Omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

In Algebra Lineare il concetto di omomorfismo coincide con quello di applicazione lineare; per intenderci, in questo contesto i termini applicazione lineare e omomorfismo vengono usati come sinonimi.

 

Nello studio delle trasformazioni lineari si distinguono vari tipi di omomorfismo sulla base delle proprietà di iniettività, suriettività e biiettività della trasformazione considerata; in particolare si introducono i concetti di monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo e automorfismo.

 

In questa lezione richiameremo il concetto di omomorfismo per poi definire le diverse classi di omomorfismo, elencare le proprietà che le caratterizzano e mostrarvi qualche esempio. Parleremo infine di un'ulteriore famiglia di omomorfismi, definiti su uno spazio vettoriale e a valori nel medesimo spazio vettoriale: gli endomorfismi o operatori lineari.

 

Definizione di omomorfismo

 

In Algebra Lineare il concetto di omomorfismo coincide con la nozione di applicazione lineare. Nello specifico, considerati due spazi vettoriali V e W definiti su un campo \mathbb{K} e un'applicazione F:V\to W, quest'ultima si dice un omomorfismo tra gli spazi vettoriali V e W se gode delle proprietà di additività ed omogeneità:

 

 

1) presi due qualsiasi elementi \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \mbox{ di } V, l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini

 

\forall \ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V: \ F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=F(\mathbf{v}_1)+F(\mathbf{v}_2) \ \mbox{(Additività)}

 

 

2) L'immagine del prodotto tra un qualsiasi elemento \mathbf{v} dello spazio V e un qualsiasi scalare \lambda del campo \mathbb{K} è uguale al prodotto tra lo scalare e l'immagine di \mathbf{v}

 

\forall \ \mathbf{v} \in V,\ \forall \lambda \in \mathbb{K}: \ F(\lambda \mathbf{v})=\lambda F(\mathbf{v}) \ \mbox{(Omogeneità)}

 

 

Nelle precedenti lezioni abbiamo visto decine di esempi, quindi procediamo riportando le definizioni.

 

Tipi di omomorfismo: monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo e automorfismo

 

Nell'introdurre i vari tipi di omomorfismo, nel prosieguo della lezione supporremo che F:V\to W sia un omomorfismo definito tra due spazi vettoriali V e W su un campo \mathbb{K}.

 

Oltre alle definizioni, per ciascun tipo di omomorfismo riporteremo un esempio e le proprietà che lo caratterizzano, che saranno utili nella risoluzione degli esercizi. A tal proposito prima di procedere è bene tenere a mente il teorema delle dimensioni e sapere come si determinano dimensione e base del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare.

 

Monomorfismo

 

Diciamo che F è un monomorfismo se è un omomorfismo iniettivo, cioè se elementi distinti di V mediante F hanno immagini distinte.

 

\forall \ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V, \ \mathbf{v}_1 \neq \mathbf{v}_2 \Rightarrow F(\mathbf{v}_1) \neq F(\mathbf{v}_2)

 

 

Proprietà dei monomorfismi

 

1) Un monomorfismo ha il nucleo costituito dal solo vettore nullo

 

F\mbox{ monomorfismo} \iff \mbox{Ker}(F)=\{\mathbf{0}\}

 

Questa proprietà discende dal teorema, enunciato e dimostrato nella lezione sul nucleo, secondo cui un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale.

 

 

2) In un monomorfismo la dimensione dell'immagine uguaglia la dimensione del dominio

 

F\mbox{ monomorfismo} \iff \mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=\mbox{dim}(V)

 

Dal teorema delle dimensioni sappiamo infatti che

 

\mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))

 

In un monomorfismo il nucleo è banale, ossia ha dimensione 0, e quindi

 

\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=\mbox{dim}(V)-\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))=\mbox{dim}(V)-0=\mbox{dim}(V)

 

 

Esempio di monomorfismo

 

F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \mbox{ t.c. } F(x,y)=(x, \ 4x-y, \ 2x+3y)

 

è un monomorfismo.

