Definizione di applicazione lineare

Un'applicazione lineare, detta anche trasformazione lineare, mappa lineare o omomorfismo, è una funzione tra spazi vettoriali definiti sullo stesso campo e che conserva le operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare, dove con la parola vettore si intende un elemento di uno spazio vettoriale qualsiasi.

 

È bene considerare questa lezione come una spiegazione propedeutica. Qui daremo la definizione di applicazione lineare, proporremo svariati esempi e vi mostrando come stabilire se una data applicazione è lineare oppure no. L'obiettivo è quello di dare un'idea concreta di cosa caratterizza le trasformazioni lineari e di cosa le contraddistingue da quelle non lineari.

 

Niente paura, dunque. :) Questa è solo la prima di una lunga serie di lezioni in cui avremo modo di trattare questo argomento in ogni sua sfaccettatura.

 

Cos'è un'applicazione lineare?

 

Immaginiamo di avere due spazi vettoriali V e W, entrambi definiti su un campo \mathbb{K}, e sia F una funzione da V in W.

 

F:V\to W

 

F prende il nome di applicazione lineare se soddisfa le seguenti condizioni:

 

- Additività: per ogni \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in V, l'immagine della somma è uguale alla somma delle immagini

 

F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=F(\mathbf{v}_1)+F(\mathbf{v}_2)

 

- Omogeneità: per ogni \mathbf{v} \in V e per ogni \lambda \in \mathbb{K}, l'immagine del prodotto di \mathbf{v} per lo scalare \lambda è uguale al prodotto dello scalare per l'immagine di \mathbf{v}

 

F(\lambda \mathbf{v})=\lambda F(\mathbf{v})

 

Osservazioni sulla definizione di applicazione lineare

 

1) Affinché F: V \to W sia un'applicazione lineare deve soddisfare entrambe le proprietà. Come vedremo nei successivi esempi, esistono applicazioni (non lineari) che soddisfano l'additività ma non l'omogeneità, così come vi sono applicazioni tali da soddisfare la proprietà di omogeneità ma non quella di additività.

 

 

2) Le condizioni di additività e omogeneità di un'applicazione lineare F:V \to W possono essere riassunte in un'unica proprietà, detta condizione di linearità:

 

F: V \to W è un'applicazione lineare se e solo se per ogni \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{K} e per ogni \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in V risulta che:

 

F(\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2) = \lambda_1 F(\mathbf{v}_1)+\lambda_2 F(\mathbf{v}_2)

 

 

3) Se F: V \to W è un'applicazione lineare, dalla proprietà di omogeneità segue che

 

F(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W

 

Per convincersene è sufficiente considerare un elemento \mathbf{v} \in V e lo scalare \lambda=0. Dall'omogeneità dell'applicazione F segue che

 

F(\mathbf{0}_V) = F(0 \mathbf{v}) = 0 F(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W

 

dunque ogni trasformazione lineare manda lo zero nello zero.

 

Tale condizione viene spesso usata come condizione necessaria per verificare la linearità di un'applicazione. In altri termini, se per un'assegnata applicazione F:V \to W si osserva che

 

F(\mathbf{0}_V) \neq \mathbf{0}_W

 

allora si può concludere immediatamente che l'applicazione non è lineare.

 

In caso contrario, cioè se

 

F(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W

 

non si può dire nulla a priori e bisogna procedere con la verifica della condizione di linearità o con la verifica separata delle proprietà di additività e di omogeneità.

 

 

4) Se in un'applicazione lineare lo spazio vettoriale di partenza (o dominio) coincide con lo spazio d'arrivo (o codominio), l'applicazione prende il nome di endomorfismo.

 

Non lasciatevi spaventare da questo nuovo termine: è solo un nome che si assegna alle trasformazioni lineari che hanno lo stesso spazio di partenza e d'arrivo. Come vedremo nelle prossime lezioni, tali applicazioni rivestono un ruolo così importante che hanno meritato un nome che le contraddistinguesse dalle altre.

 

Esempi di applicazioni lineari e non lineari

 

Vediamo una prima manciata di esempi di applicazioni che sono effettivamente lineari e di applicazioni che non sono lineari.

