Applicazioni lineari definite da una matrice

Quando ci si riferisce a un'applicazione lineare definita da una matrice si intende che a qualsiasi matrice può essere associata un'applicazione lineare. Più in particolare, ogni matrice di m righe e n colonne a coefficienti in un campo \mathbb{K} individua un'applicazione lineare da \mathbb{K}^n a \mathbb{K}^m.

 

Nella precedente lezione abbiamo dato la definizione di applicazione lineare e ribadito che una trasformazione lineare può anche essere definita una matrice; qui capiremo proprio qual è la relazione tra matrici e applicazioni lineari.

 

Più nello specifico vedremo come da una matrice è possibile ricavare la forma esplicita di un'applicazione lineare, mostrando qualche esempio e mettendovi in guardia dagli errori più comuni che si commettono nella risoluzione degli esercizi.

 

Definizione di applicazione lineare definita mediante una matrice

 

Consideriamo una matrice A\in\mathbb{K}^{m \times n}, vale a dire una matrice di m righe e n colonne a coefficienti in un campo \mathbb{K}. In forma estesa

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{m \times n}

 

Tenendo a mente la definizione di prodotto riga per colonna, a partire da A è possibile definire in modo molto intuitivo un'applicazione lineare, solitamente indicata con L_A, i cui spazi vettoriali di partenza e di arrivo sono rispettivamente \mathbb{K}^n e \mathbb{K}^m

 

L_A:\mathbb{K}^n\to \mathbb{K}^m

 

Tale omomorfismo si costruisce nel modo seguente: dato un vettore colonna

 

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in\mathbb{K}^n

 

definiamo l'immagine del vettore \mathbf{x} mediante l'applicazione lineare L_A come il vettore ottenuto dal prodotto riga per colonna A\mathbf{x}

 

L_A(\mathbf{x}):=A\mathbf{x}

 

vale a dire

 

L_A(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}&\cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&\cdots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\cdots& \vdots\\ a_{m1}& a_{m2}&\cdots& a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}

 

Ricapitolando, ogni matrice A \in \mathbb{K}^{m \times n} definisce l'applicazione lineare L_A: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m che a ogni vettore \mathbf{x}\in\mathbb{K}^n associa il vettore A\mathbf{x}\in\mathbb{K}^{m}.

 

Prima di procedere oltre vi facciamo notare che il vettore del prodotto deve avere un numero di componenti pari al numero di colonne della matrice, e che il vettore immagine ha tante componenti quante sono le righe della matrice.

 

 

LA è un'applicazione lineare

 

Dimostriamo che L_A è a tutti gli effetti un'applicazione lineare. A tal proposito dobbiamo dimostrare che L_A verifica la condizione di linearità, ossia che per ogni \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2 \in \mathbb{K}^n e per ogni \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{K} risulta che

 

L_A(\lambda_1 \mathbf{x}_1 + \lambda_2 \mathbf{x}_2)=\lambda_1 L_A(\mathbf{x}_1)+\lambda_2 L_A(\mathbf{x}_2)

 

Procediamo! Dalla definizione dell'applicazione L_A segue che

 

L_A(\lambda_1 \mathbf{x}_1 + \lambda_2 \mathbf{x}_2)= A(\lambda_1 \mathbf{x}_1 + \lambda_2 \mathbf{x}_2)=

 

per la proprietà distributiva del prodotto riga per colonna rispetto alla somma tra matrici

 

=A(\lambda_1 \mathbf{x}_1) + A(\lambda_2 \mathbf{x}_2)=

 

per una nota proprietà del prodotto di una matrice per uno scalare

 

=\lambda_1(A \mathbf{x}_1)+\lambda_2(A \mathbf{x}_2) =

 

per com'è definita L_A

 

=\lambda_1 L_A(\mathbf{x}_1) + \lambda_2 L_A(\mathbf{x}_2)

 

e ciò conclude la dimostrazione.

 

 

Osservazione (Attenzione a dominio e codominio)

 

Se A è una matrice con m righe e n colonne a elementi in \mathbb{K}, l'applicazione L_A ha come dominio \mathbb{K}^n e come codominio \mathbb{K}^m.

 

L_A è infatti definita mediante il prodotto riga per colonna, quindi i vettori del dominio devono avere un numero di componenti pari al numero di colonne della matrice. Inoltre, poiché il prodotto matrice-vettore è un vettore avente tante componenti quante sono le righe della matrice, il codominio dell'applicazione lineare deve avere dimensione pari al numero di righe della matrice.

 

Esempi di applicazioni lineari definite da una matrice

 

1) Per individuare l'applicazione lineare definita dalla matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 4 & 5\\ 7 & 8\end{pmatrix}

 

si deve considerare un generico vettore colonna \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2 (la dimensione del dominio dell'applicazione è pari al numero di colonne di A) e calcolare il prodotto A\mathbf{x}

 

A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1& 2\\ 4 & 5\\ 7 & 8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+2x_2 \\ 4x_1+5x_2 \\ 7x_1+8x_2\end{pmatrix}

 

Otteniamo così l'omomorfismo L_A:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3 definito dalla matrice A

 

L_A(x_1,x_2)=(x_1+2x_2, \ 4x_1+5x_2, \ 7x_1+8x_2)

 

 

2) Ricavare la forma esplicita dell'applicazione lineare definita dalla seguente matrice

 

A=\begin{pmatrix}2&5&-1 \\ 1&0&3 \\ 0&4&6\end{pmatrix}

 

L'applicazione definita dalla matrice A ha come dominio e come codominio \mathbb{R}^3, ossia

 

L_A: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

 

Per ricavarne la forma esplicita è sufficiente considerare un generico vettore colonna \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 e svolgere il prodotto riga per colonna A\mathbf{x}

 

A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}2&5&-1 \\ 1&0&3 \\ 0&4&6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x_1+5x_2-x_3 \\ x_1+3x_3 \\ 4x_2+6x_3\end{pmatrix}

 

Possiamo così concludere che

 

L_A(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+5x_2-x_3, \ x_1+3x_3, \ 4x_2+6x_3)

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui. Nella prossima lezione vedremo come si definiscono le applicazioni lineari mediante immagini di vettori, per poi introdurre la nozione di matrice associata a un'applicazione lineare, che altro non è se non l'esatto inverso logico di un'applicazione lineare definita da una matrice.

 

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Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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