Applicazioni lineari con spazi di polinomi

Un'applicazione lineare con spazi di polinomi è un'applicazione lineare in cui almeno uno tra il dominio e il codominio della trasformazione sono spazi vettoriali di polinomi o loro sottospazi.

 

Se avete già letto le precedenti lezioni, tra cui quella dedicata alle applicazioni lineari con spazi di matrici, siete in una botte di ferro. Qui infatti non faremo altro che riadattare alle trasformazioni su spazi di polinomi quanto già detto per le applicazioni lineari tra spazi vettoriali qualsiasi.

 

Nello specifico vi mostreremo due metodi utili per affrontare gli esercizi in cui viene chiesto di determinare la matrice associata, e di calcolare una base e la dimensione del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare su spazi di polinomi. Il primo è quello standard, che si utilizza per trasformazioni lineari qualsiasi, mentre il secondo fa uso del cosiddetto isomorfismo coordinato.

 

Matrice associata a un'applicazione lineare con spazi di polinomi

 

Siano V e W due spazi vettoriali finitamente generati e definiti su un campo \mathbb{K}, quale potrebbe essere \mathbb{R} o \mathbb{C}, e supponiamo che uno tra V e W, o entrambi, sia uno spazio vettoriale di polinomi nell'indeterminata x o un suo sottospazio vettoriale.

 

Sia inoltre F:V \to W un'applicazione lineare e fissiamo una base del dominio

 

\mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}

 

e una base del codominio

 

\mathcal{B}_W=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_m\}

 

Per calcolare la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare F procediamo nel modo seguente:

 

1) calcoliamo le immagini dei vettori di \mathcal{B}_V mediante F;

 

2) esprimiamo i vettori immagine come combinazione lineare dei vettori di \mathcal{B}_W;

 

3) disponiamo i coefficienti delle precedenti combinazioni lineari per colonne in una matrice.

 

Quella ottenuta è la matrice associata a F e riferita alle basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W.

 

Esempi sul calcolo della matrice associata ad applicazioni con spazi di polinomi

 

A) Consideriamo l'applicazione F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_4[x] data da

 

F(a,b,c)=a+bx+(a+b)x^2+(a+2c)x^3+(a+2b-3c)x^4

 

Fissiamo le basi canoniche di dominio e codominio

 

\\ \mathcal{B}_V=\mathcal{C}_{\mathbb{R}^3} = \{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\} \\ \\ \mathcal{B}_{W}=\mathcal{C}_{\mathbb{R}_4[x]}=\{1,x,x^2,x^3,x^4\}

 

e proponiamoci di calcolare la matrice associata a F rispetto a tali basi.

 

Svolgimento: calcoliamo le immagini tramite F dei vettori di \mathcal{C}_{\mathbb{R}^3}

 

\\ F(1,0,0)=1+0x+(1+0)x^2+(1+2\cdot 0)x^3+(1+2 \cdot 0-3 \cdot 0)x^4 =\\ \\ = 1+x^2+x^3+x^4 \\ \\ F(0,1,0)=0+1x+(0+1)x^2+(0+2\cdot 0)x^3+(0+2 \cdot 1-3 \cdot 0)x^4 = \\ \\ = x+x^2+2x^4 \\ \\ F(0,0,1)=0+0x+(0+0)x^2+(0+2\cdot 1)x^3+(0+2 \cdot 0-3 \cdot 1)x^4 = \\ \\ = 2x^3-3x^4

 

dopodiché esprimiamo ciascun vettore immagine come combinazione lineare dei vettori della base del codominio scelta

 

\\ F(1,0,0)=1+x^2+x^3+x^4 = \\ \\ =1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x^3 + 1 \cdot x^4 \\ \\ F(0,1,0)=x+x^2+2x^4 = \\ \\ =0 \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3 + 2 \cdot x^4 \\ \\ F(0,0,1)=2x^3-3x^4 = \\ \\ =0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 2 \cdot x^3 + (-3) \cdot x^4

 

La matrice A_F rappresentativa di F rispetto alle basi fissate è quella matrice che ha per colonne i coefficienti delle combinazioni lineari appena calcolate, ossia

 

A_F=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&1&0 \\ 1&0&2 \\ 1&-2&-3\end{pmatrix}

 

 

B) Siano V=\mathbb{R}_2[x] e W=\mathbb{R}_3[x], e sia F:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_3[x] l'applicazione definita da

 

F[p(x)]=x^2 p'(x)

 

dove l'apice indica la derivata prima di p(x) calcolata, ovviamente, rispetto a x.

