Endomorfismi hermitiani

Gli endomorfismi hermitiani vengono definiti a partire da uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano definito positivo.

 

In questa lezione vedremo tutto quello che c'è da sapere sugli endomorfismi hermitiani. Partiremo dalla definizione, per poi vedere un esempio ed enunciare e dimostrare tre importanti teoremi che descrivono le proprietà degli endomorfismi hermitiani.

 

In sintesi vedremo che un endomorfismo F:V \to V è hermitiano se e solo se la matrice associata ad esso rispetto a una base ortonormale di V è una matrice hermitiana; che gli autovalori di un endomorfismo hermitiano sono tutti reali e che gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali.

 

I suddetti risultati non sono fini a se stessi ma, al contrario, sono alla base della dimostrazione del teorema spettrale in C, di cui ci occuperemo in una delle successive lezioni.

 

Definizione di endomorfismo hermitiano

 

Consideriamo uno spazio vettoriale V su \mathbb{C} e un prodotto hermitiano su V definito positivo, che indichiamo con \langle \ , \ \rangle.

 

Diciamo che F:V \to V è un endomorfismo hermitiano se e solo se per ogni \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V il prodotto hermitiano tra l'immagine di \mathbf{v}_1 mediante F e il vettore \mathbf{v}_2 uguaglia il prodotto tra \mathbf{v}_1 e l'immagine di \mathbf{v}_2 tramite F

 

In simboli:

 

F:V \to V \mbox{ endomorfismo hermitiano } \\ \\ \iff \langle F(\mathbf{v}_1), \mathbf{v}_2\rangle = \langle \mathbf{v}_1, F(\mathbf{v}_2)\rangle\ \ \ \forall \ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V

 

 

Esempio di endomorfismo hermitiano

 

Sia V=\mathbb{C}^3 e sia \langle \ , \ \rangle_h il prodotto hermitiano canonico di \mathbb{C}^3, ossia

 

\\ \langle \ , \ \rangle_h: \mathbb{C}^3 \times \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}\\ \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle_h = v_1\overline{w_1}+v_2\overline{w_2}+v_3\overline{w_3} = \overline{\mathbf{w}}^T \mathbf{v}

 

Verifichiamo che

 

F:\mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3,\ \ F(x,y,z)=(2x+\imath y, \ -\imath x+y, \ 3z)

 

è un endomorfismo hermitiano.

 

Consideriamo due qualsiasi vettori di \mathbb{C}^3:

 

\mathbf{v}_1=(x_1, y_1, z_1), \ \mathbf{v}_2=(x_2,y_2,z_2)

 

e calcoliamo i prodotti

 

\langle F(\mathbf{v}_1), \mathbf{v}_2\rangle_h\ \ \ ;\ \ \ \langle \mathbf{v}_1, F(\mathbf{v}_2)\rangle_h

 

Determiniamo dapprima le immagini di \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 tramite F

 

\\ F(\mathbf{v}_1) = F(x_1, y_1, z_1) = (2x_1+\imath y_1, \ -\imath x_1+y_1, \ 3z_1) \\ \\ F(\mathbf{v}_2) = F(x_2, y_2, z_2) = (2x_2+\imath y_2, \ -\imath x_2+y_2, \ 3z_2)

 

di conseguenza

 

\\ \langle F(\mathbf{v}_1), \mathbf{v}_2\rangle_h = \langle (2x_1+\imath y_1, \ -\imath x_1+y_1, \ 3z_1) , \ (x_2, y_2,z_2)\rangle_h = \\ \\ = (2x_1+\imath y_1)\overline{x_2} + (-\imath x_1+y_1)\overline{y_2}+3z_1\overline{z_2} = \\ \\ = 2x_1\overline{x_2}+\imath y_1\overline{x_2}-\imath x_1 \overline{y_2}+y_1\overline{y_2}+3z_1\overline{z_2}

 

mentre

 

\\ \langle \mathbf{v}_1, F(\mathbf{v}_2)\rangle_h = \langle (x_1, y_1,z_1), \ (2x_2+\imath y_2, \ -\imath x_2+y_2, \ 3z_2)\rangle_h = \\ \\ = x_1\overline{(2x_2+\imath y_2)} + y_1\overline{(-\imath x_2+y_2)}+z_1\overline{3z_2} = \\ \\ = x_1(2\overline{x_2})+x_1(\overline{\imath y_2})+y_1(\overline{-\imath x_2})+y_1\overline{y_2}+3z_1\overline{z_2}= \\ \\ = 2x_1\overline{x_2}-\imath x_1\overline{y_2} +\imath y_1 \overline{x_2}+y_1\overline{y_2}+3z_1\overline{z_2}

 

Dal momento che

 

\langle F(\mathbf{v}_1), \mathbf{v}_2\rangle_h = \langle \mathbf{v}_1, F(\mathbf{v}_2)\rangle_h

 

possiamo concludere che F è un endomorfismo hermitiano.

