Matrice associata a una forma quadratica

La matrice associata a una forma quadratica è una matrice simmetrica a coefficienti reali che permette di studiare il segno della forma quadratica che rappresenta, e che consente di risalire alla sua forma canonica e alla relativa forma normale.

Eccoci alla seconda lezione dedicata alle forme quadratiche: in precedenza abbiamo visto cos'è e come si definisce una forma quadratica a partire da una forma bilineare simmetrica (prodotto scalare). Qui, invece, definiremo la nozione di matrice rappresentativa di una forma quadratica spiegando come si determina e proponendo qualche esempio.

A seguire analizzeremo il caso contrario e vi mostreremo come risalire alla forma esplicita di una forma quadratica a partire da una matrice simmetrica a coefficienti reali.

Definizione di matrice associata a una forma quadratica

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su R, sia mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n una sua base e sia φ: V×V → R una forma bilineare simmetrica su V, ossia un prodotto scalare su V.

Consideriamo la forma quadratica associata a φ

Q: V → R ; Q(v) = φ(v, v)

Si dice matrice associata alla forma quadratica Q quella matrice A ∈ Mat(n,n,R) tale che

Q(v) = x^T A x

dove x è il vettore colonna delle coordinate di v rispetto alla base mathcalB.

La matrice rappresentativa di una forma quadratica coincide con la matrice associata al prodotto scalare che la definisce e riferita alla base mathcalB, infatti come osservato nella precedente lezione

Q(v) = φ(v, v) = Σ_(i,j = 1)^(n) x_ix_j φ(v_i, v_j)

dove (x_1, x_2, ..., x_n) sono le coordinate del vettore v rispetto alla base mathcalB.

Ricordiamo ora che φ(v_i, v_j) è l'elemento di posto (i,j) della matrice A = (a_(ij)) che rappresenta il prodotto scalare φ rispetto alla base mathcalB, dunque

Q(v) = φ(v, v) = Σ_(i,j = 1)^(n) x_ix_j φ(v_i, v_j) = Σ_(i,j = 1)^(n) x_ix_j a_(ij) = x^T A x

Abbiamo così dimostrato che

A_(mathcalB)(Q) = A_(mathcalB)(φ)

cioè che, fissata una base mathcalB di V, la matrice rappresentativa di una forma quadratica è uguale alla matrice associata alla sua forma polare.

Avendo dimostrato che matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi differenti sono matrici congruenti, possiamo affermare che anche le matrici associate a una stessa forma quadratica sono congruenti.

Come calcolare la matrice associata a una forma quadratica

All'atto pratico determinare la matrice rappresentativa di una forma quadratica è un gioco da ragazzi.

Supponiamo che mathcalB sia una base di V, spazio vettoriale su R di dimensione n, e sia

Q(v) = Σ_(i,j = 1)^(n) q_(ij)x_ix_j

una forma quadratica, dove (x_1, x_2, ..., x_n) sono le coordinate di v rispetto alla base mathcalB.

La matrice rappresentativa di Q e riferita alla base mathcalB è quella matrice simmetrica A = (a_(ij)) ∈ Mat(n,n,R) tale che

a_(ii) = q_(ii) ; a_(ij) = a_(ji) = (q_(ij))/(2)

Per intenderci, la matrice che rappresenta una forma quadratica Q ha sulla diagonale principale i coefficienti dei termini x_i^2, mentre l'elemento di posto a_(ij) con i < j è il coefficiente dimezzato di x_ix_j. Gli elementi a_(ij) con i > j si ricavano per simmetria.

Se ancora non fosse chiaro, per costruire la matrice associata a una forma quadratica si può utilizzare il seguente schema

beginarrayc|cccc x_1 x_2 ··· x_n ; cline1−5 x_1 ; x_2 ; ⋮ ; x_n endarray

che va completato ad incrocio riportando gli elementi che occupano la diagonale principale, ossia i coefficienti di x_ix_i, così come sono, e dimezzando tutti gli altri.

Nota bene: se non viene specificato diversamente, la base mathcalB rispetto alla quale viene assegnata una forma quadratica è la base canonica di R^n.

Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di una forma quadratica

1) Calcolare la matrice rappresentativa della forma quadratica

Q(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2+2x_2^2−x_3^2+4x_1x_3+6x_2x_3

Svolgimento: la matrice rappresentativa A è una matrice simmetrica di ordine 3, ossia

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)]

L'elemento a_(11) è il coefficiente di x_1^2, ossia a_(11) = 3.

a_(22) è il coefficiente di x_2^2, dunque a_(22) = 2.

a_(33) è il coefficiente di x_3^2, quindi a_(33) = −1.

a_(1 2) è la metà del coefficiente di x_1x_2, che è 0.

a_(13) è la metà del coefficiente di x_1x_3, pertanto a_(13) = (4)/(2) = 2.

a_(23) è la metà del coefficiente di x_2x_3, per cui a_(23) = (6)/(2) = 3.

In definitiva

A = [a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(12) a_(22) a_(23) ; a_(13) a_(23) a_(33)] = [ 3 0 2 ; 0 2 3 ; 2 3 −1]

2) Determinare la matrice associata alla forma quadratica

Q(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1^2+3x_2^2−5x_4^2+4x_1x_2−6x_2x_3+2x_1x_4−8x_3x_4

Svolgimento: procedendo come nell'esempio precedente, o avvalendovi dello schemino

beginarrayc|cccc x_1 x_2 x_3 x_4 ; cline1−5 x_1 ; x_2 ; x_3 ; x_4 endarray

lasciamo a voi il compito di verificare che

A = [ 1 2 0 1 ; 2 3 −3 0 ; 0 −3 0 −4 ; 1 0 −4 −5]

Forma quadratica definita da una matrice simmetrica

Capita spesso di trovarsi di fronte ad esercizi in cui viene chiesto di determinare l'espressione esplicita di una forma quadratica a partire da una matrice simmetrica.

Nulla di più semplice: se A ∈ Mat(n,n,R) è una matrice simmetrica di ordine n, l'espressione esplicita della forma quadratica riferita ad A è

Q(x_1, x_2, ..., x_n) = [ x_1 x_2 ··· x_n]·A·[ x_1 ; x_2 ; ⋮ ; x_n]

dove · denota il prodotto tra matrici e (x_1, x_2, ..., x_n) sono le componenti di un generico vettore di R^n riferite alla base canonica.

Esempio sul calcolo della forma esplicita di una forma quadratica

Determinare la forma esplicita della forma quadratica riferita alla matrice

A = [3 0 −2 ; 0 1 1 ;−2 1 4]

Svolgimento: consideriamo il generico vettore (x_1,x_2,x_3) ∈ R^3.

La forma quadratica definita dalla matrice simmetrica A è data da

Q(x_1, x_2, x_3) = [ x_1 x_2 x_3]·A·[ x_1 ; x_2 ; x_3] = [ x_1 x_2 x_3] [3 0 −2 ; 0 1 1 ;−2 1 4] [ x_1 ; x_2 ; x_3] = [ 3x_1−2x_3 x_2+x_3 −2x_1+x_2+4x_3 ] [ x_1 ; x_2 ; x_3] = (3x_1−2x_3)x_1+(x_2+x_3)x_2+(−2x_1+x_2+4x_3)x_3 = 3x_1^2−2x_1x_3+x_2^2+x_2x_3−2x_1x_3+x_2x_3+4x_3^2 = 3x_1^2+x_2^2+4x_3^2−4x_1x_3+2x_2x_3

Per verificare la correttezza del risultato lasciamo a voi il compito di calcolare la matrice rappresentativa della forma quadratica così ricavata, e di verificare che coincide effettivamente con A.

Per quanto possa apparire semplice vi consigliamo di non sottovalutare questo argomento, perché è alla base delle prossime lezioni. Nella successiva vedremo come si definisce e come si studia il segno di un forma quadratica, per poi mostrare come si ricavano forma canonica e forma normale di una forma quadratica.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

Tags: matrice associata a una forma quadratica - forma esplicita di una forma quadratica da una matrice.

Ultima modifica: