Omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

In Algebra Lineare il concetto di omomorfismo coincide con quello di applicazione lineare; per intenderci, in questo contesto i termini applicazione lineare e omomorfismo vengono usati come sinonimi.

Nello studio delle trasformazioni lineari si distinguono vari tipi di omomorfismo sulla base delle proprietà di iniettività, suriettività e biiettività della trasformazione considerata; in particolare si introducono i concetti di monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo e automorfismo.

In questa lezione richiameremo il concetto di omomorfismo per poi definire le diverse classi di omomorfismo, elencare le proprietà che le caratterizzano e mostrarvi qualche esempio. Parleremo infine di un'ulteriore famiglia di omomorfismi, definiti su uno spazio vettoriale e a valori nel medesimo spazio vettoriale: gli endomorfismi o operatori lineari.

Definizione di omomorfismo

In Algebra Lineare il concetto di omomorfismo coincide con la nozione di applicazione lineare. Nello specifico, considerati due spazi vettoriali V e W definiti su un campo K e un'applicazione F:V → W, quest'ultima si dice un omomorfismo tra gli spazi vettoriali V e W se gode delle proprietà di additività ed omogeneità:

1) presi due qualsiasi elementi v_1,v_2 di V, l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini

∀ v_1, v_2 ∈ V: F(v_1+v_2) = F(v_1)+F(v_2) (Additività)

2) L'immagine del prodotto tra un qualsiasi elemento v dello spazio V e un qualsiasi scalare λ del campo K è uguale al prodotto tra lo scalare e l'immagine di v

∀ v ∈ V, ∀ λ ∈ K: F(λ v) = λ F(v) (Omogeneità)

Nelle precedenti lezioni abbiamo visto decine di esempi, quindi procediamo riportando le definizioni.

Tipi di omomorfismo: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo e automorfismo

Nell'introdurre i vari tipi di omomorfismo, nel prosieguo della lezione supporremo che F:V → W sia un omomorfismo definito tra due spazi vettoriali V e W su un campo K.

Oltre alle definizioni, per ciascun tipo di omomorfismo riporteremo un esempio e le proprietà che lo caratterizzano, che saranno utili nella risoluzione degli esercizi. A tal proposito prima di procedere è bene tenere a mente il teorema delle dimensioni e sapere come si determinano dimensione e base del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare.

Monomorfismo

Diciamo che F è un monomorfismo se è un omomorfismo iniettivo, cioè se elementi distinti di V mediante F hanno immagini distinte.

∀ v_1, v_2 ∈ V, v_1 ≠ v_2 ⇒ F(v_1) ≠ F(v_2)

Proprietà dei monomorfismi

1) Un monomorfismo ha il nucleo costituito dal solo vettore nullo

F monomorfismo ⇔ Ker(F) = 0

Questa proprietà discende dal teorema, enunciato e dimostrato nella lezione sul nucleo, secondo cui un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale.

2) In un monomorfismo la dimensione dell'immagine uguaglia la dimensione del dominio

F monomorfismo ⇔ dim(Im(F)) = dim(V)

Dal teorema delle dimensioni sappiamo infatti che

dim(V) = dim(Ker(F))+dim(Im(F))

In un monomorfismo il nucleo è banale, ossia ha dimensione 0, e quindi

dim(Im(F)) = dim(V)-dim(Ker(F)) = dim(V)-0 = dim(V)

Esempio di monomorfismo

F: R^2 → R^3 t.c. F(x,y) = (x, 4x-y, 2x+3y)

è un monomorfismo.

Per giungere a tale conclusione possiamo procedere in due modi: calcolare una base del nucleo di F risolvendo il sistema lineare omogeneo

x = 0 ; 4x-y = 0 ; 2x+3y = 0

oppure calcolare la dimensione dell'immagine di F, che è data dal rango di una delle matrici associate all'applicazione F.

Se risolviamo il sistema, ad esempio col metodo di sostituzione, otteniamo la sola soluzione banale

(x,y) = (0,0)

il che ci porta a concludere che Ker(F) = 0 = (0,0).

Se invece optiamo per il calcolo della dimensione dell'immagine è sufficiente scrivere la matrice associata a F rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio

A_F = [1 0 ; 4 -1 ; 2 3]

calcolarne il rango

rk(A_F) = 2

e osservare che è uguale alla dimensione del dominio V = R^2.

Epimorfismo

F è un epimorfismo se è un omomorfismo suriettivo, cioè se ogni elemento del codominio W è l'immagine di un elemento del dominio V.

