Formula del cambiamento di base per applicazioni lineari

La formula del cambiamento di base per applicazioni lineari permette di ricavare la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare rispetto a basi diverse di dominio e codominio.

 

Dopo aver visto come scrivere la matrice di cambiamento di base in uno spazio vettoriale, e dopo aver introdotto la nozione di matrice associata a un'applicazione lineare, vogliamo fare un ulteriore passo in avanti e introdurre la formula che permette di scrivere la matrice associata a una trasformazione lineare rispetto a basi diverse.

 

In altri termini, data una trasformazione lineare F:V \to W e fissate due basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}'_V di V e due basi \mathcal{B}_W e \mathcal{B}'_W di W, vedremo qual è il legame tra la matrice associata a F rispetto alle basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W e la matrice che rappresenta F rispetto alle basi \mathcal{B}'_V e \mathcal{B}'_W.

 

Formula del cambiamento di base

 

Siano V e W due spazi vettoriali su uno stesso campo \mathbb{K} rispettivamente di dimensioni n ed m, siano \mathcal{B}_V e \mathcal{B}'_V due basi di V, e infine siano \mathcal{B}_W e \mathcal{B}'_W due basi di W.

 

Siano inoltre F:V \to W un'applicazione lineare e A_{F}^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} la matrice associata a F rispetto alle basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W.

 

Quello che ci proponiamo di fare è individuare la matrice A_{F}^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} che rappresenta F rispetto a due basi di dominio e codominio diverse da quelle considerate inizialmente.

 

Indichiamo con M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}_V a \mathcal{B}'_V e con M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}_W a \mathcal{B}'_W.

 

Consideriamo un qualsiasi vettore \mathbf{v} \in V e sia \mathbf{w}:=F(\mathbf{v}) l'immagine di \mathbf{v} tramite F.

 

Rappresentiamo con:

 

\mathbf{v}_{\mathcal{B}_V} le coordinate di \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}_V;

 

\mathbf{v}_{\mathcal{B}'_V} le coordinate di \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}'_V;

 

\mathbf{w}_{\mathcal{B}_W} le componenti di \mathbf{w} riferite alla base \mathcal{B}_W;

 

\mathbf{w}_{\mathcal{B}'_W} le componenti di \mathbf{w} calcolate rispetto alla base \mathcal{B}'_W.

 

In caso di dubbi vi rimandiamo alla lezione sulle coordinate di un vettore rispetto a una base.

 

Denotiamo poi con \cdot il prodotto riga per colonna; dalla definizione di matrice di cambiamento di base segue che

 

\\ (1): \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'_V} = M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \cdot \mathbf{v}_{\mathcal{B}_V} \\ \\ (2): \ \mathbf{w}_{\mathcal{B}'_W} = M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} \cdot \mathbf{w}_{\mathcal{B}_W}

 

Dalla definizione di matrice rappresentativa di una trasformazione lineare si ha che

 

\\ (3): \ \mathbf{w}_{\mathcal{B}_W} = A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} \cdot \mathbf{v}_{\mathcal{B}_V} \\ \\ (4): \ \mathbf{w}_{\mathcal{B}'_W} = A_F^{\mathcal{B}'_V,\mathcal{B}'_W} \cdot \mathbf{v}_{\mathcal{B}'_V}

 

Il nostro intento è individuare la relazione tra le matrici A_F^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} e A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W}. Per riuscirci partiamo dalla (4), leggendola da destra verso sinistra, e componiamo opportunamente le precedenti uguaglianze

 

\\ A_F^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} \cdot \mathbf{v}_{\mathcal{B}'_V} = \mbox{ per (4)} \\ \\ = \mathbf{w}_{\mathcal{B}'_W} = \mbox{ per (2)} \\ \\ = M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} \cdot \mathbf{w}_{\mathcal{B}_W} = \mbox{ per (3)} \\ \\ = M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} \cdot A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} \cdot \mathbf{v}_{\mathcal{B}_V} = \mbox{ per (1)} \\ \\ = M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} \cdot A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} \cdot \left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V}\right)^{-1} \cdot \mathbf{v}_{\mathcal{B}'_V}

 

Quanto detto finora vale per ogni \mathbf{v} \in V, per cui la formula di cambiamento di base per matrici associate alla stessa applicazione lineare è la seguente:

 

 

A_F^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} = M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} \cdot A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} \cdot \left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \right)^{-1}

 

 

A parole: la matrice associata a un'applicazione lineare F:V \to W rispetto alle basi \mathcal{B}'_V e \mathcal{B}'_W è uguale al prodotto tra la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}_W  \mathcal{B}'_W, la matrice associata a F rispetto alle basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W e l'inversa della matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}_V a \mathcal{B}'_V.

