Endomorfismi hermitiani

Gli endomorfismi hermitiani vengono definiti a partire da uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano definito positivo.

In questa lezione vedremo tutto quello che c'è da sapere sugli endomorfismi hermitiani. Partiremo dalla definizione, per poi vedere un esempio ed enunciare e dimostrare tre importanti teoremi che descrivono le proprietà degli endomorfismi hermitiani.

In sintesi vedremo che un endomorfismo F:V → V è hermitiano se e solo se la matrice associata ad esso rispetto a una base ortonormale di V è una matrice hermitiana; che gli autovalori di un endomorfismo hermitiano sono tutti reali e che gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali.

I suddetti risultati non sono fini a se stessi ma, al contrario, sono alla base della dimostrazione del teorema spettrale in C, di cui ci occuperemo in una delle successive lezioni.

Definizione di endomorfismo hermitiano

Consideriamo uno spazio vettoriale V su C e un prodotto hermitiano su V definito positivo, che indichiamo con langle , rangle.

Diciamo che F:V → V è un endomorfismo hermitiano se e solo se per ogni v_1, v_2 ∈ V il prodotto hermitiano tra l'immagine di v_1 mediante F e il vettore v_2 uguaglia il prodotto tra v_1 e l'immagine di v_2 tramite F

In simboli:

F:V → V endomorfismo hermitiano ; ⇔ langle F(v_1), v_2 rangle = langle v_1, F(v_2) rangle ∀ v_1, v_2 ∈ V

Esempio di endomorfismo hermitiano

Sia V = C^3 e sia langle , rangle_h il prodotto hermitiano canonico di C^3, ossia

langle , rangle_h: C^3×C^3 → C ; langle v, w rangle_h = v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3 = w^T v

Verifichiamo che

F:C^3 → C^3, F(x,y,z) = (2x+ imath y, − imath x+y, 3z)

è un endomorfismo hermitiano.

Consideriamo due qualsiasi vettori di C^3:

v_1 = (x_1, y_1, z_1), v_2 = (x_2,y_2,z_2)

e calcoliamo i prodotti

langle F(v_1), v_2 rangle_h ; langle v_1, F(v_2) rangle_h

Determiniamo dapprima le immagini di v_1 e v_2 tramite F

F(v_1) = F(x_1, y_1, z_1) = (2x_1+ imath y_1, − imath x_1+y_1, 3z_1) ; F(v_2) = F(x_2, y_2, z_2) = (2x_2+ imath y_2, − imath x_2+y_2, 3z_2)

di conseguenza

langle F(v_1), v_2 rangle_h = langle (2x_1+ imath y_1, − imath x_1+y_1, 3z_1) , (x_2, y_2,z_2) rangle_h = (2x_1+ imath y_1)x_2+(− imath x_1+y_1)y_2+3z_1z_2 = 2x_1x_2+ imath y_1x_2− imath x_1 y_2+y_1y_2+3z_1z_2

mentre

langle v_1, F(v_2) rangle_h = langle (x_1, y_1,z_1), (2x_2+ imath y_2, − imath x_2+y_2, 3z_2) rangle_h = x_1(2x_2+ imath y_2)+y_1(− imath x_2+y_2)+z_13z_2 = x_1(2x_2)+x_1(imath y_2)+y_1(− imath x_2)+y_1y_2+3z_1z_2 = 2x_1x_2− imath x_1y_2+ imath y_1 x_2+y_1y_2+3z_1z_2

Dal momento che

langle F(v_1), v_2 rangle_h = langle v_1, F(v_2) rangle_h

possiamo concludere che F è un endomorfismo hermitiano.

Proprietà degli endomorfismi hermitiani

Siamo pronti per enunciare e dimostrare le principali proprietà degli endomorfismi hermitiani, che sono a tutti gli effetti dei teoremi, proposti dalla maggior parte dei libri di testo come lemmi propedeutici alla dimostrazione del teorema spettrale complesso.

Teorema 1 (Matrice associata a un endomorfismo hermitiano)

Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su C, langle , rangle un prodotto hermitiano definito positivo su V e mathcalB = u_1, u_2, ..., u_n una base ortonormale di V.

F:V → V è un endomorfismo hermitiano se e solo se la matrice rappresentativa di F rispetto a mathcalB è una matrice hermitiana.

