Forma canonica e forma normale di una forma quadratica

Prende il nome di forma canonica di una forma quadratica una sua rappresentazione mediante un polinomio omogeneo di secondo grado che sia privo di termini misti, mentre viene detta forma normale una rappresentazione mediante un polinomio omogeneo di secondo grado privo di termini misti e tale che tutti i coefficienti dei termini presenti siano 1 o -1.

 

Uno dei problemi più importanti nello studio delle forme quadratiche, definite su uno spazio vettoriale V di dimensione finita, è la ricerca di una base di V rispetto a cui l'espressione della forma quadratica risulti particolarmente semplice. Tali espressioni vengono dette forma canonica e forma normale di una quadratica.

 

In questa lezione vedremo come individuare un cambio di base che permette di ricavare la forma canonica e la forma normale di una forma quadratica. Prima di procedere ci teniamo però a precisare che i concetti di forma canonica e di forma normale di una forma quadratica non sono assoluti, e al termine della spiegazione vi metteremo in guardia sulle differenze che si possono incontrare.

 

Forma canonica di una forma quadratica

 

Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n e sia Q: V → R una forma quadratica.

 

Si dice forma canonica della forma quadratica Q una rappresentazione di Q mediante un polinomio omogeneo di grado 2 privo di termini misti.

 

In altre parole, una forma quadratica Q si rappresenta in forma canonica rispetto a una base mathcalB' di V se risulta

 

Q(v) = λ_1x'_1^2+λ_2x'_2^2+....+λ_nx'_n^2

 

dove λ_1, λ_2, ..., λ_n sono degli scalari e (x_1',x_2',...,x_n') sono le coordinate del vettore v rispetto alla base mathcalB'.

 

L'esistenza di una forma canonica per ogni forma quadratica è garantita dal seguente risultato, detto teorema degli assi principali, e che altro non è se non una riformulazione del teorema spettrale reale.

 

 

Teorema degli assi principali

 

Siano Q: V → R una forma quadratica e A la matrice che la rappresenta rispetto a una determinata base.

 

Esiste allora una base ortonormale mathcalB' formata da autovettori di A rispetto alla quale la forma quadratica si presenta in forma canonica

 

Q(x_1', x_2', ..., x_n') = λ_1 x'_1^2+λ_2x'_2^2+...+λ_nx'_n^2

 

dove (x_1', x_2', ..., x_n') sono le coordinate nella base mathcalB', mentre λ_1, λ_2, ..., λ_n sono gli autovalori della matrice A riportati con la relativa molteplicità algebrica.

 

Riduzione alla forma canonica di una forma quadratica

 

Il teorema degli assi principali, oltre a garantire l'esistenza di una forma canonica per qualsiasi forma quadratica Q, ci dice anche come ricavarla, tant'è vero che i coefficienti λ_1, λ_2, ..., λ_n della forma canonica sono gli autovalori della matrice associata alla forma quadratica.

 

All'atto pratico, per ridurre una forma quadratica Q:V → R^n alla forma canonica è sufficiente calcolare la matrice rappresentativa della forma quadratica, che indichiamo con A.

 

Essendo A una matrice simmetrica ha tutti gli autovalori reali; siano tali autovalori λ_1, λ_2, ..., λ_n riportati con la rispettiva molteplicità algebrica.

 

La forma canonica di Q è

 

Q(x_1', x_2', ..., x_n') = λ_1x'_1^2+λ_2x'_2^2+...+λ_nx'_n^2

 

e la base mathcalB' di V con cui si ricava è una base ortonormale di autovettori di A. Ovviamente i vettori di tale base vanno scritti in un certo ordine, ossia occorre riportare dapprima gli autovettori relativi a λ_1, seguiti da quelli riferiti a λ_2 e così via, fino a λ_n.

 

Esempio sul calcolo della forma canonica di una forma quadratica

 

Scrivere in forma canonica la seguente forma quadratica

 

Q(x_1,x_2,x_3) = x_1^2-2x_2^2+x_3^2+6x_1x_3

 

specificando la base rispetto a cui Q assume tale forma.

 

Svolgimento: scriviamo la matrice A che rappresenta la forma quadratica Q

 

A = [1 0 3 ; 0 -2 0 ; 3 0 1]

 

e calcoliamo gli autovalori della matrice A, dati dagli zeri del polinomio caratteristico

 

 p_A(λ) = det(A-λId_3) = det[[1 0 3 ; 0 -2 0 ; 3 0 1]-[λ 0 0 ; 0 λ 0 ; 0 0 λ ]] = det[1-λ 0 3 ; 0 -2-λ 0 ; 3 0 1-λ] = (-2-λ)[(1-λ)^2-9] = (-2-λ)(1-λ-3)(1-λ+3) = (-2-λ)(-2-λ)(4-λ)

 

Per il calcolo del determinante abbiamo sviluppato la regola di Laplace rispetto alla seconda colonna.