 

Per intenderci, se

 

p(x)=a+bx+cx^2

 

è un generico vettore (polinomio) di \mathbb{R}_2[x], la trasformazione F associa a p(x) il polinomio

 

x^2 p'(x) = x^2(b+2cx)=bx^2+2cx^3 \in \mathbb{R}_3[x]

 

Consideriamo come basi di dominio e codominio rispettivamente

 

\mathcal{B}_V=\mathcal{B}_{\mathbb{R}_2[x]}=\{1+x, \ 1+x^2, \ x+x^2\}\\ \\ \mathcal{B}_W=\mathcal{B}_{\mathbb{R}_3[x]}=\{1,x,x^2,x^3\}

 

e proponiamoci di determinare la matrice associata a F rispetto a tali basi.

 

Svolgimento: ormai dovrebbe essere chiaro che per determinare la matrice associata a F rispetto alle basi assegnate occorre calcolare le immagini mediante F dei vettori di \mathcal{B}_V, per poi esprimerle come combinazione lineare degli elementi di \mathcal{B}_W.

 

Svolgendo le due operazioni in un colpo solo si ricava che

 

\\ F(1+x)=x^2 (1+x)' = x^2 \cdot 1 = x^2 = \\ \\ =0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3 \\ \\ F(1+x^2)= x^2 (1+x^2)' = x^2 \cdot 2x = 2x^3 = \\ \\ =0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 2 \cdot x^3 \\ \\ F(x+x^2)=x^2 (x+x^2)' = x^2 \cdot (1+2x) = x^2+2x^3 = \\ \\ =0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^3

 

dunque la matrice associata all'applicazione è:

 

A_F=\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 1&0&1 \\ 0&2&2\end{pmatrix}

 

Dimensione e base di nucleo e immagine di un'applicazione con spazi di polinomi

 

Richiamiamo brevemente i metodi per calcolare la dimensione e una base di nucleo e immagine di un'applicazione lineare qualsiasi, per poi fare un paio di esempi in cui calcoleremo dimensione e base di nucleo e immagine di trasformazioni su spazi di polinomi.

 

Sia F:V \to W un'applicazione lineare e supponiamo che dominio e codominio abbiano, rispettivamente, dimensione n e m. Fissiamo una base di V e una base di W:

 

\\ \mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \\ \\ \mathcal{B}_W=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_m\}

 

La prima cosa da fare è calcolare la matrice associata a F rispetto alle basi scelte. Sia tale matrice

 

A_F=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}

 

Immagine: per determinare una base e la dimensione dell'immagine di F è sufficiente estrarre una base dal sistema di generatori C formato dalle colonne di A_F. Se non ricordate come procedere è tutto spiegato qui: come estrarre una base da un sistema di generatori.

 

Indichiamo la base estratta

 

\mathcal{B}_{\mbox{Span}(C)}=\{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, ..., \mathbf{c}_k\}\ \ \mbox{ con } k \le n

 

I vettori di questa base sono, in realtà, vettori di coordinate rispetto alla base \mathcal{B}_W, dunque:

 

- se il codominio è \mathbb{R}^m \ (W=\mathbb{R}^m) e se \mathcal{B}_W è la base canonica di \mathbb{R}^m, allora \mathcal{B}_{\mbox{Span}(C)} è proprio una base di \mbox{Im}(F), e abbiamo finito. Questo perché le coordinate di un vettore riferite alla base canonica coincidono con le componenti stesse del vettore.

 

- Se invece W \neq \mathbb{R}^m, oppure se W=\mathbb{R}^m e \mathcal{B}_W non è la base canonica, per ricavare i vettori della base dell'immagine si devono moltiplicare ordinatamente le coordinate di ciascun vettore di \mathcal{B}_{\mbox{Span}(C)} per i vettori di \mathcal{B}_{W}.