 

Per giungere a tale conclusione possiamo procedere in due modi: calcolare una base del nucleo di F risolvendo il sistema lineare omogeneo

 

\begin{cases}x=0 \\ 4x-y=0 \\ 2x+3y=0\end{cases}

 

oppure calcolare la dimensione dell'immagine di F, che è data dal rango di una delle matrici associate all'applicazione F.

 

Se risolviamo il sistema, ad esempio col metodo di sostituzione, otteniamo la sola soluzione banale

 

(x,y)=(0,0)

 

il che ci porta a concludere che \mbox{Ker}(F)=\{\mathbf{0}\}=\{(0,0)\}.

 

Se invece optiamo per il calcolo della dimensione dell'immagine è sufficiente scrivere la matrice associata a F rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio

 

A_F=\begin{pmatrix}1&0 \\ 4&-1 \\ 2&3\end{pmatrix}

 

calcolarne il rango

 

\mbox{rk}(A_F)=2

 

e osservare che è uguale alla dimensione del dominio V=\mathbb{R}^2.

 

Epimorfismo

 

F è un epimorfismo se è un omomorfismo suriettivo, cioè se ogni elemento del codominio W è l'immagine di un elemento del dominio V.

 

\forall \ \mathbf{w} \in W \ \exists \ \mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } F(\mathbf{v})=\mathbf{w}

 

 

Proprietà degli epimorfismi

 

1) In un epimorfismo l'immagine coincide col codominio, e quindi immagine e codominio di F hanno la stessa dimensione.

 

F\mbox{ epimorfismo} \iff \mbox{Im}(F)=W

 

Questa caratteristica è un'immediata conseguenza della definizione di suriettività.

 

 

2) Se F è un epimorfismo, la dimensione del dominio è maggiore o al più uguale della dimensione del codominio.

 

F\mbox{ epimorfismo} \Rightarrow \mbox{dim}(V) \ge \mbox{dim}(W)

 

Dal teorema delle dimensioni applicato a un epimorfismo deduciamo infatti che

 

\mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(F)) = \mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(W)

 

La dimensione del nucleo è sicuramente maggiore o al più uguale a zero e quindi, necessariamente

 

\mbox{dim}(V) \ge \mbox{dim}(W)

 

Badate bene che non vale il viceversa, ossia non tutte le applicazioni lineari F:V \to W tali che \mbox{dim}(V) \ge \mbox{dim}(W) sono epimorfismi.

 

 

Esempio di epimorfismo

 

La trasformazione lineare F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definita da

 

\\ F(1,0,0)=(1,2) \\ \\ F(0,1,0)=(0,3) \\ \\ F(0,0,1)=(4,-1)

 

è un epimorfismo.

 

Osserviamo anzitutto che i vettori preimmagine sono gli elementi della base canonica di \mathbb{R}^3, dunque F, che è un'applicazione definita definita da immagini di vettori, esiste ed è unica.

 

Premesso ciò possiamo scrivere la matrice associata rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio

 

A_F=\begin{pmatrix}1&0&4 \\ 2&3&-1\end{pmatrix}

 

Il minore di ordine 2 che si estrae da A_F eliminando l'ultima colonna è non nullo

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&3\end{pmatrix} = 3 \neq 0

 

per cui A_F ha rango 2, di conseguenza

 

\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=2=\mbox{dim}(\mathbb{R}^2)

 

e quindi F è un epimorfismo.

 

Isomorfismo

 

F prende il nome di isomorfismo se è un omomorfismo biiettivo, cioè se per ogni vettore \mathbf{w} \in W esiste un unico elemento del dominio che ha per immagine \mathbf{w}.

 

\forall \ \mathbf{w} \in W \ \exists ! \ \mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } F(\mathbf{v})=\mathbf{w}

 

Ovviamente un isomorfismo è sia un monomorfismo che un epimorfismo e, viceversa, se F è sia un monomorfismo che un epimorfismo, allora è un isomorfismo.

