Prodotto hermitiano

Un prodotto hermitiano è una forma sesquilineare simmetrica (o hermitiana), ossia un'applicazione definita sul prodotto cartesiano tra uno spazio vettoriale complesso e se stesso, a valori nel campo dei numeri complessi e tale da soddisfare determinate proprietà.

In questa lezione partiremo dalla definizione, per poi spiegare come si calcola la matrice associata a un prodotto hermitiano, come se ne studia il segno e come si definisce la norma indotta da un prodotto hermitiano definito positivo, corredando il tutto con qualche esempio.

Affrontando i vari argomenti non faremo altro che ripercorrere quanto visto già per i prodotti scalari, e vi renderete conto che, fatta eccezione per la definizione, c'è ben poco di nuovo da dover capire e memorizzare. ;)

Definizione di prodotto hermitiano

Sia V uno spazio vettoriale definito su C e di dimensione n. Un prodotto hermitiano su V è una forma sesquilineare simmetrica su V che indichiamo con 〈 , 〉.

Più esplicitamente, un prodotto hermitiano su V è un'applicazione

〈 , 〉: V×V → C ; (v, w) ↦ 〈 v, w 〉 ∈ C

che gode delle seguenti proprietà.

(a) Linearità rispetto al primo termine: per ogni v_1, v_2, w ∈ V e per ogni λ ∈ C

〈 v_1+v_2, w〉 = 〈 v_1, w 〉+〈 v_2, w 〉 ; 〈 λ v_1, w〉 = λ 〈 v_1, w 〉

(b) Simmetria (o hermitianità): per ogni v, w ∈ V

〈 w, v 〉 = 〈 v, w 〉

dove 〈 v, w 〉 indica il coniugato del numero complesso 〈 v, w 〉.

(c) Antilinearità rispetto al secondo termine: per ogni v, w_1, w_2 ∈ V e per ogni λ ∈ C

〈 v, w_1+w_2〉 = 〈 v, w_1 〉+〈 v, w_2 〉 ; 〈 v, λ w_1〉 = λ 〈 v, w_1 〉

Osservazioni sulla definizione di prodotto hermitiano

- Le proprietà (a) e (b) bastano a garantire che un'applicazione sia un prodotto hermitiano, infatti la loro validità garantisce che valga anche (c). Negli esercizi in cui viene chiesto di stabilire se un'applicazione è un prodotto hermitiano, quindi, è sufficiente verificare che sia lineare rispetto alla prima componente e che valga la simmetria (o hermitianità).

- Se 〈 , 〉 è un prodotto hermitiano su V, allora la proprietà (b) ci assicura che per ogni v ∈ V il prodotto hermitiano di v con se stesso è un numero reale, ossia

〈 v, v 〉 ∈ R ∀ v ∈ V

Quest'ultima osservazione è quantomai importante, infatti proprio grazie a essa potremo parlare con tutta tranquillità del segno di un prodotto hermitiano e introdurre il concetto di norma.

Esempi di prodotti hermitiani

1) La seguente forma sesquilineare su V = C^n

〈 , 〉: C^n×C^n → C ; 〈 v, w 〉 = v_1w_1+v_2w_2+...+v_nw_n = w^T v

è un prodotto hermitiano, detto prodotto hermitiano canonico.

2) Verificare che

〈 , 〉: C^2×C^2 → C ; 〈 v, w 〉 = 4v_1w_1−2i v_1w_2+2i v_2w_1+3v_2w_2

è un prodotto hermitiano.

Verifichiamo innanzitutto la linearità rispetto alla prima componente. Per ogni

v_1 = (v_1,v_2), v_2 = (v_1', v_2'), w = (w_1, w_2) ∈ C^2

e per ogni λ ∈ C

〈 v_1+v_2, w 〉 = 〈 (v_1+v_1', v_2+v_2'), (w_1, w_2) 〉 =

per com'è definita l'applicazione

= 4(v_1+v_1')w_1−2i(v_1+v_1')w_2+2i(v_2+v_2')w_1+3(v_2+v_2')w_2 =

Svolgendo i conti e riordinando opportunamente, otteniamo

= 4v_1w_1−2i v_1w_2+2i v_2w_1+3v_2w_2+4v_1'w_1−2i v_1'w_2+2i v_2'w_1+3v_2'w_2 = 〈 v_1, w〉+〈 v_2, w〉