 

Nucleo: per il nucleo consideriamo il vettore colonna (x_1,x_2,...,x_n)^T formato dalle coordinate di un generico vettore \mathbf{v} \in V rispetto alla base \mathcal{B}_V scelta

 

\mathbf{v}_{\mathcal{B}_V}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

 

e impostiamo l'equazione matriciale

 

A_F \mathbf{v}_{\mathcal{B}_V}=\mathbf{0}_{\mathbb{R}^m}

 

dove m è la dimensione dello spazio d'arrivo.

 

Proseguiamo svolgendo il prodotto riga per colonna A_F\mathbf{v}_{\mathcal{B}_V}, così da ottenere un sistema lineare omogeneo

 

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n=0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n=0\end{cases}

 

Calcoliamo una base per il sottospazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo e indichiamo tale base con

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, ..., \mathbf{s}_k\}\ \ \mbox{ con } k\le n

 

Così come accaduto per l'immagine, ciascun vettore di \mathcal{B}_{Sol} è un vettore di coordinate rispetto alla base \mathcal{B}_V, quindi arrivati a questo punto si aprono due strade:

 

- se V=\mathbb{R}^n e se \mathcal{B}_V è la base canonica di \mathbb{R}^n, allora \mathcal{B}_{Sol} è proprio una base del nucleo.

 

- Se invece V \neq \mathbb{R}^n, oppure se V=\mathbb{R}^n e \mathcal{B}_V non è la base canonica, i vettori della base del nucleo si ottengono moltiplicando ordinatamente le coordinate di ciascun vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori di \mathcal{B}_{V}.

 

Prima di procedere con gli esempi vi ricordiamo un altro fondamentale risultato: il teorema delle dimensioni, un teorema tanto semplice quanto utile, con cui possiamo verificare i risultati ottenuti e, in alcuni casi, risparmiarci il calcolo di una base del nucleo o dell'immagine.

 

Per chi non se lo ricordasse, tale teorema afferma che la dimensione del dominio di un'applicazione lineare è uguale alla somma delle dimensioni di nucleo e immagine. In una formula:

 

\mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))

 

Esempi sul calcolo di dimensione e base di nucleo e immagine di un'applicazione tra spazi di polinomi

 

C) Calcolare la dimensione e una base del nucleo e dell'immagine dell'applicazione F: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^3 data da

 

F(a+bx+cx^2)=(a+b, \ a-b, \ a+b-2c)

 

Svolgimento: partiamo dalle basi canoniche di dominio e codominio

 

\\ \mathcal{C}_{\mathbb{R}_2[x]}=\{1,x,x^2\} \\ \\ \mathcal{C}_{\mathbb{R}^3}=\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

e determiniamo la matrice associata a F rispetto a tali basi. Le immagini tramite F dei vettori di \mathcal{C}_{\mathbb{R}_2[x]} sono

 

\\ F(1)=(1+0, \ 1-0, \ 1+0-2 \cdot 0)=(1,1,1) \\ \\ F(x)=(0+1, \ 0-1, \ 0+1-2 \cdot 0)=(1,-1,1) \\ \\ F(x^2)=(0+0, \ 0-0, \ 0+0-2 \cdot 1)=(0,0,-2)

 

ed essendo la base del codominio quella canonica possiamo concludere che

 

A_F=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&-1&0 \\ 1&1&-2\end{pmatrix}

 

È immediato osservare che A_F ha determinante non nullo. Procedendo infatti con lo sviluppo di Laplace riferito alla terza colonna, si ottiene

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&-1&0 \\ 1&1&-2\end{pmatrix} = -2 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&-1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ =-2 \cdot (-1-1)= -2 \cdot (-2) = 4

 

Di conseguenza, i vettori dell'insieme C formato dalle colonne di A_F

 

C=\{(1,1,1), \ (1,-1,1), \ (0,0,-2)\}

 

sono linearmente indipendenti tra loro, e quindi formano una base del sottospazio generato dalle colonne della matrice

 

\mathcal{B}_{\mbox{Span}(C)}=\{(1,1,1), \ (1,-1,1), \ (0,0,-2)\}

 

Il codominio dell'applicazione è \mathbb{R}^3 e la base del codominio fissata è quella canonica, per cui tali vettori formano una base di \mbox{Im}(F)

 

\mathcal{B}_{\mbox{Im}(F)}=\{(1,1,1), \ (1,-1,1), \ (0,0,-2)\}

 

e la sua dimensione è 3

 

\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=3

 

Ora, per il teorema delle dimensioni

 

\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))=\mbox{dim}(\mathbb{R}_2[x])-\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=3-3=0

 

Quindi il nucleo di F è formato dal solo vettore nullo, e non ha alcun senso cercarne una base.