 

Esempio 1

 

L'applicazione F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, definita da

 

F(x)=4x

 

è lineare, infatti è additiva

 

F(x+y)=4(x+y)=4x+4y=F(x)+F(y)

 

e omogenea

 

F(\lambda x) = 4\lambda x = \lambda 4x = \lambda F(x)

 

 

Esempio 2

 

Consideriamo la trasformazione F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definito da

 

F(x,y,z)=(2x+y,3y,z+5)

 

Tale applicazione non è lineare. Per verificarlo si può provare che non soddisfa la condizione di omogeneità o, molto più velocemente, basta osservare che non manda lo zero nello zero.

 

F\left(\mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}\right) = F(0,0,0) = (0+0, 0, 0+5) = (0,0,5) \neq \mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}

 

 

Esempio 3

 

L'applicazione F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 definita da

 

F(x,y)=(x,3y)

 

è lineare. Per dimostrarlo prendiamo

 

\lambda_1,\lambda_2 \in\mathbb{R}\ \ ;\ \ \mathbf{v}_1=(x_1,y_1)\ ,\ \mathbf{v}_2=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2

 

e verifichiamo se F soddisfa la condizione di linearità

 

F(\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2\mathbf{v}_2) = \lambda_1 F(\mathbf{v}_1)+\lambda_2 F(\mathbf{v}_2)

 

Procediamo!

 

F(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2 \mathbf{v}_2) = \\ \\ = F(\lambda_1(x_1,y_1)+\lambda_2(x_2,y_2)) = \\ \\ =F(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2,\ \lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2)=

 

L'applicazione F associa al vettore \mathbf{v}=(x,y) il vettore F(\mathbf{v})=(x,3y), ossia lascia inalterata la prima componente e triplica la seconda, di conseguenza

 

= (\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2,\ 3(\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2)) =

 

Espandiamo tale vettore riscrivendolo opportunamente come somma di due vettori

 

=(\lambda_1 x_1,3\lambda_1 y_1)+(\lambda_2 x_2,3\lambda_2 y_2)=

 

e allo stesso modo per i prodotti con gli scalari

 

=\lambda_1(x_1,3y_1) + \lambda_2(x_2,3y_2) = \\ \\ =\lambda_1 F(x_1,y_1)+\lambda_2 F(x_2,y_2) = \\ \\ = \lambda_1 F(\mathbf{v}_1) + \lambda_2 F(\mathbf{v}_2)

 

Abbiamo così dimostrato che F soddisfa la condizione di linearità e quindi è un'applicazione lineare.

 

 

Esempio 4

 

La trasformazione F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} dato da

 

F(x,y)=x^2+y

 

non è lineare. Per vederlo consideriamo

 

\mathbf{v}_1=(x_1,y_1)\ ,\  \mathbf{v}_2=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2

 

e osserviamo che

 

\\ F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) = \\ \\ =F((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) = \\ \\ =F(x_1+x_2, y_1+y_2) = \\ \\ = (x_1+x_2)^2+(y_1+y_2) = \\ \\ =x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+y_1+y_2

 

Il risultato ottenuto è però diverso dalla somma delle immagini, infatti

 

F(\mathbf{v}_1)+F(\mathbf{v}_2) = \\ \\ =F(x_1,y_1)+F(x_2,y_2) = \\ \\ =(x_1^2+y_1)+(x_2^2+y_2)=\\ \\ =x_1^2+x_2^2+y_1+y_2

 

F non soddisfa la condizione di additività e quindi non è un'applicazione lineare.

 

 

Esempio 5

 

Proviamo a lavorare con lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 3. L'applicazione

 

\\ F:\mathbb{R}_3[x] \to \mathbb{R}_3[x] \\ \\ F(ax+bx^2+cx^3)=bx^2

 

è un endomorfismo.

 

Per averne conferma consideriamo due generici polinomi p_1(x),p_2(x)\in \mathbb{R}_3[x] e due qualsiasi scalari \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{R} e dimostriamo che F verifica la condizione di linearità, ossia che

 

F[\lambda_1 p_1(x)+\lambda_2p_2(x)] = \lambda_1F[p_1(x)]+\lambda_2F[p_2(x)]

 

Procediamo!