Procedendo allo stesso modo si vede che

〈 λ v_1 , w〉 = λ 〈 v_1, w〉

L'applicazione è dunque lineare rispetto alla prima componente. Verifichiamo ora che è hermitiana, ossia che per ogni v = (v_1, v_2), w = (w_1, w_2) ∈ C^2:

〈 w, v 〉 = 〈 v, w 〉

Procediamo:

〈 v, w 〉 = 4v_1 overlinew_1−2i v_1 overlinew_2+2i v_2 overlinew_1+3v_2 overlinew_2 =

per le proprietà del complesso coniugato

= 4 v_1w_1+2i v_1w_2−2i v_2 w_1+3v_2w_2 =

facendo gli opportuni aggiustamenti

= 4 w_1v_1−2i w_1v_2+2i w_2 v_1+3w_2 v_2 = 〈 w, v 〉

Matrice associata a un prodotto hermitiano

Supponiamo che V sia uno spazio finitamente generato su C, e siano B = v_1, v_2, ..., v_n una base di V e 〈 , 〉 un prodotto hermitiano su V.

La matrice rappresentativa del prodotto hermitiano 〈 , 〉 rispetto alla base B è la matrice quadrata A = (a_(ij)) di ordine n tale che per ogni i, j ∈ 1,2,...,n l'elemento a_(ij) è il risultato del prodotto hermitiano tra i vettori v_i,v_j

a_(ij) = 〈 v_i, v_j 〉

Nello specifico

A = [〈 v_1, v_1 〉 〈 v_1, v_2 〉 ··· 〈 v_1, v_n 〉 ; 〈 v_2, v_1 〉 〈 v_2, v_2 〉 ··· 〈 v_2, v_n 〉 ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; 〈 v_n, v_1 〉 〈 v_n, v_2 〉 ··· 〈 v_n, v_n 〉] ∈ C^(n,n)

Dalla proprietà di hermitianità di un prodotto hermitiano segue che ∀ i, j ∈ 1,2,...,n, con i ≠ j

a_(ji): = 〈 v_j, v_i 〉 = 〈 v_i, v_j 〉: = a_(ij)

Ne consegue che la matrice associata a un prodotto hermitiano (rispetto a una qualsiasi base) è una matrice hermitiana, e possiamo sfruttare questa proprietà a nostro vantaggio. Quando si deve calcolare la matrice rappresentativa di un prodotto hermitiano è sufficiente determinare gli elementi della diagonale principale e quelli sopra di essa, per poi ricavare gli altri ricordando che per ogni i, j ∈ 1,2,...,n con i ≠ j vale l'uguaglianza a_(ji) = a_(ij).

Esempio sul calcolo della matrice associata a un prodotto hermitiano

Riprendiamo il prodotto hermitiano definito in uno dei precedenti esempi

〈 , 〉: C^2×C^2 → C ; 〈 v, w 〉 = 4v_1w_1−2i v_1w_2+2i v_2w_1+3v_2w_2

e calcoliamone le matrici associate riferite alle basi

B = (1,0), (0,1) ; B'= (1,1), (−1,2)

Indichiamo con e_1,e_2 i vettori di B e sia A = (a_(ij)) la matrice quadrata di ordine 2 che rappresenta il prodotto hermitiano assegnato rispetto a tale base.

Allora

a_(11) = 〈 e_1, e_1〉 = 〈 (1,0), (1,0) 〉 = 4(1)(1)−2i(1)(0)+2i(0)(1)+3(0)(0) = 4 ; a_(12) = 〈 e_1, e_2〉 = 〈 (1,0), (0,1) 〉 = 4(1)(0)−2i(1)(1)+2i(0)(0)+3(0)(1) = −2i ; a_(21) = a_(12) = 2i ; a_(22) = 〈 e_2, e_2〉 = 〈 (0,1), (0,1) 〉 = 4(0)(0)−2i(0)(1)+2i(1)(0)+3(1)(1) = 3

di conseguenza

A = [a_(11) a_(12) ; a_(21) a_(22) ] = [4 −2i ; 2i 3]