 

 

D) Sia V il seguente sottospazio generato

 

V=\mbox{Span}(1+x+3x^2+x^3, \ 2+x+x^3, \ 5x-2x^2)

 

e sia W=\mathbb{R}^2.

 

Determinare la dimensione e una base di nucleo e immagine dell'applicazione \\ F:V \to W data da

 

F(1+x+3x^2+x^3)=(2,2) \\ \\ F(2+x+x^3)=(0,4) \\ \\ F(5x-2x^2)=(4,0)

 

Svolgimento: F è un'applicazione definita da immagini di vettori che in questo caso specifico sono i polinomi che generano il dominio V dell'applicazione.

 

Tali vettori sono linearmente indipendenti tra loro e dunque formano una base di V, per cui l'applicazione F esiste ed è unica.

 

Dopo questa fondamentale premessa, poiché la scelta delle basi di dominio e codominio è arbitraria, fissiamo

 

\mathcal{B}_V=\{1+x+3x^2+x^3, \ 2+x+x^3, \ 5x-2x^2\}

 

come base del dominio, e prendiamo la base canonica di \mathbb{R}^2 come base del codominio

 

\mathcal{B}_W=\mathcal{C}_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0), \ (0,1)\}

 

Con questa scelta scrivere la matrice rappresentativa di F è immediato. Conosciamo già le immagini mediante F dei vettori di \mathcal{B}_V, e dal momento che la base del codominio è quella canonica non dobbiamo far altro che disporre le componenti dei vettori immagine per colonne in una matrice.

 

A_F=\begin{pmatrix}2&0&4 \\ 2&4&0\end{pmatrix}

 

Procediamo al calcolo di una base di \mbox{Im}(F) considerando l'insieme formato dalle colonne di A_F

 

C=\{(2,2), \ (0,4), \ (4,0)\}

 

ed estraiamone una base col criterio dei minori. Se si esclude la terza colonna di A_F si ottiene una sottomatrice con determinante non nullo

 

\mbox{det} \begin{pmatrix}2&0 \\ 2&4\end{pmatrix} = 8 \neq 0

 

dunque una base del sottospazio generato dalle colonne della matrice rappresentativa è quella formata da queste due colonne

 

\mathcal{B}_{\mbox{Span}(C)}=\{(2,2), \ (0,4)\}

 

e coincide con una base di \mbox{Im}(F)

 

\mathcal{B}_{\mbox{Im}(F)}=\{(2,2), \ (0,4)\}

 

la cui dimensione è, evidentemente, 2

 

\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=2

 

Per il teorema delle dimensioni

 

\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F)) = \mbox{dim}(V) - \mbox{dim}(\mbox{Im}(F)) = 3-2 = 1

 

Osserviamo infatti che V è generato da 3 vettori linearmente indipendenti, e quindi la sua dimensione è 3.

 

A questo punto chiamiamo (a,b,c) le coordinate riferite a \mathcal{B}_V di un generico vettore di V.

 

Per calcolare una base del \mbox{Ker}(F) impostiamo l'equazione matriciale

 

\begin{pmatrix}2&0&4 \\ 2&4&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}

 

ricadendo così nel sistema

 

\begin{cases}2a+4c=0 \\ 2a+4b=0\end{cases}

 

le cui incognite sono a,b,c.

 

La matrice dei coefficienti a esso associata è A_F, il cui rango è 2. Il teorema di Rouché Capelli ci permette di concludere che il sistema ammette \infty^{3-2}=\infty^1 soluzioni e ciò conferma, appunto, che la dimensione del nucleo è effettivamente 1.