Dimostrazione

Consideriamo due qualsiasi vettori v, w ∈ V. Essendo due elementi dello spazio vettoriale possono essere espressi come combinazione lineare dei vettori della base mathcalB, cioè esistono a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n ∈ C tali che

v = a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n ; w = b_1u_1+b_2u_2+...+b_nu_n

Usando le proprietà del prodotto hermitiano dimostriamo che

langle v, w rangle = a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n

Anzitutto

langle v, w rangle = langle a_1u_1+a_2u_2+...+a_nu_n, b_1u_1+b_2u_2+...+b_nu_n rangle =

per la linearità del prodotto hermitiano rispetto al primo termine

= a_1 langle u_1, b_1u_1+b_2u_2+...+b_nu_n rangle+;+a_2 langle u_2, b_1u_1+b_2u_2+...+b_nu_n rangle+;+...+;+a_n langle u_n, b_1u_1+b_2u_2+...+b_nu_n rangle =

per l'antilinearità rispetto al secondo termine

= a_1b_1 langleu_1, u_1 rangle+a_1b_2 langleu_1, u_2 rangle+...+a_1b_n langleu_1, u_n rangle+;+a_2b_1 langleu_2, u_1 rangle+a_2b_2 langleu_2, u_2 rangle+...+a_2b_n langleu_2, u_n rangle+;+...+;+a_nb_1 langleu_n, u_1 rangle+a_nb_2 langleu_n, u_2 rangle+...+a_nb_n langleu_n, u_n rangle

e infine, per ortonormalità della base mathcalB

= a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n

Se indichiamo rispettivamente con

x = [a_1 ; a_2 ; ⋮ ; a_n] ; y = [ b_1 ; b_2 ; ⋮ ; b_n]

i vettori che esprimono le coordinate di v, w rispetto alla base ortonormale mathcalB, possiamo scrivere

langle v, w rangle = y^T x

Sia ora A la matrice associata a F rispetto alla base ortonormale mathcalB. Dalla definizione di matrice rappresentativa di un'applicazione lineare segue che il prodotto Ax coincide con il vettore delle coordinate di F(v) riferite alla base mathcalB, e che Ay è il vettore delle coordinate di F(w) rispetto alla base mathcalB, pertanto

langle F(v), w rangle = y^T (Ax) = (y)^T A x ; langle v, F(w) rangle = (Ay)^T x = (y)^T (A)^T x

Se come ipotesi assumiamo che F è hermitiano, allora

langle F(v), w rangle = langle v, F(w) rangle

e dalle precedenti relazioni segue che

(y)^T A x = (y)^T (A)^T x

di conseguenza A = (A)^T, ossia A coincide con la trasposta della complessa coniugata e quindi è una matrice hermitiana.

Viceversa, se A è hermitiana allora A = (A)^T, quindi

(y)^T A x = (y)^T (A)^T x

per cui

langle F(v), w rangle = langle v, F(w) rangle

il che conferma che F è hermitiano.

square

Corollario

Se V = C^n e se langle , rangle è il prodotto hermitiano canonico, allora F è un endomorfismo hermitiano se e solo se la matrice che rappresenta F rispetto alla base canonica di C^n su C è una matrice hermitiana.

Dimostrazione

La validità del corollario segue dal precedente teorema. Basta infatti osservare che il prodotto hermitiano canonico è definito positivo e che, rispetto a tale prodotto, la base canonica di C^n su C è ortonormale.

square

Osservazioni

1) Nella prima parte della dimostrazione del precedente teorema abbiamo dimostrato un'interessante proprietà, che sotto opportune ipotesi lega un prodotto hermitiano qualsiasi al prodotto hermitiano canonico, che d'ora in poi indichiamo con langle , rangle_h.

In particolare, se mathcalB è una base ortonormale di uno spazio vettoriale V rispetto a un prodotto hermitiano langle , rangle definito positivo su V, è stato dimostrato che per ogni v, w ∈ V:

langle v, w rangle = (y)^T x

dove x, y sono i vettori colonna delle coordinate di v, w rispetto alla base mathcalB.

(y)^T x è il prodotto hermitiano canonico tra i vettori x, y di C^n. Fermo restando di trovarci nelle ipotesi del teorema, abbiamo che

langle v, w rangle = langle x, y rangle_h

Inoltre, se F:V → V è un endomorfismo hermitiano e A è la matrice rappresentativa di F rispetto alla base ortonormale mathcalB, allora

langle A x, y rangle_h = langle x, A y rangle_h

La precedente proprietà tornerà utile nella dimostrazione del teorema sugli autovalori di un endomorfismo hermitiano, che vedremo tra poco.

2) Come c'era da aspettarsi, il precedente teorema e il relativo corollario permettono di costruire una corrispondenza tra endomorfismi hermitiani e matrici hermitiane.

Per ogni endomorfismo hermitiano F: V → V esiste una base ortonormale di V tale che la matrice rappresentativa di F rispetto a mathcalB è hermitiana. Viceversa, per ogni matrice hermitiana A ∈ Mat(n,n,C) possiamo costruire un endomorfismo hermitiano rispetto al prodotto hermitiano canonico:

T: C^n → C^n t.c. T(x) = Ax

Teorema 2 (Autovalori di un endomorfismo hermitiano)

Gli autovalori di un endomorfismo hermitiano F:V → V, definito su uno spazio vettoriale V finitamente generato su C, e dotato di un prodotto hermitiano definito positivo, sono tutti reali.