Siano ora v_1 = (1,1) e v_2 = (−1,2) i vettori di B' e procediamo al calcolo della rispettiva matrice rappresentativa, che indichiamo con A'= (a'_(ij))

a'_(11) = 〈 v_1, v_1〉 = 〈 (1,1), (1,1) 〉 = 4(1)(1)−2i(1)(1)+2i(1)(1)+3(1)(1) = 4−2i+2i+3 = 7 ; a'_(12) = 〈 v_1, v_2〉 = 〈 (1,1), (−1,2) 〉 = 4(1)(−1)−2i(1)(2)+2i(1)(−1)+3(1)(2) = −4−4i−2i+6 = 2−6i ; a'_(21) = a'_(12) = 2+6i ; a_(22)'= 〈 v_2, v_2〉 = 〈 (−1,2), (−1,2) 〉 = 4(−1)(−1)−2i(−1)(2)+2i(2)(−1)+3(2)(2) = 4+4i−4i+12 = 16

e quindi

A'= [a'_(11) a'_(12) ; a'_(21) a'_(22) ] = [7 2−6i ; 2+6i 16]

Studio del segno di un prodotto hermitiano

Con studio del segno di un prodotto hermitiano si intende lo studio della definitezza, ossia stabilire se un prodotto hermitiano è definito positivo, definito negativo, semidefinito positivo, semidefinito negativo o indefinito.

Partiamo dalle definizioni, che sono esattamente le stesse che abbiamo presentato nella lezione sul segno di un prodotto scalare.

Un prodotto hermitiano 〈 , 〉 su un C-spazio vettoriale V si dice:

- definito positivo se per ogni vettore non nullo di V il prodotto hermitiano del vettore con se stesso è positivo

〈 v, v 〉 > 0 ∀ v ∈ V, v ≠ 0

- definito negativo se per ogni vettore non nullo di V il prodotto hermitiano del vettore con se stesso è negativo

〈 v, v 〉 < 0 ∀ v ∈ V, v ≠ 0

- semidefinito positivo se il prodotto hermitiano di un vettore di V con se stesso è non negativo

〈 v, v 〉 ≥ 0 ∀ v ∈ V

- semidefinito negativo se il prodotto hermitiano di un vettore di V con se stesso è non positivo

〈 v, v 〉 ≤ 0 ∀ v ∈ V

- indefinito se non si presenta nessuno dei precedenti casi, ossia se

∃ v, w ∈ V t.c. 〈 v, v 〉 > 0 , 〈 w, w 〉 < 0

Nonostante il risultato di un prodotto hermitiano sia in generale un numero complesso, come già osservato in precedenza, ricordiamo che per ogni v ∈ V il prodotto hermitiano 〈 v, v〉 è un numero reale, dunque le precedenti definizioni sono ben poste.

All'atto pratico per calcolare il segno di un prodotto hermitiano è sufficiente fissare una qualsiasi base di V, calcolare la matrice hermitiana A che lo rappresenta rispetto alla base scelta ed infine studiare la definitezza di tale matrice, con il criterio di Sylvester o la regola di Cartesio applicata al polinomio caratteristico di A.

Per chi si fosse perso questi ultimi due metodi, sono spiegati nella lezione sullo studio della definitezza di una matrice e sono stati abbondantemente richiamati nell'articolo sullo studio del segno di un prodotto scalare, quindi non ci dilunghiamo oltre. ;)

Esempio sullo studio del segno di un prodotto hermitiano

Riprendiamo il prodotto hermitiano

〈 , 〉: C^2×C^2 → C ; 〈 v, w 〉 = 4v_1w_1−2i v_1w_2+2i v_2w_1+3v_2w_2

e fissiamo la base di C^2 data da B = (1,0), (0,1).

Abbiamo già calcolato la relativa matrice rappresentativa

A = [4 −2i ; 2i 3]

Il polinomio caratteristico associato a tale matrice è

p_A(λ) = det(A−λ Id_2) = det[[4 −2i ; 2i 3]−[λ 0 ; 0 λ ]] = det[4−λ −2i ; 2i 3−λ] = (4−λ)(3−λ)+4i^2 = 12−4λ−3λ+λ^2−4 = λ^2−7λ+8

Tale polinomio presenta due variazioni di segno, dunque per la regola di Cartesio ha due radici positive. Tali radici sono gli autovalori della matrice A, ed essendo entrambi positivi ne consegue che A è definita positiva. Tale è anche il prodotto hermitiano che essa rappresenta.

Norma indotta da un prodotto hermitiano

Consideriamo un prodotto hermitiano 〈 , 〉 definito positivo su un C-spazio vettoriale V.