 

Calcoliamole assegnando all'incognita c il ruolo di parametro libero; ponendo c=\lambda con \lambda \in \mathbb{R}, dopo qualche semplice conticino otteniamo

 

(a,b,c)=\left(-2\lambda, \ \lambda, \ \lambda \right) \ \ \mbox{ con } \lambda \in \mathbb{R}

 

Una base per il sottospazio delle soluzioni del sistema è

 

\mathcal{B}_{Sol}=\left\{\left(-2,1,1\right)\right\}

 

e per determinare una base del \mbox{Ker}(F) moltiplichiamo le componenti del vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori di \mathcal{B}_V

 

\\ -2 \cdot (1+x+3x^2+x^3) + 1 \cdot (2+x+x^3) + 1 \cdot (5x-2x^2) = \\ \\ = -2-2x-6x^2-2x^3+2+x+x^3+5x-2x^2= \\ \\ =4x-8x^2-x^3

 

In definitiva

 

\mathcal{B}_{\mbox{Ker}(F)} = \{4x-8x^2-x^3\}

 

Applicazioni lineari con spazi di matrici e isomorfismo coordinato

 

Chi ha già studiato la definizione di isomorfismo coordinato saprà che è quella particolare applicazione lineare biiettiva che a ogni vettore \mathbf{v} di uno spazio vettoriale V finitamente generato associa le sue coordinate rispetto a una base fissata \mathcal{B}_{V} di V.

 

Anche se non l'abbiamo detto in termini espliciti, nel calcolo della matrice associata e per determinare una base del nucleo e dell'immagine, abbiamo fatto ricorso a questo isomorfismo.

 

Ad esempio, nel calcolo della matrice associata a un'applicazione F:V \to W, dopo aver trovato le immagini tramite F dei vettori di una base del dominio, le esprimiamo come combinazione lineare dei vettori di una base del codominio. Ciò equivale a determinare le componenti dei vettori immagine rispetto alla base fissata, cioè a ogni vettore immagine associamo le sue coordinate rispetto a una base scelta, e si otterrebbe lo stesso identico risultato ricorrendo a un isomorfismo coordinato.

 

Volendo essere più espliciti, se V=\mathbb{K}_n[x] e se \mathcal{B}_V è la base canonica di \mathbb{K}_n[x], possiamo considerare l'isomorfismo coordinato

 

\varphi: \mathbb{K}_n[x] \to \mathbb{K}^{n+1}

 

che a ogni vettore (polinomio) di \mathbb{K}_n[x] associa il vettore di \mathbb{K}^{n+1} le cui componenti sono i coefficienti del polinomio. Più esplicitamente

 

\\ \varphi: \mathbb{K}_n[x] \to \mathbb{K}^{n+1} \\ \\ \varphi(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n)= (a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n)

 

Andando al sodo, per determinare la matrice rappresentativa o per calcolare dimensione e base di nucleo e immagine di applicazioni del tipo

 

\\ F_1:\mathbb{K}_n[x] \to W \\ \\ F_2:V \to \mathbb{K}_n[x] \\ \\ F_3:\mathbb{K}_n[x] \to \mathbb{K}_m[x]

 

possiamo usare il precedente isomorfismo coordinato e lavorare, rispettivamente, con le applicazioni

 

\\ \tilde{F}_1:\mathbb{K}^{n+1} \to W \\ \\ \tilde{F}_2:V \to \mathbb{K}^{n+1} \\ \\ \tilde{F}_3:\mathbb{K}^{n+1} \to \mathbb{K}^{m+1}

 

Completato lo studio bisogna però ricordarsi di tornare agli spazi vettoriali iniziali tramite l'isomorfismo inverso

 

\varphi^{-1}: \mathbb{K}^{n+1} \to \mathbb{K}_n[x]

 

Se avete qualche perplessità non disperate! Dopo aver letto il seguente esempio vedrete che tutto risulterà più chiaro. ;)

 

 

Esempio

 

Determinare una base e la dimensione di nucleo e immagine dell'applicazione F:\mathbb{R}_{3}[x] \to \mathbb{R}_2[x] dato da

 

F[p(x)]=p'(x)

 

Svolgimento: riscriviamo la definizione di F in modo equivalente

 

F[a+bx+cx^2+dx^3]=b+2cx+3dx^2

 

Se consideriamo i due isomorfismi coordinati

 

