Forme quadratiche

Una forma quadratica è una funzione definita su uno spazio vettoriale reale e a valori nel campo dei numeri reali, che si presenta sotto forma di polinomio omogeneo di secondo grado. Da qui per l'appunto deriva la scelta del nome forma quadratica.

 

In questa lezione vedremo come si definisce la forma quadratica associata a una forma bilineare simmetrica (ossia a un prodotto scalare), dopodiché proporremo qualche esempio e spiegheremo come si determina la forma polare di una forma quadratica, ossia come si ottiene la forma bilineare simmetrica che definisce una forma quadratica a partire dalla forma quadratica stessa.

 

Vi anticipiamo che questa è solo la prima di quattro lezioni dedicate a questo argomento. Nelle successive vedremo:

 

- come si determina la matrice associata a una forma quadratica;

 

- come definire il segno di una forma quadratica;

 

- cosa sono e come si determinano la forma canonica e la forma normale di una forma quadratica.

 

Definizione di forma quadratica

 

Siano V uno spazio vettoriale reale e \varphi: V \times V \to \mathbb{R} una forma bilineare simmetrica su V, ossia un prodotto scalare su V.

 

Prima di procedere, onde evitare spiacevoli equivoci, sappiate che da qui in poi useremo indistintamente i termini forma bilineare simmetrica e prodotto scalare.

 

Si dice forma quadratica associata a \varphi l'applicazione da V in \mathbb{R} che a ogni vettore \mathbf{v} \in V associa \varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v})

 

\\ Q: V \to \mathbb{R} \\ \\ Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v})

 

 

Esempi di forme quadratiche

 

1) Siano V=\mathbb{R}^2 e \cdot il prodotto scalare canonico, ossia

 

\\ \cdot: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \\ \\ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1w_1+v_2w_2

 

La forma quadratica associata a \cdot è Q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, e in accordo con la definizione per ogni \mathbf{v}=(v_1,v_2) \in \mathbb{R}^2:

 

Q(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2+v_2^2

 

 

2) Prendiamo V=\mathbb{R}^3 e sia \varphi la forma bilineare simmetrica così definita

 

\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 2v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1-v_2w_2-v_3w_3

 

La forma quadratica riferita a \varphi è l'applicazione Q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} tale che per ogni \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) \in \mathbb{R}^3:

 

\\ Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = 2v_1v_1+v_1v_2+v_2v_1-v_2v_2-v_3v_3= \\ \\ = 2v_1^2+2v_1v_2-v_2^2-v_3^2

 

Forme quadratiche come polinomi omogenei di secondo grado

 

Consideriamo uno spazio vettoriale V su \mathbb{R} di dimensione finita, e siano \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V e \varphi una forma bilineare simmetrica su V.

 

Per ogni \mathbf{v} \in V, la forma quadratica Q(\mathbf{v}) associata a \varphi si esprime mediante un polinomio omogeneo di grado 2 nelle coordinate del vettore \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}.

 

Per convincersene basta considerare un qualsiasi vettore \mathbf{v} \in V che, in quanto tale, si può esprimere come combinazione lineare dei vettori della base \mathcal{B}. Esistono infatti x_1, x_2, ..., x_n \in \mathbb{R} tali che

 

\mathbf{v}=x_1\mathbf{v}_1+x_2 \mathbf{v}_2+...+x_n \mathbf{v}_n

 

di conseguenza

 

Q(\mathbf{v}) := \varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = \\ \\ = \varphi(x_1\mathbf{v}_1+x_2 \mathbf{v}_2+...+x_n \mathbf{v}_n , \ x_1\mathbf{v}_1+x_2 \mathbf{v}_2+...+x_n \mathbf{v}_n)=

 

per la linearità della forma bilineare rispetto alla prima componente

 

\\ =x_1 \varphi(\mathbf{v}_1, \ x_1\mathbf{v}_1+x_2 \mathbf{v}_2+...+x_n \mathbf{v}_n)+\\ \\ +x_2\varphi(\mathbf{v}_2, \ x_1\mathbf{v}_1+x_2 \mathbf{v}_2+...+x_n \mathbf{v}_n) + ... \\ \\ ... + x_n\varphi(\mathbf{v}_n, \ x_1\mathbf{v}_1+x_2 \mathbf{v}_2+...+x_n \mathbf{v}_n)=

 

per la linearità rispetto alla seconda componente

 

\\ = x_1^2\varphi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1)+x_1x_2\varphi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)+...+x_1x_n\varphi(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_n) + \\ \\ + x_2x_1\varphi(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1)+x_2^2\varphi(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2)+...+x_2x_n\varphi(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_n)+ ... \\ \\ ... + x_nx_1\varphi(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_1)+x_nx_2\varphi(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_2)+...+x_n^2\varphi(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_n)

 

Osserviamo ora che \varphi(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j) è uno scalare per ogni i,j, dunque posto \varphi(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)=q_{ij} si ha che

 

Q(\mathbf{v})=\sum_{i,j = 1}^{n}q_{ij}x_ix_j

 

Da qui si vede che Q(\mathbf{v}) è un polinomio omogeneo di secondo grado nelle componenti di \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}.