∀ w ∈ W ∃ v ∈ V t.c. F(v) = w

Proprietà degli epimorfismi

1) In un epimorfismo l'immagine coincide col codominio, e quindi immagine e codominio di F hanno la stessa dimensione.

F epimorfismo ⇔ Im(F) = W

Questa caratteristica è un'immediata conseguenza della definizione di suriettività.

2) Se F è un epimorfismo, la dimensione del dominio è maggiore o al più uguale della dimensione del codominio.

F epimorfismo ⇒ dim(V) ≥ dim(W)

Dal teorema delle dimensioni applicato a un epimorfismo deduciamo infatti che

dim(V) = dim(Ker(F))+dim(Im(F)) = dim(Ker(F))+dim(W)

La dimensione del nucleo è sicuramente maggiore o al più uguale a zero e quindi, necessariamente

dim(V) ≥ dim(W)

Badate bene che non vale il viceversa, ossia non tutte le applicazioni lineari F:V → W tali che dim(V) ≥ dim(W) sono epimorfismi.

Esempio di epimorfismo

La trasformazione lineare F: R^3 → R^2 definita da

F(1,0,0) = (1,2) ; F(0,1,0) = (0,3) ; F(0,0,1) = (4,-1)

è un epimorfismo.

Osserviamo anzitutto che i vettori preimmagine sono gli elementi della base canonica di R^3, dunque F, che è un'applicazione definita definita da immagini di vettori, esiste ed è unica.

Premesso ciò possiamo scrivere la matrice associata rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio

A_F = [1 0 4 ; 2 3 -1]

Il minore di ordine 2 che si estrae da A_F eliminando l'ultima colonna è non nullo

det[1 0 ; 2 3] = 3 ≠ 0

per cui A_F ha rango 2, di conseguenza

dim(Im(F)) = 2 = dim(R^2)

e quindi F è un epimorfismo.

Isomorfismo

F prende il nome di isomorfismo se è un omomorfismo biiettivo, cioè se per ogni vettore w ∈ W esiste un unico elemento del dominio che ha per immagine w.

∀ w ∈ W ∃ ! v ∈ V t.c. F(v) = w

Ovviamente un isomorfismo è sia un monomorfismo che un epimorfismo e, viceversa, se F è sia un monomorfismo che un epimorfismo, allora è un isomorfismo.

Proprietà degli isomorfismi

1) Un isomorfismo trasforma basi in basi, cioè se F:V → W è un isomorfismo allora v_1, v_2, ..., v_n è una base di V se e solo se F(v_1), F(v_2), ..., F(v_n) è una base di W.

Più di una proprietà siamo di fronte a un vero e proprio teorema ed è utile e costruttivo vederne la dimostrazione.

Nella lezione sull'immagine di un'applicazione lineare abbiamo dimostrato che se v_1, v_2, ..., v_n è una base del dominio di un'applicazione lineare F: V → W, allora F(v_1), F(v_2),...,F(v_n) è un sistema di generatori di Im(F), che è un sottospazio di W.

Se F è un isomorfismo, allora Im(F) = W e quindi F(v_1), F(v_2),...,F(v_n) è un sistema di generatori di W. Rimane da provare che sono linearmente indipendenti tra loro, ossia che l'unica n-upla di scalari (α_1, α_2, ..., α_n) tale che

α_1 F(v_1)+α_2 F(v_2)+...+α_nF(v_n) = 0

è la n-upla nulla (α_1,α_2,...,α_n) = (0,0,...,0).

F è un'applicazione lineare, dunque

α_1 F(v_1)+α_2 F(v_2)+...+α_nF(v_n) = 0 ; F(α_1 v_1+α_2v_2+...+α_nv_n) = 0

Dalla linearità dell'applicazione F segue inoltre che

F(0) = 0

e dal momento che F è iniettiva dev'essere, necessariamente,

α_1 v_1+α_2v_2+...+α_nv_n = 0

v_1, v_2, ..., v_n è una base di V, quindi sono linearmente indipendenti, cosicché

α_1 = α_2 = ... = α_n = 0

e da ciò si ha la tesi.

2) Dal precedente teorema segue che in un isomorfismo dominio e codominio hanno la stessa dimensione.

F isomorfismo ⇒ dim(V) = dim(W)

In tale eventualità si dice che V e W sono spazi isomorfi e si scrive V ≃ W.

3) Se F:V → W è un isomorfismo, l'applicazione F è invertibile e F^(-1): W → V è ancora un isomorfismo.

4) Fissate una base per il dominio mathcalB_V e una base per codominio mathcalB_W di un isomorfismo F:V → W, la matrice associata a F rispetto alle basi mathcalB_V e mathcalB_W è invertibile, e la sua inversa è la matrice associata all'applicazione F^(-1):W → V rispetto alle basi mathcalB_W e mathcalB_V

(A_F^(mathcalB_V, mathcalB_W))^(-1) = A_(F^(-1))^(mathcalB_W, mathcalB_V)

Esempio di isomorfismo

Siano V = R^2 e W il seguente sottospazio generato

W = Span((1,0,2), (0,1,3))

L'applicazione lineare F:V → W tale che

F(x,y) = (2x, 3y, 4x+9y)

è un isomorfismo.

Per provarlo scriviamo la matrice A_F associata a F riferita alla base canonica del dominio

mathcalB_V = mathcalC_(R^2) = (1,0), (0,1)

e alla base

mathcalB_W = (1,0,2), (0,1,3)

del codominio.

A tal proposito ricaviamo le immagini tramite F dei vettori di mathcalB_V ed esprimiamole come combinazione lineare degli elementi di mathcalB_W

F(1,0) = (2,0,4) = 2·(1,0,2)+0·(0,1,3) ; F(0,1) = (0,3,9) = 0·(1,0,2)+3·(0,1,3)

dunque

A_F = [2 0 ; 0 3]

Il suo determinante è non nullo, dunque la dimensione dell'immagine è 2

dim(Im(F)) = 2

e uguaglia la dimensione del sottospazio W, il che ci porta a concludere che F è suriettiva.

Infine, dal teorema delle dimensioni si ricava che il nucleo ha dimensione 0

dim(Ker(F)) = dim(V)-dim(Im(F)) = 2-2 = 0

per cui F è anche iniettiva.

Un altro esempio notevole di isomorfismo è il cosiddetto isomorfismo coordinato, che abbiamo richiamato più volte nella risoluzione degli esercizi sulle applicazioni lineari con spazi di matrici e sulle applicazioni lineari su spazi di polinomi.

Endomorfismo o operatore lineare

Un endomorfismo, o un operatore lineare, è un omomorfismo di uno spazio vettoriale in sé, per il quale cioè dominio e codominio coincidono. Si presenta quindi nella forma

F:V → V

dove V è un qualsiasi spazio vettoriale definito su un campo K.

Proprietà degli endomorfismi

Gli endomorfismi godono di una proprietà fondamentale: un endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo.

In altri termini, un endomorfismo è un epimorfismo se e solo se è un monomorfismo, o ancora un endomorfismo è un isomorfismo se e solo se è un monomorfismo oppure un epimorfismo.

Per convincersene è sufficiente ricorrere al teorema delle dimensioni, secondo cui

dim(V) = dim(Ker(F))+dim(Im(F))

di conseguenza se F:V → V è iniettivo, allora dim(Ker(F)) = 0, e quindi

dim(Im(F)) = dim(V)

Poiché V è anche il codominio di F, allora F è suriettiva.

Allo stesso modo, se si assume che F:V → V sia suriettiva, ossia che dim(Im(F)) = dim(V), sempre dal teorema delle dimensioni segue che

dim(Ker(F)) = 0

e quindi F è iniettiva.

Automorfismo

Un automorfismo è un endomorfismo biiettivo; in altri termini, prende il nome di automorfismo un qualsiasi operatore lineare che sia iniettivo e suriettivo.

Esempio di automorfismo

F:R^3 → R^3 t.c. F(x,y,z) = (x, 2y, 3z)

è un automorfismo.

Anzitutto osserviamo che dominio e codominio di F coincidono, e quindi F è un endomorfismo.

Scriviamo la matrice rappresentativa di F riferita alla base canonica di R^3

A_F = [1 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 3]

Siamo di fronte a una matrice diagonale, i cui elementi della diagonale sono tutti non nulli, quindi il suo rango è 3 e tale sarà anche la dimensione dell'immagine di F

dim(Im(F)) = 3 = dim(R^3)

Il teorema delle dimensioni ci permette di asserire che la dimensione del nucleo è zero

dim(Ker(F)) = dim(R^3)-dim(Im(F)) = 3-3 = 0

per cui F è un operatore lineare suriettivo e iniettivo, ossia è un automorfismo.

Tra i vari tipi di omomorfismo quelli che rivestono un maggior interesse in Algebra Lineare sono gli endomorfismi. Sono infatti gli unici per cui si possono ricercare autovalori e autovettori e che quindi si possono diagonalizzare o triangolarizzare. La maggior parte delle prossime lezioni saranno dedicate proprio a essi. ;)

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

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