Teorema spettrale in C

Il teorema spettrale complesso asserisce che un endomorfismo è hermitiano se e solo se esiste una base ortonormale dello spazio su cui è definito composta da suoi autovettori o, in linguaggio matriciale, che ogni matrice hermitiana è diagonalizzabile mediante una matrice unitaria.

Il teorema spettrale in C può essere enunciato e dimostrato per gli endomorfismi hermitiani come pure per le matrici hermitiane.

Sarà nostra cura proporvi entrambi gli enunciati ed entrambe le dimostrazioni, ma prima richiameremo brevemente la definizione di endomorfismo hermitiano e le relative proprietà. Fatto ciò proporremo l'enunciato e la dimostrazione del teorema spettrale complesso per gli endomorfismi hermitiani, per poi riformulare il tutto col linguaggio matriciale.

Lemmi per il teorema spettrale complesso

Per comprendere a pieno l'enunciato e la dimostrazione del teorema spettrale in è necessario richiamare la definizione di endomorfismo hermitiano e alcune sue proprietà, che abbiamo dimostrato nella lezione dedicata e che vengono spesso presentate come lemmi propedeutici alla dimostrazione del teorema spettrale complesso.

Da qui in poi supponiamo che sia uno spazio vettoriale su e che sia un prodotto hermitiano definito positivo su .

Diciamo che è un endomorfismo hermitiano se e solo se per ogni il prodotto hermitiano tra coincide col prodotto tra

Lemma 1 (Matrice associata a un endomorfismo hermitiano)

è un endomorfismo hermitiano se e solo se la matrice rappresentativa di rispetto a una base ortonormale di è una matrice hermitiana.

Lemma 2 (Autovalori di un endomorfismo hermitiano)

Gli autovalori di un endomorfismo hermitiano sono tutti reali.

Enunciato e dimostrazione del teorema spettrale complesso

Siano uno spazio vettoriale finitamente generato su , un prodotto hermitiano definito positivo su e un endomorfismo.

è hermitiano se e solo se esiste una base ortonormale di formata da autovettori di .

Dimostrazione

Supponiamo che sia un endomorfismo hermitiano. Detta la dimensione dello spazio vettoriale , dobbiamo dimostrare l'esistenza di una base ortonormale

tale che siano autovettori per l'endomorfismo .

Procediamo per induzione su .

Se , ogni base di è formata da un solo vettore non nullo. Scegliamone una e sia il vettore della base scelta.

è un elemento di e in quanto tale può essere espresso come combinazione lineare di , cioè esiste tale che

Ciò prova che è un autovettore di , che tra l'altro possiamo normalizzare dividendolo per la rispettiva norma (indotta dal prodotto hermitiano considerato).

Per abbiamo quindi dimostrato l'esistenza di una base ortonormale di formata da autovettori di .

Supponiamo ora la tesi vera per e proviamola per .

Per ipotesi è hermitiano, dunque per il lemma 2) ammette almeno un autovalore reale. Diciamo questo autovalore e sia il relativo autovettore, che possiamo supporre di norma 1.

Sia poi il sottospazio generato da

e consideriamo , ossia il complemento ortogonale di rispetto al prodotto hermitiano .

Ricordiamo che è un sottospazio vettoriale di definito come

Per uno dei teoremi sul complemento ortogonale è somma diretta tra

Per la formula di Grassmann

La dimensione di è palesemente 1, mentre ha dimensione , per cui

Osserviamo ora che la restrizione di su , chiamiamola , è un endomorfismo hermitiano su , infatti se allora

La precedente uguaglianza segue dal fatto che è hermitiano su tutto e quindi è hermitiano su , che è un sottospazio di .

Inoltre è un autovettore relativo all'autovalore , ragion per cui

è un elemento di , dunque

Abbiamo così dimostrato che

e ciò ci permette di concludere che , ossia ristretto a è un endomorfismo hermitiano su , spazio vettoriale di dimensione .

Per ipotesi induttiva esiste una base ortonormale di composta da autovettori di . Indichiamo tale base con

Per definizione di complemento ortogonale, per ogni risulta che

Da ciò segue che

è una base ortonormale di formata da autovettori di .