 

È bene osservare che vale anche il viceversa, ossia ogni polinomio omogeneo di secondo grado nelle indeterminate x_1,x_2,...,x_n

 

p(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i,j = 1}^{n}q_{ij}x_ix_j

 

individua la forma quadratica

 

Q(\mathbf{v})=\sum_{i,j = 1}^{n}q_{ij}x_ix_j

 

dove \mathbf{v} è il vettore di componenti x_1,x_2,...,x_n rispetto a una base fissata dello spazio vettoriale considerato.

 

Forma polare di una forma quadratica

 

Dalla definizione di forma quadratica segue che ogni forma bilineare simmetrica \varphi: V \times V \to \mathbb{R} individua una forma quadratica Q definita da Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v}), per ogni \mathbf{v} \in V.

 

 

\varphi: V \times V \to \mathbb{R}\ \mbox{ forma bilineare simmetrica}\\ \\ \Rightarrow Q(\mathbf{v})=\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v})\ \ \forall\ \mathbf{v} \in V

 

 

Viceversa, nota la forma quadratica Q, dalle proprietà di bilinearità e dalla simmetria di \varphi segue che per ogni \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V:

 

\\ Q(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \varphi (\mathbf{v}+\mathbf{w}, \ \mathbf{v}+\mathbf{w}) = \\ \\ = \varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v}) + \varphi(\mathbf{v}, \mathbf{w}) + \varphi(\mathbf{w}, \mathbf{v}) + \varphi(\mathbf{w}, \mathbf{w}) = \\ \\ =\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{v}) + 2\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{w}) + \varphi(\mathbf{w}, \mathbf{w})

 

ossia

 

Q(\mathbf{v}+\mathbf{w})=Q(\mathbf{v})+2\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{w})+Q(\mathbf{w})

 

Invertendo in favore di \varphi(\mathbf{v}, \mathbf{w}) si ottiene

 

\varphi(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \frac{1}{2}\left(Q(\mathbf{v}+\mathbf{w})-Q(\mathbf{v})-Q(\mathbf{w})\right) \ (*)

 

e dunque

 

 

Q: V \to \mathbb{R}\ \mbox{ forma quadratica}\\ \\ \Rightarrow \varphi(\mathbf{v},\mathbf{w})=\frac{1}{2}\left(Q(\mathbf{v}+\mathbf{w})-Q(\mathbf{v})-Q(\mathbf{w})\right)\ \ \forall\ \mathbf{v},\mathbf{w} \in V

 

 

Ne consegue che ogni forma quadratica individua univocamente la forma bilineare simmetrica (o il prodotto scalare) che la definisce, quindi la corrispondenza tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche è una corrispondenza biunivoca.

 

Inoltre, la forma bilineare simmetrica \varphi relativa a una forma quadratica Q prende il nome di forma polare di Q, mentre la formula (*) è detta formula di polarizzazione.

 

 

Esempio sul calcolo della forma polare di una forma quadratica

 

Determinare la forma polare della seguente forma quadratica Q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} tale che

 

Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2x_3-2x_3^2

 

Applichiamo la formula di polarizzazione, secondo cui per ogni \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^3:

 

\varphi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{1}{2}\left(Q(\mathbf{x}+\mathbf{y})-Q(\mathbf{x})-Q(\mathbf{y})\right)

 

Per evitare di commettere errori calcoliamo separatamente i termini Q(\mathbf{x}), \ Q(\mathbf{y}) \mbox{ e } Q(\mathbf{x}+\mathbf{y})

 

\\ Q(\mathbf{x}) = Q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2x_3-2x_3^2 \\ \\ Q(\mathbf{y}) = Q(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+2y_1y_2+3y_2y_3-2y_3^2 \\ \\ Q(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = Q(x_1+y_1, \ x_2+y_2, \ x_3+y_3)= \\ \\ =(x_1+y_1)^2+2(x_1+y_1)(x_2+y_2)+3(x_2+y_2)(x_3+y_3)-2(x_3+y_3)^2 = \\ \\ = x_1^2+2x_1y_1+y_1^2+2x_1x_2+2x_1y_2+2x_2y_1+2y_1y_2+ \\ \\ + 3x_2x_3+3x_2y_3+3x_3y_2 + 3y_2y_3-2x_3^2-4x_3y_3-2y_3^2

 

Sostituendo nella formula di polarizzazione e semplificando i termini simili, lasciamo a voi il compito di verificare che

 

\\ \varphi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \frac{1}{2}\left(Q(\mathbf{x}+\mathbf{y})-Q(\mathbf{x})-Q(\mathbf{y})\right) = \\ \\ \frac{1}{2}\left(2x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+3x_2y_3+3x_3y_2-4x_3y_3\right) = \\ \\ = x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+\frac{3}{2}x_2y_3+\frac{3}{2}x_3y_2-2x_3y_3

 

Possiamo così concludere che

 

\varphi(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+\frac{3}{2}x_2y_3+\frac{3}{2}x_3y_2-2x_3y_3

 

è la forma polare associata a Q, ossia la forma bilineare simmetrica che la definisce.

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui, ma vi invitiamo a non perdere la prossima lezione dove spieghiamo come si determina la matrice associata a una forma quadratica.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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