 

Proprietà degli endomorfismi hermitiani

 

Siamo pronti per enunciare e dimostrare le principali proprietà degli endomorfismi hermitiani, che sono a tutti gli effetti dei teoremi, proposti dalla maggior parte dei libri di testo come lemmi propedeutici alla dimostrazione del teorema spettrale complesso.

 

 

Teorema 1 (Matrice associata a un endomorfismo hermitiano)

 

Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su \mathbb{C}, \langle \ , \ \rangle un prodotto hermitiano definito positivo su V e \mathcal{B}=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_n\} una base ortonormale di V.

 

F:V \to V è un endomorfismo hermitiano se e solo se la matrice rappresentativa di F rispetto a \mathcal{B} è una matrice hermitiana.

 

Dimostrazione

 

Consideriamo due qualsiasi vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V. Essendo due elementi dello spazio vettoriale possono essere espressi come combinazione lineare dei vettori della base \mathcal{B}, cioè esistono a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n \in \mathbb{C} tali che

 

\\ \mathbf{v}=a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2+...+a_n\mathbf{u}_n \\ \\ \mathbf{w}=b_1\mathbf{u}_1+b_2\mathbf{u}_2+...+b_n\mathbf{u}_n

 

Usando le proprietà del prodotto hermitiano dimostriamo che

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+...+a_n\overline{b_n}

 

Anzitutto

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \langle a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2+...+a_n\mathbf{u}_n, \ b_1\mathbf{u}_1+b_2\mathbf{u}_2+...+b_n\mathbf{u}_n\rangle=

 

per la linearità del prodotto hermitiano rispetto al primo termine

 

\\ =a_1\langle \mathbf{u}_1, \ b_1\mathbf{u}_1+b_2\mathbf{u}_2+...+b_n\mathbf{u}_n\rangle+\\ \\ +a_2\langle \mathbf{u}_2, \ b_1\mathbf{u}_1+b_2\mathbf{u}_2+...+b_n\mathbf{u}_n\rangle+ \\ \\ +...+\\ \\ +a_n\langle \mathbf{u}_n, \ b_1\mathbf{u}_1+b_2\mathbf{u}_2+...+b_n\mathbf{u}_n\rangle=

 

per l'antilinearità rispetto al secondo termine

 

\\ = a_1\overline{b_1}\langle\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle + a_1\overline{b_2}\langle\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \rangle+...+a_1\overline{b_n}\langle\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_n \rangle +\\ \\ + a_2\overline{b_1}\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_1 \rangle + a_2\overline{b_2}\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle+...+a_2\overline{b_n}\langle\mathbf{u}_2, \mathbf{u}_n \rangle + \\ \\ +...+\\ \\ +a_n\overline{b_1}\langle\mathbf{u}_n, \mathbf{u}_1 \rangle + a_n\overline{b_2}\langle\mathbf{u}_n, \mathbf{u}_2 \rangle+...+a_n\overline{b_n}\langle\mathbf{u}_n, \mathbf{u}_n \rangle

 

e infine, per ortonormalità della base \mathcal{B}

 

= a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+...+a_n\overline{b_n}

 

Se indichiamo rispettivamente con

 

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\ \ \ ;\ \ \ \mathbf{y}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}

 

i vettori che esprimono le coordinate di \mathbf{v}, \mathbf{w} rispetto alla base ortonormale \mathcal{B}, possiamo scrivere

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \overline{\mathbf{y}}^T \mathbf{x}

 

Sia ora A la matrice associata a F rispetto alla base ortonormale \mathcal{B}. Dalla definizione di matrice rappresentativa di un'applicazione lineare segue che il prodotto A\mathbf{x} coincide con il vettore delle coordinate di F(\mathbf{v}) riferite alla base \mathcal{B}, e che A\mathbf{y} è il vettore delle coordinate di F(\mathbf{w}) rispetto alla base \mathcal{B}, pertanto

 

\\ \langle F(\mathbf{v}), \mathbf{w} \rangle = \overline{\mathbf{y}}^T (A\mathbf{x}) = (\overline{\mathbf{y}})^T A \ \mathbf{x}\\ \\ \langle \mathbf{v}, F(\mathbf{w}) \rangle = (\overline{A\mathbf{y}})^T \mathbf{x} = (\overline{\mathbf{y}})^T \ (\overline{A})^T \mathbf{x}

 

Se come ipotesi assumiamo che F è hermitiano, allora

 

\langle F(\mathbf{v}), \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{v}, F(\mathbf{w}) \rangle

 

e dalle precedenti relazioni segue che

 

(\overline{\mathbf{y}})^T A \ \mathbf{x} = (\overline{\mathbf{y}})^T \ (\overline{A})^T \mathbf{x}

 

di conseguenza A=(\overline{A})^T, ossia A coincide con la trasposta della complessa coniugata e quindi è una matrice hermitiana.