Viceversa, se assumiamo per ipotesi che esista una base ortonormale di formata da autovettori di , allora è un endomorfismo diagonalizzabile. In quanto tale la matrice che rappresenta rispetto a è una matrice diagonale i cui elementi della diagonale principale sono gli autovalori di , che per il lemma 2) sono tutti reali. Da ciò segue che è una matrice hermitiana e quindi, per il lemma 1), è hermitiano.

Teorema spettrale complesso in forma matriciale

Il teorema spettrale in può essere enunciato anche in termini matriciali: ogni matrice hermitiana è simile a una matrice diagonale mediante una matrice unitaria.

Equivalentemente, ogni matrice hermitiana è diagonalizzabile mediante una matrice unitaria, ossia esiste una matrice unitaria tale che è una matrice diagonale.

Dimostrazione

Sia una matrice hermitiana. Come ampiamente discusso nella lezione sugli endomorfismi hermitiani, l'applicazione definita dalla matrice

L_A: C^n → C^n ; L_A(x) = Ax

è un endomorfismo hermitiano rispetto al prodotto hermitiano canonico, dunque per il teorema spettrale sugli endomorfismi esiste una base ortonormale di formata da autovettori di .

Sia tale base .

Il solo fatto che esista una base di autovettori di ci assicura che l'endomorfismo è diagonalizzabile, e quindi è tale anche la matrice che lo rappresenta.

Inoltre, la matrice che ha per colonne i vettori di è la matrice diagonalizzante di , ossia è una matrice diagonale.

Ci rimane da provare che è una matrice unitaria, ossia che il prodotto tra la trasposta della complessa coniugata di e commuta e restituisce la matrice identità:

L'elemento di posto del prodotto è dato dal prodotto tra la i-esima riga di e la j-esima colonna di .

La j-esima colonna di è , cioè il j-esimo vettore della base ortonormale , mentre la i-esima riga di è la i-esima colonna di , ossia è il coniugato dell'i-esimo vettore di , che è .

Alla luce di ciò l'elemento di posto del prodotto è

dove è il prodotto hermitiano canonico.

Dal momento che è una base ortonormale, ne consegue che l'elemento di della matrice prodotto è 0 se , mentre è 1 se

langle u_j, u_i rangle_h = 0 se i ≠ j ; 1 se i = j

e dunque

Ciò dimostra che è una matrice invertibile, con inversa , per cui

e quindi è una matrice unitaria.

Decomposizione spettrale di una matrice hermitiana

Se è una matrice hermitiana, per il teorema spettrale complesso esiste una matrice unitaria tale che

dove è una matrice diagonale. Da ciò segue che

e il prodotto viene detto decomposizione spettrale di .

Teorema spettrale complesso e diagonalizzabilità

Nella lezione sugli endomorfismi diagonalizzabili abbiamo visto che è un endomorfismo diagonalizzabile se e solo se esiste una base di formata da autovettori di . Inoltre:

- la matrice diagonale che rappresenta rispetto a ha come elementi della diagonale principale gli autovalori di , riportati secondo le rispettive molteplicità algebriche;

- la matrice diagonalizzante ha per colonne autovettori di .

Ora, se è uno spazio vettoriale su , è un prodotto hermitiano definito positivo su ed è un endomorfismo hermitiano, il teorema spettrale complesso permette di fare un passo avanti: la base di autovettori può essere scelta ortonormale.

A tal proposito si deve:

- calcolare una base di autovettori così come siamo abituati a fare;

- ortogonalizzarla col processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt;

- rendere tale base ortonormale dividendo ciascun vettore per la norma indotta dal prodotto hermitiano assegnato.

La matrice diagonalizzante è inoltre una matrice unitaria, così come garantito dal teorema spettrale complesso per le matrici.

Esempio

Siano uno spazio vettoriale su , il prodotto hermitiano canonico di e l'endomorfismo definito da

Consideriamo la seguente base di

che è una base ortonormale rispetto al prodotto hermitiano canonico.

La matrice associata a rispetto a è

A = [ 1 0 0 ; 0 1 imath ; 0 − imath 1]

che, evidentemente, è una matrice hermitiana, di conseguenza è un endomorfismo hermitiano. Per il teorema spettrale esiste una base ortonormale di formata da autovettori di o, equivalentemente, la matrice diagonalizzante di è una matrice unitaria.

Per determinare questi autovettori procediamo, dapprima, al calcolo degli autovalori di , che sono gli zeri del polinomio caratteristico associato alla matrice

p_A(λ) = det(A−λ Id_3) = det[ 1−λ 0 0 ; 0 1−λ imath ; 0 − imath 1−λ] = (1−λ) det[ 1−λ imath ;− imath 1−λ ] = (1−λ)[(1−λ)^2+ imath^2] = (1−λ)(1−2λ+λ^2−1) = (1−λ)(λ^2−2λ) = λ(1−λ)(λ−2)

Per il calcolo del determinante abbiamo usato la regola di Laplace con sviluppo rispetto alla prima riga.

Gli autovalori di sono

Una base di autovettori è data dall'unione delle basi degli autospazi

V_(λ_0) = v ∈ C^3 t.c. F(v) = 0 ; V_(λ_1) = v ∈ C^3 t.c. F(v) = v ; V_(λ_2) = v ∈ C^3 t.c. F(v) = 2v

Una base di si ricava determinando una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

ossia

Effettuando le sostituzioni e svolgendo i conti si ottiene

[ 1 0 0 ; 0 1 imath ; 0 − imath 1] [x ; y ; z ] = [0 ; 0 ; 0 ] ; x = 0 ; y+ imath z = 0 ;− imath y+z = 0

Tale sistema ammette soluzioni date da

Dunque una base di è

Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che

mathcalB_(V_(λ_1)) = (1,0,0) ; mathcalB_(V_(λ_2)) = (0, imath,1)

e quindi

è una base di i cui elementi sono autovettori di .

Osserviamo inoltre che tale base è già ortogonale, infatti per una proprietà degli endomorfismi hermitiani autovettori associati ad autovalori distinti sono vettori ortogonali.

Non ci resta che normalizzare dividendo ciascun vettore per la norma indotta dal prodotto hermitiano canonico

||v_1|| = √(langle v_1, v_1 rangle_h) = √(langle (0,− imath,1) , (0,− imath,1) rangle_h) = √((0)(0)+(− imath)(− imath)+(1)(1)) = √((− imath)(imath)+1) = √(− imath^2+1) = √(−(−1)+1) = √(2)

La norma di è già 1

e procedendo allo stesso modo ricaviamo

La base ortonormale che cercavamo è , con

u_1 = (v_1)/(||v_1||) = (1)/(√(2))(0,− imath,1) = (0,−(imath)/(√(2)), (1)/(√(2))) ; u_2 = v_2 = (1,0,0) ; u_3 = (v_3)/(||v_3||) = (1)/(√(2))(0, imath,1) = (0, (imath)/(√(2)), (1)/(√(2)))

Lasciamo a voi il compito di verificare che la matrice avente per colonne tali autovettori

U = [0 1 0 ;−(imath)/(√(2)) 0 (imath)/(√(2)) ; (1)/(√(2)) 0 (1)/(√(2))]

è una matrice unitaria e che

dove

D = [0 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 2]

Il teorema spettrale in forma matriciale viene spesso presentato come corollario del teorema spettrale per gli endomorfismi hermitiani, e ciò non deve sorprendere. Per dimostrare il teorema spettrale sulle matrici hermitiane abbiamo infatti usato il teorema spettrale sugli endomorfismi.

Alcune fonti, al contrario, procedono in modo opposto, ossia enunciano e dimostrano il teorema spettrale per le matrici hermitiane e propongono quello sugli endomorfismi come corollario. In fin dei conti si tratta di una semplice scelta didattica e sta a voi adeguarvi di conseguenza. ;)

È davvero tutto! Dalla prossima lezione torneremo a lavorare nel campo introducendo il concetto di endomorfismo simmetrico, per poi enunciare e dimostrare il teorema spettrale in R.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Ultima modifica: 09/05/2023