\\ \varphi_1: \mathbb{R}_3[x] \to \mathbb{R}^{4};\ \ \ \varphi_1(a+bx+cx^2+dx^3)=(a,b,c,d) \\ \\ \varphi_2: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^{3}; \ \ \ \varphi_2(a+bx+cx^2)=(a,b,c)

 

possiamo passare a lavorare con l'applicazione \tilde{F}: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 data da

 

\tilde{F}(a,b,c,d)=(b,2c,3d)

 

La matrice associata a \tilde{F} rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio è

 

A_{\tilde{F}}=\begin{pmatrix}0&1&0&0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&0&3\end{pmatrix}

 

Iniziamo dal calcolo di una base dell'immagine prendendo in esame l'insieme formato dalle colonne di A_{\tilde{F}}

 

C=\{(0,0,0), \ (1,0,0), \ (0,2,0), \ (0,0,3)\}

 

ed estraiamone una base.

 

Se si esclude la prima colonna di A_{\tilde{F}} si ottiene un minore non nullo di ordine 3, dunque una base per il sottospazio generato dalle colonne della matrice rappresentativa è

 

\mathcal{B}_{\mbox{Span}(C)}=\{(1,0,0), \ (0,2,0), \ (0,0,3)\}

 

Per risalire a una base di \mbox{Im}(F) dobbiamo ora usare l'isomorfismo inverso

 

\\ \varphi_2^{-1}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_2[x] \\ \\ \varphi_2^{-1}(a,b,c)= a+bx+cx^2

 

e usarlo per calcolare le immagini dei vettori di \mathcal{B}_{\mbox{Span}(C)}

 

\\ \varphi_2^{-1}(1,0,0) = 1 \\ \\ \varphi_2^{-1}(0,2,0) = 2x \\ \\ \varphi_2^{-1}(0,0,3) = 3x^2

 

dunque

 

\mathcal{B}_{\mbox{Im}(F)}=\{1,2x,3x^2\}

 

e la rispettiva dimensione è 3.

 

Di contro, per il teorema delle dimensioni, la dimensione del nucleo di \tilde{F} è 1.

 

\mbox{dim}(\mbox{Ker}(\tilde{F}))=\mbox{dim}(\mathbb{R}^4) - \mbox{dim}(\mbox{Im}(\tilde{F})) = 4 - 3 = 1

 

Calcolarne una base equivale a determinare una base per l'insieme delle soluzioni del sistema

 

\begin{pmatrix}0&1&0&0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \\ t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

 

ossia

 

\begin{cases}0x+1y+0z+0t=0 \\ 0x+0y+2z+0t=0 \\ 0x+0y+0z+3t=0\end{cases} \to \begin{cases} y=0 \\ 2z=0 \\ 3t=0\end{cases}

 

che ammette \infty^1 soluzioni date da

 

(x,y,z,t)=(\lambda,0,0,0) = \lambda(1,0,0,0) \ \ \mbox{ con } \lambda \in \mathbb{R}

 

Una base per il sottospazio delle soluzioni del sistema, e quindi una base del nucleo di \tilde{F} è

 

\mathcal{B}_{Sol}=\mathcal{B}_{\mbox{Ker}(\tilde{F})}=\{(1,0,0,0)\}

 

Per passare a una base per il nucleo di F serviamoci dell'isomorfismo inverso

 

\\ \varphi_1^{-1}: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}_3[x] \\ \\ \varphi_{1}^{-1}(a,b,c,d)=a+bx+cx^2+dx^3

 

e calcoliamo l'immagine tramite tale isomorfismo del vettore di \mathcal{B}_{\mbox{Ker}(\tilde{F})}

 

\varphi^{-1}(1,0,0,0)=1

 

dunque una base del nucleo di F è formata dal polinomio p(x)=1

 

\mathcal{B}_{\mbox{Ker}(F)}=\{1\}

 

 


 

È tutto! In fin dei conti lavorare con applicazioni su spazi di polinomi non è poi la fine del mondo. Basta solo avere delle solide basi di teoria e, soprattutto, fare quanti più esercizi possibile. A tal proposito ne potete trovare tantissimi altri consultando la scheda di esercizi correlata, o al più usando la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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