 

Viceversa, se A è hermitiana allora A=(\overline{A})^T, quindi

 

(\overline{\mathbf{y}})^T A \ \mathbf{x} = (\overline{\mathbf{y}})^T \ (\overline{A})^T \mathbf{x}

 

per cui

 

\langle F(\mathbf{v}), \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{v}, F(\mathbf{w}) \rangle

 

il che conferma che F è hermitiano.

 

\square

 

Corollario

 

Se V=\mathbb{C}^n e se \langle \ , \ \rangle è il prodotto hermitiano canonico, allora F è un endomorfismo hermitiano se e solo se la matrice che rappresenta F rispetto alla base canonica di \mathbb{C}^n su \mathbb{C} è una matrice hermitiana.

 

Dimostrazione

 

La validità del corollario segue dal precedente teorema. Basta infatti osservare che il prodotto hermitiano canonico è definito positivo e che, rispetto a tale prodotto, la base canonica di \mathbb{C}^n su \mathbb{C} è ortonormale.

 

\square

 

Osservazioni

 

1) Nella prima parte della dimostrazione del precedente teorema abbiamo dimostrato un'interessante proprietà, che sotto opportune ipotesi lega un prodotto hermitiano qualsiasi al prodotto hermitiano canonico, che d'ora in poi indichiamo con \langle \ , \ \rangle_h.

 

In particolare, se \mathcal{B} è una base ortonormale di uno spazio vettoriale V rispetto a un prodotto hermitiano \langle \ , \ \rangle definito positivo su V, è stato dimostrato che per ogni \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V:

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = (\overline{\mathbf{y}})^T \mathbf{x}

 

dove \mathbf{x}, \mathbf{y} sono i vettori colonna delle coordinate di \mathbf{v}, \mathbf{w} rispetto alla base \mathcal{B}.

 

(\overline{\mathbf{y}})^T \mathbf{x} è il prodotto hermitiano canonico tra i vettori \mathbf{x}, \mathbf{y} di \mathbb{C}^n. Fermo restando di trovarci nelle ipotesi del teorema, abbiamo che

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle_h

 

Inoltre, se F:V \to V è un endomorfismo hermitiano e A è la matrice rappresentativa di F rispetto alla base ortonormale \mathcal{B}, allora

 

\langle A \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle_h = \langle \mathbf{x}, A \mathbf{y}\rangle_h

 

La precedente proprietà tornerà utile nella dimostrazione del teorema sugli autovalori di un endomorfismo hermitiano, che vedremo tra poco.

 

 

2) Come c'era da aspettarsi, il precedente teorema e il relativo corollario permettono di costruire una corrispondenza tra endomorfismi hermitiani e matrici hermitiane.

 

Per ogni endomorfismo hermitiano F: V \to V esiste una base ortonormale di V tale che la matrice rappresentativa di F rispetto a \mathcal{B} è hermitiana. Viceversa, per ogni matrice hermitiana A \in Mat(n,n,\mathbb{C}) possiamo costruire un endomorfismo hermitiano rispetto al prodotto hermitiano canonico:

 

T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n \mbox{ t.c. } T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}

 

 

Teorema 2 (Autovalori di un endomorfismo hermitiano)

 

Gli autovalori di un endomorfismo hermitiano F:V\to V, definito su uno spazio vettoriale V finitamente generato su \mathbb{C}, e dotato di un prodotto hermitiano definito positivo, sono tutti reali.

 

Dimostrazione

 

Fissiamo una base ortonormale di V e indichiamola con \mathcal{B}. Essendo F un endomorfismo hermitiano, il teorema (1) ci assicura che la matrice A associata a F rispetto a tale base è una matrice hermitiana.

 

Evidentemente, A \in Mat(n,n,\mathbb{C}), dove n è la dimensione dello spazio vettoriale V.

 

Per il teorema fondamentale dell'Algebra, il polinomio caratteristico associato ad A ammette almeno una radice complessa \lambda_0, che per definizione è un autovalore di A.

 

Vogliamo provare che \lambda_0 \in \mathbb{R}, il che equivale a dimostrare che \lambda_0 coincide col suo complesso coniugato, ossia che \lambda_0=\overline{\lambda_0}.