Dimostrazione

Fissiamo una base ortonormale di V e indichiamola con mathcalB. Essendo F un endomorfismo hermitiano, il teorema (1) ci assicura che la matrice A associata a F rispetto a tale base è una matrice hermitiana.

Evidentemente, A ∈ Mat(n,n,C), dove n è la dimensione dello spazio vettoriale V.

Per il teorema fondamentale dell'Algebra, il polinomio caratteristico associato ad A ammette almeno una radice complessa λ_0, che per definizione è un autovalore di A.

Vogliamo provare che λ_0 ∈ R, il che equivale a dimostrare che λ_0 coincide col suo complesso coniugato, ossia che λ_0 = λ_0.

Sia v_0 ∈ C^n, v_0 ≠ 0 un autovettore relativo a λ_0. Poiché A è hermitiana, per quanto osservato

langle Av_0 , v_0 rangle_h = langle v_0 , Av_0 rangle_h (*)

dunque

λ_0 langle v_0, v_0 rangle_h =

per la linearità del prodotto hermitiano rispetto al primo termine

= langle λ_0v_0, v_0 rangle_h =

per definizione di autovettore di una matrice

= langle Av_0, v_0 rangle_h =

per la relazione (*)

= langle v_0 , Av_0 rangle_h =

per definizione di autovettore

= langle v_0, λ_0 v_0 rangle_h =

per l'antilinearità del prodotto hermitiano rispetto al secondo termine

= λ_0 langle v_0, v_0 rangle_h

Abbiamo così dimostrato la seguente uguaglianza

λ_0 langle v_0, v_0 rangle_h = λ_0 langle v_0, v_0 rangle_h

Portando tutto a primo membro e raccogliendo langle v_0, v_0 rangle_h otteniamo

(λ_0−λ_0) langle v_0, v_0 rangle_h = 0

Per la legge di annullamento il prodotto

(λ_0−λ_0) = 0 oppure langle v_0, v_0 rangle_h = 0

Il prodotto hermitiano canonico è definito positivo, e quindi langle v_0, v_0 rangle_h = 0 se e solo se v_0 = 0, ma ciò non è possibile in quanto v_0 è un autovettore. Necessariamente, λ_0 = λ_0 e quindi λ_0 ∈ R.

Dall'arbitrarietà della scelta di λ_0 segue che ogni zero del polinomio caratteristico, e quindi ogni autovalore di A, è reale. Tale sarà ogni autovalore dell'endomorfismo F.

square

Teorema 3 (Autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo hermitiano)

Sia F:V → V un endomorfismo hermitiano di uno spazio vettoriale V definito su C e dotato di un prodotto hermitiano langle , rangle definito positivo. Autovettori di F relativi ad autovalori distinti sono tra loro ortogonali rispetto al prodotto hermitiano considerato.

Dimostrazione

Siano v_0,v_1 due autovettori associati, rispettivamente, a due autovalori distinti λ_0,λ_1 di F.

Per definizione di autovalori e autovettori di un endomorfismo abbiamo che

(1) F(v_0) = λ_0 v_0 ; (2) F(v_1) = λ_1 v_1

Consideriamo ora il prodotto hermitiano

λ_0 langle v_0, v_1 rangle =

Per la linearità rispetto al primo termine

= langle λ_0 v_0, v_1 rangle =

per (1)

= langle F(v_0), v_1 rangle =

per l'hermitianità di F

= langle v_0, F(v_1) rangle =

per (2)

= langle v_0, λ_1 v_1 rangle =

per l'antilinearità del prodotto scalare rispetto al secondo termine

= λ_1 langle v_0, v_1 rangle

Abbiamo così dimostrato che

λ_0 langle v_0, v_1 rangle = λ_1 langle v_0, v_1 rangle

dunque

(λ_0−λ_1) langle v_0, v_1 rangle = 0

Per la legge di annullamento del prodotto

(λ_0−λ_1) = 0 oppure langle v_0, v_1 rangle = 0

Per ipotesi λ_0 ≠ λ_1 e quindi, necessariamente, langle v_0, v_1 rangle = 0. In conclusione v_0 e v_1 sono vettori ortogonali rispetto al prodotto hermitiano considerato.

È tutto! Vi consigliamo di comprendere a fondo i precedenti teoremi perché saranno il punto di partenza della dimostrazione del teorema spettrale in C, di cui ci occupiamo nella lezione successiva. :)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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