Segno di una forma quadratica

Lo studio del segno di una forma quadratica consiste nello stabilire se una forma quadratica è definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa o indefinita.

 

In questa terza lezione sulle forme quadratiche ci concentreremo sullo studio del segno. Daremo dapprima le definizioni di forma quadratica definita positiva, definita negativa, semidefinita (positiva o negativa) e indefinita, per poi enunciare due criteri utili per determinare il segno di una forma quadratica.

 

Entrambi i metodi proposti si basano sul calcolo della matrice associata alla forma quadratica, di cui abbiamo parlato nella precedente lezione, dunque se non ricordate come fare vi consigliamo di fare un ripasso prima di procedere.

 

Forme quadratiche definite positive, negative, semidefinite e indefinite

 

Cominciamo con le definizioni. Supponiamo di lavorare in uno spazio vettoriale V finitamente generato su \mathbb{R}, su cui è stata definita una forma bilineare simmetrica (o un prodotto scalare) \varphi: V \times V \to \mathbb{R}, e sia

 

Q: V \to \mathbb{R} \ \ ;\ \ Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v})

 

la forma quadratica associata a \varphi. Diciamo che Q è:

 

- definita positiva se l'immagine di ogni vettore non nullo mediante la forma quadratica è positiva

 

Q(\mathbf{v})>0\ \ \forall\ \mathbf{v} \in V,\ \mathbf{v} \neq \mathbf{0}

 

 

- definita negativa se l'immagine di ogni vettore non nullo mediante la forma quadratica è negativa:

 

Q(\mathbf{v})<0\ \ \forall\ \mathbf{v} \in V,\ \mathbf{v} \neq \mathbf{0}

 

 

- semidefinita positiva se la forma quadratica è a valori non negativi:

 

Q(\mathbf{v})\ge 0\ \ \forall\ \mathbf{v} \in V

 

 

- semidefinita negativa se la forma quadratica è a valori non positivi:

 

Q(\mathbf{v})\le 0\ \ \forall\ \mathbf{v} \in V

 

 

- indefinita se esistono due vettori le cui immagini mediante la forma quadratica sono discordi:

 

\exists \ \mathbf{v},\mathbf{w} \in V \mbox{ t.c. } Q(\mathbf{v})>0,\ Q(\mathbf{w})<0

 

 

Esempi sul segno delle forme quadratiche

 

1) Q(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2

 

è una forma quadratica definita positiva, infatti il polinomio omogeneo di secondo grado che la definisce è una somma di quattro quadrati, che è sicuramente positiva ed è nulla se e soltanto se x_1=x_2=x_3=x_4=0.

 

Abbiamo così dimostrato che per ogni \mathbf{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 e diverso dal vettore nullo, Q(\mathbf{v})>0 e quindi Q è definita positiva.

 

 

2) Q(x_1,x_2,x_3)=-2x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2

 

è una forma quadratica definita negativa. Per giungere a questa conclusione è sufficiente riscrivere opportunamente i termini del polinomio che la definisce per giungere a una somma di quadrati

 

\\ -2x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2=-x_1^2-x_1^2-x_2^2+2x_1x_2-x_3^2= \\ \\ =-(x_1^2+x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+x_3^2)= -[x_1^2+(x_1-x_2)^2+x_3^2]

 

Osserviamo ora che x_1^2+(x_1-x_2)^2+x_3^2 è una quantità non negativa, e quindi

 

Q(x_1,x_2,x_3)=-[x_1^2+(x_1-x_2)^2+x_3^2] \le 0

 

Inoltre

 

Q(x_1,x_2,x_3)=0\ \ \iff\ \ x_1^2+(x_1-x_2)^2+x_3^2=0

 

il che implica che dev'essere

 

x_1=x_1-x_2=x_3=0

 

La precedente catena di uguaglianze è soddisfatta se e solo se x_1=x_2=x_3=0, dunque l'unico vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 tale che Q(\mathbf{v})=0 è il vettore nullo.

 

Abbiamo così dimostrato che per ogni \mathbf{v}=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 con \mathbf{v} \neq \mathbf{0} risulta che Q(\mathbf{v})<0, e quindi la forma quadratica in esame è definita negativa.

 

Studio del segno di una forma quadratica

 

Il precedente esempio mostra che studiare il segno di una forma quadratica con il solo ausilio delle definizioni non è sempre immediato, e vi sono tantissimi casi in cui è ancora più complicato.

 

Per risolvere gli esercizi in cui è richiesto di determinare il segno di una forma quadratica Q possiamo procedere nel modo seguente:

 

1) determinare la matrice simmetrica A associata alla forma quadratica;

 

2) studiare la definitezza della matrice A mediante i segni dei suoi autovalori.

 

Ricordiamo infatti che una matrice simmetrica è:

 

- definita positiva, se i suoi autovalori sono positivi;

 

- definita negativa, se i suoi autovalori sono negativi;

 

- semidefinita positiva, se i suoi autovalori sono non negativi;

 

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se un autovalore è nullo e i rimanenti sono non negativi;

 

- semidefinita negativa, se i suoi autovalori sono non positivi;

 

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se un autovalore è nullo e i rimanenti sono non positivi;

 

- indefinita, se esistono almeno due autovalori di segno discorde.

