Matrice associata a una forma quadratica

La matrice associata a una forma quadratica è una matrice simmetrica a coefficienti reali che permette di studiare il segno della forma quadratica che rappresenta, e che consente di risalire alla sua forma canonica e alla relativa forma normale.

 

Eccoci alla seconda lezione dedicata alle forme quadratiche: in precedenza abbiamo visto cos'è e come si definisce una forma quadratica a partire da una forma bilineare simmetrica (prodotto scalare). Qui, invece, definiremo la nozione di matrice rappresentativa di una forma quadratica spiegando come si determina e proponendo qualche esempio.

 

A seguire analizzeremo il caso contrario e vi mostreremo come risalire alla forma esplicita di una forma quadratica a partire da una matrice simmetrica a coefficienti reali.

 

Definizione di matrice associata a una forma quadratica

 

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su \mathbb{R}, sia \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una sua base e sia \varphi: V \times V \to \mathbb{R} una forma bilineare simmetrica su V, ossia un prodotto scalare su V.

 

Consideriamo la forma quadratica associata a \varphi

 

Q: V \to \mathbb{R} \ \ ;\ \ Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v})

 

Si dice matrice associata alla forma quadratica Q quella matrice A \in Mat(n,n,\mathbb{R}) tale che

 

Q(\mathbf{v}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}

 

dove \mathbf{x} è il vettore colonna delle coordinate di \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}.

 

La matrice rappresentativa di una forma quadratica coincide con la matrice associata al prodotto scalare che la definisce e riferita alla base \mathcal{B}, infatti come osservato nella precedente lezione

 

Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = \sum_{i,j=1}^{n} x_ix_j \varphi(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)

 

dove (x_1, x_2, ..., x_n) sono le coordinate del vettore \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}.

 

Ricordiamo ora che \varphi(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j) è l'elemento di posto (i,j) della matrice A=(a_{ij}) che rappresenta il prodotto scalare \varphi rispetto alla base \mathcal{B}, dunque

 

Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = \sum_{i,j=1}^{n} x_ix_j \varphi(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j) = \sum_{i,j=1}^{n} x_ix_j a_{ij} = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}

 

Abbiamo così dimostrato che

 

A_{\mathcal{B}}(Q)=A_{\mathcal{B}}(\varphi)

 

cioè che, fissata una base \mathcal{B} di V, la matrice rappresentativa di una forma quadratica è uguale alla matrice associata alla sua forma polare.

 

Avendo dimostrato che matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi differenti sono matrici congruenti, possiamo affermare che anche le matrici associate a una stessa forma quadratica sono congruenti.

 

Come calcolare la matrice associata a una forma quadratica

 

All'atto pratico determinare la matrice rappresentativa di una forma quadratica è un gioco da ragazzi.

 

Supponiamo che \mathcal{B} sia una base di V, spazio vettoriale su \mathbb{R} di dimensione n, e sia

 

Q(\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^{n} q_{ij}x_ix_j

 

una forma quadratica, dove (x_1, x_2, ..., x_n) sono le coordinate di \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}.

 

La matrice rappresentativa di Q e riferita alla base \mathcal{B} è quella matrice simmetrica A=(a_{ij}) \in Mat(n,n,\mathbb{R}) tale che

 

\\ a_{ii} = q_{ii} \\ \\ a_{ij}=a_{ji}=\frac{q_{ij}}{2}

 

Per intenderci, la matrice che rappresenta una forma quadratica Q ha sulla diagonale principale i coefficienti dei termini x_i^2, mentre l'elemento di posto a_{ij} con i<j è il coefficiente dimezzato di x_ix_j. Gli elementi a_{ij} con i>j si ricavano per simmetria.

 

Se ancora non fosse chiaro, per costruire la matrice associata a una forma quadratica si può utilizzare il seguente schema

 

\begin{array}{c|cccc} & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \cline{1-5} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}

 

che va completato ad incrocio riportando gli elementi che occupano la diagonale principale, ossia i coefficienti di x_ix_i, così come sono, e dimezzando tutti gli altri.