 

\\ F[\lambda_1 p_1(x)+\lambda_2p_2(x)] = \\ \\ = F[\lambda_1(a_1x+b_1x^2+c_1x^3) + \lambda_2(a_2x+b_2x^2+c_2x^3)] = \\ \\ = F[\lambda_1a_1x+\lambda_1b_1x^2+\lambda_1c_1x^3 +\lambda_2a_2x+\lambda_2b_2x^2+\lambda_2c_2x^3] = \\ \\ = F[(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2)x+(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2)x^2+(\lambda_1c_1+\lambda_2c_2)x^3]=

 

Per com'è definita l'applicazione F risulta

 

\\ =(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2)x^2 = \\ \\ = \lambda_1b_1x^2+\lambda_2b_2x^2 = \\ \\ = \lambda_1(b_1x^2)+\lambda_2(b_2x^2) = \\ \\ =\lambda_1F[p_1(x)]+\lambda_2F[p_2(x)]

 

Dunque F soddisfa la condizione di linearità, ed essendo lo spazio di partenza uguale a quello d'arrivo possiamo concludere che è un endomorfismo.

 

Come verificare se un'applicazione è lineare

 

In termini pratici, per verificare se un'applicazione è lineare oppure no, si tratta di controllare se essa soddisfa la condizione di linearità o, in alternativa, di stabilire se soddisfa le proprietà di omogeneità e di additività.

 

Come risulta evidente dai precedenti esempi, la verifica è abbastanza meccanica e richiede di utilizzare le operazioni coinvolte: somma di vettori, prodotto di vettori per uno scalare, somma di matrici, prodotto di matrici per uno scalare, somma di polinomi, prodotto di un polinomi per uno scalare, e così via...

 

In termini più espliciti il procedimento da seguire per stabilire se un'applicazione F: V \to W è lineare si basa sui seguenti passaggi:

 

1) si considerano due qualsiasi elementi \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V e due qualsiasi scalari \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{K} e si considera

 

F(\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2)

 

2) si svolgono le varie operazioni algebriche, tenendo sempre ben presente dove si vuole arrivare;

 

3) si tentano eventuali raccoglimenti e riscritture che permettano di arrivare a

 

\lambda_1 F(\mathbf{v}_1) + \lambda_2 F(\mathbf{v}_2)

 

Inoltre è importante ricordare la condizione necessaria zero nello zero: se un'applicazione F:V \to W è tale che

 

F(\mathbf{0}_V) \neq \mathbf{0}_W

 

allora possiamo concludere immediatamente che non è lineare.

 

Dopo aver svolto un certo numero di esercizi, per dimostrare o confutare la presupposta linearità di un'applicazione non dovremo continuare a fare conti su conti. Avremo infatti sviluppato il cosiddetto occhio clinico, o in termini meno metaforici saremo in grado di capire al volo se un'applicazione è lineare oppure no: come avrete modo di interiorizzare in seguito, un'applicazione è lineare se le coordinate del vettore immagine sono polinomi di primo grado senza termine noto.

 

 

Esempi (Controllo linearità "a occhio")

 

A) F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3\ \ ;\ \ F(x,y,z)=(x+2y,x+4z,y-3z)

 

è lineare. Le coordinate del vettore immagine sono infatti polinomi di primo grado senza termine noto.

 

B) F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\ \ ;\ \ F(x,y)=(x+1,3x-2y)

 

non è un'applicazione lineare in quanto la prima coordinata del vettore immagine è un polinomio con termine noto non nullo.

 

C) F:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4\ \ ;\ \ F(x,y,z,w)=(x+3y-z,x+w-4y,zw,x+y)

 

non è lineare perché la terza coordinata del vettore immagine è un polinomio di secondo grado.

 

Applicazioni lineari notevoli

 

Tra le centinaia di applicazioni lineari che si incontrano nel corso degli studi ve ne sono alcune che si ripresentano molto di frequente e che vengono usate sia nella risoluzione di alcuni esercizi che nelle dimostrazioni di alcuni importanti teoremi. Eccole... :)

 

 

Applicazione lineare definita da una matrice

 

Sia A \in Mat(m,n,\mathbb{K}) una matrice con m righe e n colonne a coefficienti nel campo \mathbb{K}.

 

A partire dalla matrice A si costruisce l'applicazione lineare, solitamente indicata con L_A, che ha come spazio di partenza \mathbb{K}^n e come spazio d'arrivo \mathbb{K}^m, e che a un generico vettore colonna \mathbf{x} \in \mathbb{K}^n associa il vettore di \mathbb{K}^m ottenuto dal prodotto riga per colonna tra la matrice A e il vettore \mathbf{x}.