 

Sia \mathbf{v}_0 \in \mathbb{C}^n,\ \mathbf{v}_0 \neq \mathbf{0} un autovettore relativo a \lambda_0. Poiché A è hermitiana, per quanto osservato

 

\langle A\mathbf{v}_0 , \mathbf{v}_0 \rangle_h = \langle \mathbf{v}_0 , A\mathbf{v}_0 \rangle_h\ \ \ (*)

 

dunque

 

\lambda_0 \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0 \rangle_h =

 

per la linearità del prodotto hermitiano rispetto al primo termine

 

=\langle \lambda_0\mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0 \rangle_h =

 

per definizione di autovettore di una matrice

 

=\langle A\mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0 \rangle_h=

 

per la relazione (*)

 

=\langle \mathbf{v}_0 , A\mathbf{v}_0 \rangle_h =

 

per definizione di autovettore

 

=\langle \mathbf{v}_0, \lambda_0 \mathbf{v}_0 \rangle_h=

 

per l'antilinearità del prodotto hermitiano rispetto al secondo termine

 

=\overline{\lambda_0} \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0\rangle_h

 

Abbiamo così dimostrato la seguente uguaglianza

 

\lambda_0 \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0 \rangle_h=\overline{\lambda_0} \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0\rangle_h

 

Portando tutto a primo membro e raccogliendo \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0\rangle_h otteniamo

 

(\lambda_0-\overline{\lambda_0})\langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0\rangle_h = 0

 

Per la legge di annullamento il prodotto

 

(\lambda_0-\overline{\lambda_0}) =0\ \ \mbox{ oppure }\ \ \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0\rangle_h = 0

 

Il prodotto hermitiano canonico è definito positivo, e quindi \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_0 \rangle_h = 0 se e solo se \mathbf{v}_0=\mathbf{0}, ma ciò non è possibile in quanto \mathbf{v}_0 è un autovettore. Necessariamente, \lambda_0=\overline{\lambda_0} e quindi \lambda_0 \in \mathbb{R}.

 

Dall'arbitrarietà della scelta di \lambda_0 segue che ogni zero del polinomio caratteristico, e quindi ogni autovalore di A, è reale. Tale sarà ogni autovalore dell'endomorfismo F.

 

\square

 

Teorema 3 (Autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo hermitiano)

 

Sia F:V \to V un endomorfismo hermitiano di uno spazio vettoriale V definito su \mathbb{C} e dotato di un prodotto hermitiano \langle \ , \ \rangle definito positivo. Autovettori di F relativi ad autovalori distinti sono tra loro ortogonali rispetto al prodotto hermitiano considerato.

 

Dimostrazione

 

Siano \mathbf{v}_0,\mathbf{v}_1 due autovettori associati, rispettivamente, a due autovalori distinti \lambda_0,\lambda_1 di F.

 

Per definizione di autovalori e autovettori di un endomorfismo abbiamo che

 

\\ (1) \ F(\mathbf{v}_0)=\lambda_0 \mathbf{v}_0 \\ \\ (2) \ F(\mathbf{v}_1)=\lambda_1 \mathbf{v}_1

 

Consideriamo ora il prodotto hermitiano

 

\lambda_0 \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1\rangle=

 

Per la linearità rispetto al primo termine

 

= \langle \lambda_0 \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1\rangle =

 

per (1)

 

= \langle F(\mathbf{v}_0), \mathbf{v}_1\rangle =

 

per l'hermitianità di F

 

= \langle \mathbf{v}_0, F(\mathbf{v}_1)\rangle =

 

per (2)

 

= \langle \mathbf{v}_0, \lambda_1 \mathbf{v}_1 \rangle =

 

per l'antilinearità del prodotto scalare rispetto al secondo termine

 

=\overline{\lambda_1} \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1 \rangle

 

Abbiamo così dimostrato che

 

\lambda_0\langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1 \rangle = \overline{\lambda_1} \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1 \rangle

 

dunque

 

(\lambda_0-\overline{\lambda_1})\langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1 \rangle = 0

 

Per la legge di annullamento del prodotto

 

(\lambda_0-\overline{\lambda_1}) = 0\ \ \mbox{ oppure }\ \ \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1 \rangle = 0

 

Per ipotesi \lambda_0 \neq \lambda_1 e quindi, necessariamente, \langle \mathbf{v}_0, \mathbf{v}_1 \rangle = 0. In conclusione \mathbf{v}_0 e \mathbf{v}_1 sono vettori ortogonali rispetto al prodotto hermitiano considerato.

 

 


 

È tutto! Vi consigliamo di comprendere a fondo i precedenti teoremi perché saranno il punto di partenza della dimostrazione del teorema spettrale in C, di cui ci occupiamo nella lezione successiva. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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