 

Esempio di applicazione della formula di cambiamento di base

 

Consideriamo gli spazi vettoriali V=\mathbb{R}^3 e W=\mathbb{R}^2 e sia F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 l'applicazione lineare definita da

 

F(x,y,z)=(x+y-z, \ x-2y)

 

Consideriamo le seguenti basi per il dominio

 

\\ \mathcal{B}_V=\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3}=\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\} \\ \\ \mathcal{B}'_V=\mathcal{B}'_{\mathbb{R}^3}=\{(0,2,1), \ (1,-1,0), \ (2,0,3)\}

 

e le seguenti per il codominio

 

\\ \mathcal{B}_W=\mathcal{B}_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0), \ (0,1)\} \\ \\ \mathcal{B}'_W=\mathcal{B}'_{\mathbb{R}^2}=\{(-1,1), \ (2,-5)\}

 

Osserviamo che \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W sono rispettivamente le basi canoniche di \mathbb{R}^3 e di \mathbb{R}^2, dunque per scrivere la matrice associata a F rispetto a tali basi è sufficiente calcolare le immagini dei vettori di \mathcal{B}_V tramite F e disporre le componenti dei vettori immagine per colonne in una matrice

 

\\ F(1,0,0) = (1+0+0, \ 1-2 \cdot 0) = (1,1) \\ \\ F(0,1,0) = (0+1-0, \ 0-2 \cdot 1) = (1,-2) \\ \\ F(0,0,1)=(0+0-1, \ -2\cdot 0) = (-1,0)

 

Di conseguenza

 

A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} = \begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 1&-2&0\end{pmatrix}

 

Vogliamo ora determinare la matrice A_F^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} associata a F rispetto alle basi \mathcal{B}'_V e \mathcal{B}'_W usando la formula del cambiamento di base per applicazioni lineari

 

A_F^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} = M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} \cdot A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} \cdot \left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \right)^{-1}

 

Dobbiamo quindi calcolare le matrici M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} e \left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \right)^{-1}

 

Dalla teoria sulle matrici di passaggio sappiamo che

 

M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} = \left(M_{\mathcal{B}'_W \to \mathcal{B}_W} \right)^{-1}

 

e che la matrice che esprime il passaggio da una base qualsiasi alla base canonica di uno spazio vettoriale si ottiene disponendo per colonna i vettori della base qualsiasi.

 

Essendo \mathcal{B}_W la base canonica di \mathbb{R}^2 possiamo scrivere

 

M_{\mathcal{B}'_W \to \mathcal{B}_W}=\begin{pmatrix}-1&2 \\ 1&-5\end{pmatrix}

 

per poi calcolarne la matrice inversa

 

M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} = \left(M_{\mathcal{B}'_W \to \mathcal{B}_W} \right)^{-1} = \begin{pmatrix}-1&2 \\ 1&-5\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}&-\tfrac{2}{3} \\ \\ -\tfrac{1}{3}&-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}

 

Infine, per quanto concerne \left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \right)^{-1} è sufficiente osservare che

 

\left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \right)^{-1}=M_{\mathcal{B}'_V \to \mathcal{B}_V}

 

\mathcal{B}_V è la base canonica di \mathbb{R}^3, e per quanto detto in precedenza

 

\left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \right)^{-1}=M_{\mathcal{B}'_V \to \mathcal{B}_V} = \begin{pmatrix}0&1&2 \\ 2&-1&0 \\ 1&0&3\end{pmatrix}

 

Possiamo quindi applicare la formula di cambiamento di base e ricavare la matrice cercata

 

\\ A_F^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} = M_{\mathcal{B}_W \to \mathcal{B}'_W} \cdot A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W} \cdot \left(M_{\mathcal{B}_V \to \mathcal{B}'_V} \right)^{-1} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{3}&-\tfrac{2}{3}\\ \\ -\tfrac{1}{3}&-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 1&-2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&2 \\ 2&-1&0 \\ 1&0&3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}1&-2&\tfrac{1}{3} \\ \\ 1&-1&-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}

 

Per verificare la correttezza del risultato ottenuto calcoliamo la matrice riferita a F rispetto alle basi

 

\mathcal{B}'_V=\{(0,2,1), \ (1,-1,0), \ (2,0,3)\}\\ \\ \mathcal{B}'_W=\{(-1,1), \ (2,-5)\}

 

attenendoci alla definizione di matrice associata a un'applicazione lineare.

 

La prima cosa da fare è determinare l'immagine dei vettori di \mathcal{B}'_V rispetto a F

 

\\ F(0,2,1)=(0+2-1, \ 0-2 \cdot 2) = (1,-4) \\ \\ F(1,-1,0)=(1-1-0, \ 1-2\cdot(-1))=(0,3) \\ \\ F(2,0,3)=(2+0-3, \ 2-2\cdot 0) = (-1,2)

 

A questo punto è sufficiente calcolare i coefficienti delle combinazioni lineari che permettono di esprimere i vettori immagine come combinazione lineare degli elementi di \mathcal{B}'_W

 

\\ (1,-4)=1 \cdot (-1,1) + 1 \cdot (2,-5) \\ \\ (0,3)=-2 \cdot (-1,1) + (-1) \cdot (2,-5) \\ \\ (-1,2) = \frac{1}{3}(-1,1)-\frac{1}{3}(2,-5)

 

La matrice che ha per colonne i coefficienti delle precedenti combinazioni lineari è la matrice cercata, ossia

 

A_F^{\mathcal{B}'_V, \mathcal{B}'_W} = \begin{pmatrix}1&-2&\tfrac{1}{3} \\ \\ 1&-1&-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}

 

e come potete notare coincide con quella ottenuta con la formula di cambiamento di base.