 

In termini espliciti, data una matrice A

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}

 

e un generico vettore colonna con tante componenti quante sono le colonne di A

 

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}

 

allora possiamo considerare l'applicazione lineare L_A: \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m data da

 

L_A(\mathbf{x}):=A\mathbf{x}

 

vale a dire

 

L_A(\mathbf{x})=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}

 

Per saperne di più vi rimandiamo alla lezione sulle applicazioni lineari definite da una matrice.

 

 

Isomorfismo coordinato

 

Sia \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di uno spazio vettoriale V definito su un campo \mathbb{K}.

 

Ogni vettore \mathbf{v} \in V si può quindi scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base \mathcal{B}, ossia per ogni \mathbf{v} \in V esistono gli scalari a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{K} tali che

 

\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

 

Con queste premesse si definisce l'applicazione \varphi_{\mathcal{B}} che a ogni vettore \mathbf{v} \in V associa le sue coordinate rispetto alla base \mathcal{B}

 

\\ \varphi_{\mathcal{B}}:V \to \mathbb{K}^n \\ \\ \varphi_{\mathcal{B}}(\mathbf{v}):=(a_1, a_2, ..., a_n)

 

Questa trasformazione è spesso conosciuta nel nome di isomorfismo coordinato, e come vedremo nel prosieguo delle lezioni sarà utile per risolvere gli esercizi sulle applicazioni lineari in cui gli spazi vettoriali di partenza o d'arrivo sono spazi vettoriali di matrici o di polinomi.

 

 

Trasposizione come applicazione lineare

 

Come ben saprete, a qualsiasi matrice A \in Mat(m,n,\mathbb{K}) possiamo associare la matrice trasposta A^T \in Mat(n,m,\mathbb{K}) ottenuta dallo scambio tra le righe e le colonne di A.

 

La trasposizione può essere pensata come un'applicazione lineare tra spazi di matrici

 

^T: Mat(m,n,\mathbb{K}) \to Mat(n,m,\mathbb{K})\\ \\ ^T: A\mapsto A^T

 

che a ogni matrice associa la sua trasposta.

 

 

Composizione di applicazione

 

Siano F e G due applicazioni lineari tali che lo spazio d'arrivo di F coincida con lo spazio di partenza di G, ossia

 

F:V \to W\ \ ;\ \ G:W \to U

 

Proprio come avviene per le funzioni, possiamo comporre le due applicazioni lineari

 

G \circ F : V \to U

 

L'applicazione composta è una nuova applicazione lineare. Per saperne di più a riguardo vi invitiamo a leggere la pagina dedicata alla composizione di applicazioni lineari.

 

Modi di definire un'applicazione lineare

 

Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n e W uno spazio vettoriale di dimensione m, entrambi definiti sullo stesso campo \mathbb{K}.

 

Un'applicazione lineare F:V \to W può essere definita in uno dei seguenti modi.

 

 

Per generica immagine) In termini espliciti, cioè definendo l'immagine di un generico vettore di V. Ne sono esempi notevoli tutte le applicazioni lineari F:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} che si presentano nella forma generale:

 

F(x_1,x_2,...,x_n) = \left(\sum_{i=1}^n a_{1,i}x_i, \ \sum_{i=1}^n a_{2,i}x_i, \ ..., \ \sum_{i=1}^n a_{m,i} x_i\right)

 

dove ciascuna sommatoria rappresenta una combinazione lineare delle componenti x_1,x_2,...,x_n di un generico vettore di \mathbb{R}^n.

 

 

Mediante una matrice) Attraverso una matrice A \in Mat(m,n,\mathbb{K}). Nella prossima lezione vedremo proprio come si ricava l'espressione esplicita di un'applicazione lineare da una matrice.

 

 

Per immagini di vettori) Mediante le immagini di alcuni vettori di V. Ne è un esempio F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 tale che

 

F(1,0) = (1,0,2) \\ \\ F(0,1)=(2,-1,5)

 

Per quanto concerne questo tipo di applicazioni vi rimandiamo alla lezione sulle applicazioni lineari definite tramite vettori.

 

 


 

 

È tutto! Arrivati a questo punto basta sapere cos'è un'applicazione lineare e aver digerito il metodo per verificare se una trasformazione è lineare. Di tutto il resto ce ne occuperemo dettagliatamente nel seguito. ;)

 

Per il resto sappiate che qui su YouMath potete trovare centinaia di esercizi sulla verifica della linearità di un'applicazione, partendo dalla scheda correlata di esercizi svolti o usando la barra di ricerca interna . ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

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