcalB), la matrice A_F^(mathcalB) e la matrice M_(mathcalB'→ mathcalB).

Esempio di applicazione della formula del cambiamento di base per endomorfismi

Consideriamo l'endomorfismo

F:R^3 → R^3

definito da

F(x,y,z) = (2x-y+z, 3z, x+y)

Vogliamo trovare la matrice che rappresenta F rispetto alla base di R^3 data da

mathcalB'= (1,1,0), (0,1,1), (1,1,1)

Per esaudire la richiesta possiamo individuare dapprima la matrice rappresentativa A_F^(mathcalB) di F rispetto alla base canonica mathcalB di R^3, determinare quindi la matrice del cambiamento di base M_(mathcalB'→ mathcalB) e la sua inversa, e infine calcolare A_F^(mathcalB') usando la formula del cambiamento di base.

Il primo passaggio è semplice:

A_F^(mathcalB) = [2 -1 1 ; 0 0 3 ; 1 1 0]

Scriviamo la matrice di passaggio da mathcalB' a mathcalB, che è quella matrice avente per colonne le componenti dei vettori di mathcalB'

M_(mathcalB'→ mathcalB) = [1 0 1 ; 1 1 1 ; 0 1 1]

La sua inversa è la matrice di passaggio da mathcalB a mathcalB', ossia

M_(mathcalB → mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalB))^(-1) = [1 0 1 ; 1 1 1 ; 0 1 1]^(-1) = [0 1 -1 ;-1 1 0 ; 1 -1 1]

Usando la formula di cambiamento di base per endomorfismi si ricava

A_F^(mathcalB') = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·(M_(mathcalB → mathcalB'))^(-1) = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB) = [0 1 -1 ;-1 1 0 ; 1 -1 1] [2 -1 1 ; 0 0 3 ; 1 1 0] [1 0 1 ; 1 1 1 ; 0 1 1] = [-2 2 1 ;-1 3 1 ; 3 -2 1 ]

Questa volta lasciamo a voi il compito di verificare che si giunge allo stesso risultato calcolando la matrice A_F^(mathcalB') seguendo la definizione di matrice associata. ;)

Leggendo la risoluzione dei due esempi proposti avrete di certo notato che la formula di cambiamento di base per le applicazioni lineari richiede molti conti, ed è molto più veloce calcolare direttamente la matrice associata alle nuove basi di dominio e codominio ricorrendo alla definizione di matrice rappresentativa di una trasformazione lineare. Nonostante ciò si tratta una formula che è bene conoscere, perché risulta utile nella dimostrazione di alcuni teoremi e nella risoluzione di esercizi a stampo teorico.

Con questo è tutto! Se volete vedere altri esempi ed esercizi svolti sappiate che qui su YM ce ne sono a centinaia, non dovete fare altro che affidarvi alla barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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