 

Nota bene: se non viene specificato diversamente, la base \mathcal{B} rispetto alla quale viene assegnata una forma quadratica è la base canonica di \mathbb{R}^n.

 

 

Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di una forma quadratica

 

1) Calcolare la matrice rappresentativa della forma quadratica

 

Q(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2+2x_2^2-x_3^2+4x_1x_3+6x_2x_3

 

Svolgimento: la matrice rappresentativa A è una matrice simmetrica di ordine 3, ossia

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

 

L'elemento a_{11} è il coefficiente di x_1^2, ossia a_{11}=3.

 

a_{22} è il coefficiente di x_2^2, dunque a_{22}=2.

 

a_{33} è il coefficiente di x_3^2, quindi a_{33}=-1.

 

a_{1 2} è la metà del coefficiente di x_1x_2, che è 0.

 

a_{13} è la metà del coefficiente di x_1x_3, pertanto a_{13}=\frac{4}{2}=2.

 

a_{23} è la metà del coefficiente di x_2x_3, per cui a_{23}=\frac{6}{2}=3.

 

In definitiva

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&0&2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2&3&-1\end{pmatrix}

 

 

2) Determinare la matrice associata alla forma quadratica

 

Q(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1^2+3x_2^2-5x_4^2+4x_1x_2-6x_2x_3+2x_1x_4-8x_3x_4

 

Svolgimento: procedendo come nell'esempio precedente, o avvalendovi dello schemino

 

\begin{array}{c|cccc} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \cline{1-5} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}

 

lasciamo a voi il compito di verificare che

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & -4 \\ 1 & 0 & -4 & -5\end{pmatrix}

 

Forma quadratica definita da una matrice simmetrica

 

Capita spesso di trovarsi di fronte ad esercizi in cui viene chiesto di determinare l'espressione esplicita di una forma quadratica a partire da una matrice simmetrica.

 

Nulla di più semplice: se A \in Mat(n,n,\mathbb{R}) è una matrice simmetrica di ordine n, l'espressione esplicita della forma quadratica riferita ad A è

 

Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}

 

dove \cdot denota il prodotto tra matrici e (x_1, x_2, ..., x_n) sono le componenti di un generico vettore di \mathbb{R}^n riferite alla base canonica.

 

 

Esempio sul calcolo della forma esplicita di una forma quadratica

 

Determinare la forma esplicita della forma quadratica riferita alla matrice

 

A=\begin{pmatrix}3&0&-2 \\ 0&1&1 \\ -2&1&4\end{pmatrix}

 

Svolgimento: consideriamo il generico vettore (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3.

 

La forma quadratica definita dalla matrice simmetrica A è data da

 

\\ Q(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix} \cdot A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}3&0&-2 \\ 0&1&1 \\ -2&1&4\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix} 3x_1-2x_3 & x_2+x_3 & -2x_1+x_2+4x_3 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (3x_1-2x_3)x_1 + (x_2+x_3)x_2+ (-2x_1+x_2+4x_3)x_3 = \\ \\ = 3x_1^2-2x_1x_3+x_2^2+x_2x_3-2x_1x_3+x_2x_3+4x_3^2 = \\ \\ = 3x_1^2+x_2^2+4x_3^2-4x_1x_3+2x_2x_3

 

Per verificare la correttezza del risultato lasciamo a voi il compito di calcolare la matrice rappresentativa della forma quadratica così ricavata, e di verificare che coincide effettivamente con A.

 

 


 

Per quanto possa apparire semplice vi consigliamo di non sottovalutare questo argomento, perché è alla base delle prossime lezioni. Nella successiva vedremo come si definisce e come si studia il segno di un forma quadratica, per poi mostrare come si ricavano forma canonica e forma normale di una forma quadratica.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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