 

 

Proprietà degli isomorfismi

 

1) Un isomorfismo trasforma basi in basi, cioè se F:V \to W è un isomorfismo allora \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base di V se e solo se \{F(\mathbf{v}_1), F(\mathbf{v}_2), ..., F(\mathbf{v}_n)\} è una base di W.

 

Più di una proprietà siamo di fronte a un vero e proprio teorema ed è utile e costruttivo vederne la dimostrazione.

 

Nella lezione sull'immagine di un'applicazione lineare abbiamo dimostrato che se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base del dominio di un'applicazione lineare F: V \to W, allora \{F(\mathbf{v}_1), F(\mathbf{v}_2),...,F(\mathbf{v}_n)\} è un sistema di generatori di \mbox{Im}(F), che è un sottospazio di W.

 

Se F è un isomorfismo, allora \mbox{Im}(F)=W e quindi \{F(\mathbf{v}_1), F(\mathbf{v}_2),...,F(\mathbf{v}_n)\} è un sistema di generatori di W. Rimane da provare che sono linearmente indipendenti tra loro, ossia che l'unica n-upla di scalari (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) tale che

 

\alpha_1 F(\mathbf{v}_1)+\alpha_2 F(\mathbf{v}_2)+...+\alpha_nF(\mathbf{v}_n) = \mathbf{0}

 

è la n-upla nulla (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(0,0,...,0).

 

F è un'applicazione lineare, dunque

 

\\ \alpha_1 F(\mathbf{v}_1)+\alpha_2 F(\mathbf{v}_2)+...+\alpha_nF(\mathbf{v}_n) = \mathbf{0}\\ \\ F(\alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_n\mathbf{v}_n) = \mathbf{0}

 

Dalla linearità dell'applicazione F segue inoltre che

 

F(\mathbf{0})=\mathbf{0}

 

e dal momento che F è iniettiva dev'essere, necessariamente,

 

\alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}

 

\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base di V, quindi sono linearmente indipendenti, cosicché

 

\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0

 

e da ciò si ha la tesi.

 

 

2) Dal precedente teorema segue che in un isomorfismo dominio e codominio hanno la stessa dimensione.

 

F\mbox{ isomorfismo} \Rightarrow \mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(W)

 

In tale eventualità si dice che V e W sono spazi isomorfi e si scrive V\simeq W.

 

 

3) Se F:V \to W è un isomorfismo, l'applicazione F è invertibile e F^{-1}: W \to V è ancora un isomorfismo.

 

 

4) Fissate una base per il dominio \mathcal{B}_V e una base per codominio \mathcal{B}_W di un isomorfismo F:V \to W, la matrice associata a F rispetto alle basi \mathcal{B}_V e \mathcal{B}_W è invertibile, e la sua inversa è la matrice associata all'applicazione F^{-1}:W\to V rispetto alle basi \mathcal{B}_W e \mathcal{B}_V

 

\left(A_F^{\mathcal{B}_V, \mathcal{B}_W}\right)^{-1} = A_{F^{-1}}^{\mathcal{B}_W, \mathcal{B}_V}

 

 

Esempio di isomorfismo

 

Siano V=\mathbb{R}^2 e W il seguente sottospazio generato

 

W=\mbox{Span}((1,0,2), \ (0,1,3))

 

L'applicazione lineare F:V \to W tale che

 

F(x,y)=(2x, \ 3y, \ 4x+9y)

 

è un isomorfismo.

 

Per provarlo scriviamo la matrice A_F associata a F riferita alla base canonica del dominio

 

\mathcal{B}_V=\mathcal{C}_{\mathbb{R}^2}=\{(1,0), \ (0,1)\}

 

e alla base

 

\mathcal{B}_W=\{(1,0,2), \ (0,1,3)\}

 

del codominio.