 

Caso particolare: formula del cambiamento di base per endomorfismi

 

Un caso particolarmente interessante si presenta quando F è un endomorfismo, cioè un'applicazione lineare avente lo stesso spazio vettoriale come dominio e codominio, e si considera la stessa base \mathcal{B} in partenza e in arrivo.

 

Volendo essere più precisi, vogliamo vedere cosa accade alla formula di cambiamento di base considerando una trasformazione lineare

 

F:V \to V

 

e assumendo \mathcal{B} e \mathcal{B}' come basi di V.

 

Indichiamo con:

 

A_F^{\mathcal{B}} la matrice associata a F rispetto alla stessa base \mathcal{B} in partenza e in arrivo, vale a dire A_F^{\mathcal{B},\mathcal{B}};

 

M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B} a \mathcal{B}';

 

A_F^{\mathcal{B}'} la matrice associata a F rispetto alla stessa base \mathcal{B}' in partenza e in arrivo, vale a dire A_F^{\mathcal{B}',\mathcal{B}'}.

 

Applicando la formula di cambiamento di base di un'applicazione lineare a questo caso specifico si ottiene

 

A_F^{\mathcal{B}'} = M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} \cdot A_F^{\mathcal{B}} \cdot \left(M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1}

 

La precedente formula è detta formula del cambiamento di base per matrici associate a un endomorfismo ed è utile per dimostrare che matrici associate a un endomorfismo rispetto a basi diverse sono matrici simili.

 

Riscrivendola come

 

A_F^{\mathcal{B}'} = \left(M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}\right)^{-1} \cdot A_F^{\mathcal{B}} \cdot M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}

 

risulta evidente la similitudine tra le matrici A_F^{\mathcal{B}'} e A_F^{\mathcal{B}}, infatti esiste una matrice invertibile M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} tale che A_F^{\mathcal{B}'} si ottenga dal prodotto tra l'inversa di M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}, la matrice A_F^{\mathcal{B}} e la matrice M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}.

 

Esempio di applicazione della formula del cambiamento di base per endomorfismi

 

Consideriamo l'endomorfismo

 

F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

 

definito da

 

F(x,y,z)=(2x-y+z, \ 3z, \ x+y)

 

Vogliamo trovare la matrice che rappresenta F rispetto alla base di \mathbb{R}^3 data da

 

\mathcal{B}'=\{(1,1,0), \ (0,1,1), \ (1,1,1)\}

 

Per esaudire la richiesta possiamo individuare dapprima la matrice rappresentativa A_F^{\mathcal{B}} di F rispetto alla base canonica \mathcal{B} di \mathbb{R}^3, determinare quindi la matrice del cambiamento di base M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} e la sua inversa, e infine calcolare A_F^{\mathcal{B}'} usando la formula del cambiamento di base.

 

Il primo passaggio è semplice:

 

A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}

 

Scriviamo la matrice di passaggio da \mathcal{B}' a \mathcal{B}, che è quella matrice avente per colonne le componenti dei vettori di \mathcal{B}'

 

M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}

 

La sua inversa è la matrice di passaggio da \mathcal{B} a \mathcal{B}', ossia

 

M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}=\left(M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}\right)^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix}

 

Usando la formula di cambiamento di base per endomorfismi si ricava

 

\\ A_F^{\mathcal{B}'} = M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} \cdot A_F^{\mathcal{B}} \cdot \left(M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}\right)^{-1} = \\ \\ = M_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'} \cdot A_F^{\mathcal{B}} \cdot M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}-2&2&1 \\ -1&3&1 \\ 3&-2&1 \end{pmatrix}

 

Questa volta lasciamo a voi il compito di verificare che si giunge allo stesso risultato calcolando la matrice A_F^{\mathcal{B}'} seguendo la definizione di matrice associata. ;)

 

 


 

Leggendo la risoluzione dei due esempi proposti avrete di certo notato che la formula di cambiamento di base per le applicazioni lineari richiede molti conti, ed è molto più veloce calcolare direttamente la matrice associata alle nuove basi di dominio e codominio ricorrendo alla definizione di matrice rappresentativa di una trasformazione lineare. Nonostante ciò si tratta una formula che è bene conoscere, perché risulta utile nella dimostrazione di alcuni teoremi e nella risoluzione di esercizi a stampo teorico.

 

Con questo è tutto! Se volete vedere altri esempi ed esercizi svolti sappiate che qui su YM ce ne sono a centinaia, non dovete fare altro che affidarvi alla barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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