 

Supponendo che A abbia ordine n, gli autovalori di A sono gli zeri del polinomio caratteristico, definito come

 

p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_n)

 

dove \lambda è una variabile, \mbox{Id}_n è la matrice identità di ordine n e \mbox{det} indica il determinante di una matrice.

 

Svolgendo il calcolo del determinante si ricade in un polinomio a coefficienti reali di grado n della forma

 

p_A(\lambda)=a_n\lambda^n+ a_{n-1}\lambda^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0

 

e che ha tutte le radici reali. Per chi non se lo ricordasse, nella lezione sugli endomorfismi simmetrici abbiamo dimostrato che gli autovalori di una matrice simmetrica, e quindi gli zeri del polinomio caratteristico a essa associato, sono tutti reali.

 

Dal momento che siamo interessati solo al segno degli autovalori e non al loro valore numerico, per risalire al segno degli autovalori si può usare la regola di Cartesio, secondo cui:

 

- se il termine noto di p_A(\lambda) è diverso da zero, il polinomio non ha radici nulle e ha tante radici positive, contate con la rispettiva molteplicità, quante sono le variazioni di segno nella successione dei coefficienti non nulli del polinomio. Il numero delle radici negative è dato dalla differenza tra il grado del polinomio e il numero delle radici positive.

 

- Se il termine noto è nullo si raccoglie un certo \lambda^k con 1 \le k \le n, ottenendo un polinomio della forma

 

p_A(\lambda)=\lambda^k(\mbox{polinomio di grado } n-k \mbox{ con termine noto diverso da zero})

 

In questo caso \lambda_0= 0 è un autovalore di A con molteplicità k, il numero delle radici positive uguaglia il numero delle variazioni di segno nella successione dei coefficienti non nulli del polinomio di grado n-k, e il numero delle radici negative si ottiene sottraendo a n-k il numero delle radici positive.

 

Un metodo alternativo per lo studio del segno prevede di scrivere la matrice A associata alla forma quadratica e di applicare il criterio di Sylvester, che ricorre allo studio del segno di alcuni particolari minori della matrice A e che trovate spiegato nella lezione sullo studio della definitezza di una matrice.

 

Esempi sullo studio del segno di una forma quadratica

 

1) Determinare il segno della forma quadratica

 

Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_2^2+x_3^2+6x_1x_3

 

Svolgimento: la matrice A associata alla forma quadratica è

 

A=\begin{pmatrix}1&0&3 \\ 0&-2&0 \\ 3&0&1\end{pmatrix}

 

Per chi avesse dubbi in merito ricordiamo che A=(a_{ij}) è la matrice i cui elementi a_{ii} sulla diagonale principale sono i coefficienti di x_i^2, mentre gli elementi di posto a_{ij} con  i<j, sono i coefficienti dimezzati di x_ix_j. I restanti elementi si ricavano per simmetria.

 

Calcoliamo il polinomio caratteristico associato ad A ricorrendo allo sviluppo di Laplace:

 

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \mbox{det}\left[\begin{pmatrix}1&0&3 \\ 0&-2&0 \\ 3&0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda &0&0 \\ 0&\lambda &0 \\ 0&0&\lambda \end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda&0&3 \\ 0&-2-\lambda&0 \\ 3&0&1-\lambda\end{pmatrix}=(-2-\lambda)[(1-\lambda)^2-9] = \\ \\ \\ = (-2-\lambda)(1-2\lambda+\lambda^2-9)=(-2-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-8)= \\ \\ = (-2-\lambda)^2(4-\lambda)

 

Gli autovalori di A sono \lambda_0=-2,\ \lambda_1=-2,\ \lambda_2=4, da cui deduciamo che la forma quadratica è indefinita.

 

 

2) Studiare il segno della forma quadratica

 

Q(x_1, x_2, x_3) = 4x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3

 

Svolgimento: la matrice rappresentativa è

 

A=\begin{pmatrix}4&1&1 \\ 1&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}

 

il cui polinomio caratteristico è dato da

 

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \mbox{det}\begin{pmatrix}4-\lambda&1&1 \\ 1&1-\lambda&0 \\ 1&0&1-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ = -\lambda^3+6\lambda^2-7\lambda+2

 

Osserviamo che

 

p_A(\lambda)=-\lambda^3+6\lambda^2-7\lambda+2

 

ha termine noto non nullo e che tra un coefficiente e il successivo vi sono 3 variazioni di segno. In forza della regola di Cartesio concludiamo che i tre autovalori di A sono positivi, e dunque Q è una forma quadratica definita positiva.

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui, ma vi invitiamo a non perdere la prossima lezione, dove vedremo come calcolare forma canonica e forma normale di una forma quadratica. Per tutto il resto - approfondimenti, esempi e tonnellate di esercizi svolti - non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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