 

A tal proposito ricaviamo le immagini tramite F dei vettori di \mathcal{B}_V ed esprimiamole come combinazione lineare degli elementi di \mathcal{B}_W

 

F(1,0)=(2,0,4)=2 \cdot (1,0,2)+0 \cdot (0,1,3) \\ \\ F(0,1)=(0,3,9)=0 \cdot (1,0,2)+3 \cdot (0,1,3)

 

dunque

 

A_F= \begin{pmatrix}2&0 \\ 0&3\end{pmatrix}

 

Il suo determinante è non nullo, dunque la dimensione dell'immagine è 2

 

\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=2

 

e uguaglia la dimensione del sottospazio W, il che ci porta a concludere che F è suriettiva.

 

Infine, dal teorema delle dimensioni si ricava che il nucleo ha dimensione 0

 

\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))=\mbox{dim}(V)-\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=2-2=0

 

per cui F è anche iniettiva.

 

 

Un altro esempio notevole di isomorfismo è il cosiddetto isomorfismo coordinato, che abbiamo richiamato più volte nella risoluzione degli esercizi sulle applicazioni lineari con spazi di matrici e sulle applicazioni lineari su spazi di polinomi.

 

Endomorfismo o operatore lineare

 

Un endomorfismo, o un operatore lineare, è un omomorfismo di uno spazio vettoriale in sé, per il quale cioè dominio e codominio coincidono. Si presenta quindi nella forma

 

F:V\to V

 

dove V è un qualsiasi spazio vettoriale definito su un campo \mathbb{K}.

 

Proprietà degli endomorfismi

 

Gli endomorfismi godono di una proprietà fondamentale: un endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo.

 

In altri termini, un endomorfismo è un epimorfismo se e solo se è un monomorfismo, o ancora un endomorfismo è un isomorfismo se e solo se è un monomorfismo oppure un epimorfismo.

 

Per convincersene è sufficiente ricorrere al teorema delle dimensioni, secondo cui

 

\mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))

 

di conseguenza se F:V \to V è iniettivo, allora \mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))=0, e quindi

 

\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=\mbox{dim}(V)

 

Poiché V è anche il codominio di F, allora F è suriettiva.

 

Allo stesso modo, se si assume che F:V \to V sia suriettiva, ossia che \mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=\mbox{dim}(V), sempre dal teorema delle dimensioni segue che

 

\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))=0

 

e quindi F è iniettiva.

 

Automorfismo

 

Un automorfismo è un endomorfismo biiettivo; in altri termini, prende il nome di automorfismo un qualsiasi operatore lineare che sia iniettivo e suriettivo.

 

Esempio di automorfismo

 

F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \mbox{ t.c. } F(x,y,z)=(x, \ 2y, \ 3z)

 

è un automorfismo.

 

Anzitutto osserviamo che dominio e codominio di F coincidono, e quindi F è un endomorfismo.

 

Scriviamo la matrice rappresentativa di F riferita alla base canonica di \mathbb{R}^3

 

A_F=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}

 

Siamo di fronte a una matrice diagonale, i cui elementi della diagonale sono tutti non nulli, quindi il suo rango è 3 e tale sarà anche la dimensione dell'immagine di F

 

\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=3=\mbox{dim}(\mathbb{R}^3)

 

Il teorema delle dimensioni ci permette di asserire che la dimensione del nucleo è zero

 

\mbox{dim}(\mbox{Ker}(F))=\mbox{dim}(\mathbb{R}^3)-\mbox{dim}(\mbox{Im}(F))=3-3=0

 

per cui F è un operatore lineare suriettivo e iniettivo, ossia è un automorfismo.

 

 


 

Tra i vari tipi di omomorfismo quelli che rivestono un maggior interesse in Algebra Lineare sono gli endomorfismi. Sono infatti gli unici per cui si possono ricercare autovalori e autovettori e che quindi si possono diagonalizzare o triangolarizzare. La maggior parte delle prossime lezioni saranno dedicate proprio a essi. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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