 

Gli autovalori di A riportati con le rispettive molteplicità algebriche sono

 

λ_1 = 4, λ_2 = -2, λ_3 = -2

 

e quindi la forma canonica di Q è

 

 Q(x_1', x_2', x_3') = λ_1x'_1^2+λ_2x'_2^2+λ_3x'_3^2 = 4x'_1^2-2x'_2^2-2x'_3^2

 

L'esercizio chiede anche di specificare la base rispetto a cui Q assume tale forma. Il teorema degli assi principali ci dice che la base cercata è una base ortonormale di autovettori della matrice A.

 

Una base di autovettori di A è data dall'unione delle basi degli autospazi V_(λ_1) = V_(4) e V_(λ_2) = V_(-2).

 

Una base di V_(λ_1) coincide con una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

(A-λ_1 Id_3) x = 0

 

ossia

 

(A-4 Id_3) x = 0

 

dove

 

x = [ x ; y ; z] ; 0 = [ 0 ; 0 ; 0]

 

Scriviamo il sistema lineare in forma esplicita

 

 [[1 0 3 ; 0 -2 0 ; 3 0 1]-[4 0 0 ; 0 4 0 ; 0 0 4 ]][ x ; y ; z] = [ 0 ; 0 ; 0] ; [-3 0 3 ; 0 2 0 ; 3 0 -3][ x ; y ; z] = [ 0 ; 0 ; 0] ; -3x+3z = 0 ; 2y = 0 ; 3x-3z = 0

 

che ammette ∞^1 soluzioni. Per determinarle assegniamo a una incognita il ruolo di parametro libero. Ponendo x = a con a ∈ R, otteniamo

 

(x,y,z) = (a,0,a) = a(1,0,1)

 

Alla luce di ciò, una base di V_(λ_1) è formata dal vettore

 

v_1 = (1,0,1)

 

Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che una base di V_(λ_2) è formata dai vettori

 

v_2 = (-1,0,1), v_3 = (0,1,0)

 

pertanto una base mathcalB di autovettori di A è:

 

mathcalB = v_1,v_2,v_3 = (1,0,1), (-1,0,1), (0,1,0)

 

Dobbiamo, infine, renderla ortonormale. A tal proposito dobbiamo dapprima ortogonalizzarla col processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, per poi ortonormalizzarla dividendo ciascun vettore per la relativa norma.

 

Fortunatamente i tre vettori sono già ortogonali tra loro, infatti

 

v_1·v_2 = v_1·v_3 = v_2·v_3 = 0

 

Inoltre v_3 ha norma 1, dunque ci resta da normalizzare i vettori v_1 e v_2

 

||v_1|| = ||v_2|| = √(2)

 

e quindi la base ortonormale cercata è mathcalB'= v'_1, v'_2, v'_3 con

 

 v'_1 = (v_1)/(||v_1||) = ((1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))) ; v'_2 = (v_2)/(||v_2||) = (-(1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))) ; v'_3 = v_3 = (0,1,0)

 

Forma normale di una forma quadratica

 

Prende il nome di forma normale di una forma quadratica Q una rappresentazione di Q mediante un polinomio omogeneo di grado 2, privo di termini misti e tale che tutti i coefficienti dei termini presenti siano 1 oppure -1.

 

In altri termini, una forma quadratica Q:V → R^n si rappresenta in forma normale rispetto a una base mathcalD di V se risulta

 

Q(v) = x'^2_1+x'^2_2+....+x'^2_r-x'^2_(r+1)-...-x'^2_p

 

dove r, p sono due numeri interi tali che

 

r, p∈N ; 0 ≤ r,p ≤ n ; r+p ≤ n

 

e che rappresentano rispettivamente il numero dei coefficienti uguali a 1 e il numero dei coefficienti uguali a -1. Inoltre, se r+p < n, allora i restanti n-r-p coefficienti sono necessariamente nulli.

 

Riduzione alla forma normale di una forma quadratica

 

Siano Q una forma quadratica assegnata rispetto a una base mathcalB di un R-spazio vettoriale V di dimensione n, e mathcalB' la base ortonormale di autovettori con cui si ottiene la forma canonica

 

Q(v) = λ_1x'_1^2+λ_2x'_2^2+....+λ_nx'_n^2

 

dove, ricordiamo, λ_1, λ_2,...,λ_n sono gli autovalori della matrice associata alla forma quadratica e riportati con la relativa molteplicità algebrica.

 

Indichiamo con r il numero di autovalori positivi e con p il numero di autovalori negativi, così che valgono le condizioni

 

0 ≤ r,p ≤ n ; r+p ≤ n

 

Nulla ci vieta di riordinare i vettori della base mathcalB' facendo in modo che ai primi r vettori siano associati gli autovalori positivi λ_1, λ_2,...λ_r, ai seguenti p vettori corrispondano gli autovalori negativi λ_(r+1), ..., λ_(p), e dunque ai rimanenti n-r-p vettori siano associati gli autovalori nulli.