Prende il nome di norma indotta da un prodotto hermitiano la seguente applicazione

||·||: V → R^+U 0

che a ogni vettore v ∈ V associa il numero reale ottenuto dalla radice quadrata del prodotto hermitiano tra v e se stesso

||v||: = √(〈 v, v 〉)

Dato un qualsiasi prodotto hermitiano definito positivo su V, dopo aver definito la norma indotta, si può normalizzare un qualsiasi vettore v∈ V moltiplicandolo per il reciproco della sua norma. In altri termini, detto u il normalizzato di v, vale la relazione

u = (1)/(||v||) v

Esempi di norma indotta da un prodotto hermitiano e di normalizzazione di un vettore

1) La norma indotta dal prodotto hermitiano canonico

〈 , 〉: C^n×C^n → C ; 〈 v, w 〉 = v_1w_1+v_2w_2+...+v_nw_n = w^T v

è l'applicazione

||·||: C^n → R^+U 0

che a ogni v = (v_1,v_2,...,v_n) associa il valore reale

||v|| = √(〈 v, v〉) = √(v_1v_1+v_2v_2+...+v_nv_n) = √(|v_1|^2+|v_2|^2+...+|v_n|^2)

L'ultima uguaglianza discende dal fatto che il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato coincide con il quadrato del modulo del numero complesso, definito come la radice della somma dei quadrati di parte reale e parte immaginaria:

z = a+i b → |z| = √(a^2+b^2)

Per fissare le idee prendiamo V = C^3 e calcoliamo la norma del vettore v = (2, i, 2i+4) rispetto al prodotto hermitiano canonico.

||v|| = √(|v_1|^2+|v_2|^2+|v_3|^2) = √(|2|^2+|i|^2+|2i+4|^2) = √(4+1+20) = √(25) = 5

2) Riprendiamo il prodotto hermitiano

〈 , 〉: C^2×C^2 → C ; 〈 v, w 〉 = 4v_1w_1−2i v_1w_2+2i v_2w_1+3v_2w_2

Abbiamo già dimostrato che è definito positivo, per cui possiamo considerare la norma da esso indotta

||·||: C^2 → R^+U 0

che a ogni vettore v = (v_1, v_2) ∈ C^2 associa il numero reale

||v|| = √(〈 v, v 〉) = √(4v_1v_1−2i v_1v_2+2i v_2v_1+3v_2v_2) = √(4|v_1|^2−2i v_1v_2+2i v_2v_1+3|v_2|^2)

Ad esempio, se v = (1, i) ∈ C^2, allora

||v|| = √(4|v_1|^2−2i v_1v_2+2i v_2v_1+3|v_2|^2) = √(4|1|^2−2i(1)(i)+2i(i)(1)+3|i|^2) = √(4−2i(−i)+2i^2+3(1)) = √(4+2i^2+2i^2+3) = √(4−2−2+3) = √(3)

e il normalizzato di v è

u = (1)/(||v||) v = (1)/(√(3))(1, i) = ((1)/(√(3)), (i)/(√(3)))

Proprietà della norma indotta da un prodotto hermitiano

Come avrete di certo notato, la definizione di norma è esattamente la stessa che abbiamo dato per la norma indotta da un prodotto scalare. Procedendo allo stesso modo si dimostrano le seguenti proprietà della norma indotta da un prodotto hermitiano:

(a) La norma di un vettore è zero se e soltanto se il vettore è quello nullo

||v|| = 0 ⇔ v = 0

(b) La norma di ogni vettore non nullo è positiva

||v|| > 0 ∀ v ∈ V, v ≠ 0

(c) La norma del prodotto tra un vettore e uno scalare è uguale al modulo dello scalare per la norma del vettore

||λ v|| = |λ| ||v|| ∀ v ∈ V, ∀ λ ∈ C

(d) Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz: il modulo del prodotto hermitiano tra due vettori è minore o al più uguale al prodotto delle rispettive norme

|〈 v, w 〉 | ≤ ||v|| ||w|| ∀ v, w ∈ V

L'uguaglianza vale se e soltanto se v,w sono linearmente dipendenti tra loro.

(e) Disuguaglianza triangolare: la norma della somma di due vettori è minore o al più uguale alla somma delle norme

||v+w|| ≤ ||v||+||w|| ∀ v, w ∈ V

Sebbene all'apparenza la nozione di prodotto hermitiano possa sembrare complicata, in realtà ci sono davvero pochissimi concetti nuovi. Disponendo di una buona conoscenza della teoria sui prodotti scalari lo studio dei prodotti hermitiani è davvero una passeggiata. ;)

Nella prossima lezione continueremo a lavorare in C: vedremo come si definisce un endomorfismo hermitiano e di quali proprietà gode, con il successivo scopo di enunciare e dimostrare il teorema spettrale in C.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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