 

In questo modo la forma canonica della forma quadratica Q assume la forma

 

Q(v) = λ_1 x'_1^2+λ_2x'_2^2+...+λ_rx'_r^2+λ_(r+1)x'_(r+1)^2+...+λ_p x'_p^2 (*)

 

Possiamo ora cambiare ulteriormente base in modo che la rappresentazione di Q sia in forma normale. Detta

 

mathcalB'= v'_1, v'_2, ..., v'_r, v'_(r+1), ..., v'_(p), v'_(p+1), ... v'_(n)

 

la base con cui si ricava la rappresentazione (*), la forma normale di Q si ottiene rispetto alla base mathcalD = u_1, u_2, ..., u_n, dove

 

 u_1 = (1)/(√(λ_1))v_1', u_2 = (1)/(√(λ_2))v_2', ..., u_r = (1)/(√(λ_r))v_r', ; u_(r+1) = (1)/(√(-λ_(r+1)))v_(r+1)', ..., u_p = (1)/(√(-λ_p))v_p', ; u_(p+1) = v'_(p+1), ..., u_n = v'_n

 

Rispetto a tale base la forma assunta da Q è proprio

 

Q(w_1, w_2, ..., w_n) = w_1^2+w_2^2+...+w_r^2-w_(r+1)^2-...-w_p^2

 

dove (w_1, w_2, ..., w_n) sono le coordinate di riferite alla base mathcalD, r è il numero di autovalori positivi di A, e p è il numero di autovalori negativi.

 

La coppia (r,p) prende il nome di segnatura della forma quadratica Q.

 

All'atto pratico, quando viene assegnata una forma quadratica e viene chiesto di calcolare la sua forma normale, ma non la base che la determina, è sufficiente determinare il segno degli autovalori di A applicando la regola di Cartesio al relativo polinomio caratteristico.

 

Esempio sul calcolo della forma normale di una forma quadratica

 

Riprendiamo la forma quadratica del precedente esempio

 

Q(x_1,x_2,x_3) = x_1^2-2x_2^2+x_3^2+6x_1x_3

 

e, questa volta, calcoliamone la forma normale specificando la base con cui Q assume tale forma.

 

Abbiamo già trovato la matrice che rappresenta la forma quadratica

 

A = [1 0 3 ; 0 -2 0 ; 3 0 1]

 

e i relativi autovalori

 

λ_1 = 4, λ_2 = -2, λ_3 = -2

 

Essendoci un autovalore positivo e due negativi, possiamo concludere che la forma normale di Q è

 

Q(x_1',x_2',x_3') = x'_1^2-x'_2^2-x'_3^2

 

Inoltre, la base che realizza la forma canonica di Q è

 

mathcalB'= v'_1,v'_2,v'_3 = ((1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))), (-(1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))), (0,1,0)

 

e quindi la base con cui si ricava la forma normale è mathcalD = u_1, u_2, u_3, con

 

 u_1 = (1)/(√(λ_1))v_1'= (1)/(√(4))((1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))) = (1)/(2)((1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))) = ((1)/(2√(2)), 0 , (1)/(2√(2))) ; u_2 = (1)/(√(-λ_2))v_2'= (1)/(√(-(-2)))(-(1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))) = (1)/(√(2))(-(1)/(√(2)), 0 , (1)/(√(2))) = (-(1)/(2), 0 , (1)/(2)) ; u_3 = (1)/(√(-λ_3))v_3'= (1)/(√(-(-2)))(0,1,0) = (1)/(√(2))(0,1,0) = (0, (1)/(√(2)),0)

 

Osservazioni sulla forma canonica e sulla forma normale di una forma quadratica

 

Concludiamo questa ricca lezione con un paio di osservazioni.

 

1) La forma normale di una forma quadratica è unica, ma non possiamo dire lo stesso per la forma canonica; quest'ultima, infatti, dipende dall'ordine con cui sono scritti i coefficienti del polinomio omogeneo di secondo grado che la individua.

 

2) Ridurre una forma quadratica in forma canonica non è sempre così immediato. Al crescere della dimensione della matrice A associata alla forma quadratica il calcolo degli autovalori diventa sempre più laborioso, senza contare che ci sono polinomi, anche di grado 3, che non sono scomponibili con i metodi elementari. Di contro, la riduzione alla forma normale è immediata, basta infatti avvalersi della regola di Cartesio applicata al polinomio caratteristico di A.

 

Per questo motivo alcuni libri di testo chiamano forma canonica quella che noi abbiamo fin qui assunto come forma normale, mentre altri le distinguono come abbiamo fatto noi.

 

 


 

Ci rendiamo conto che l'argomento non è dei più semplici, soprattutto se trattato da un punto di visto teorico, ma non scoraggiatevi! In fin dei conti più si procede con lo studio, più si toccano argomenti articolati e che richiedono la conoscenza di tutto quello che si è appreso precedentemente, quindi è del tutto normale incontrare qualche difficoltà.

 

Per altri esercizi svolti sulla riduzione alla forma canonica e alla forma normale di una forma quadratica potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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