Forma sesquilineare

Una forma sesquilineare è un'applicazione definita sul prodotto cartesiano tra uno spazio vettoriale complesso e se stesso, a valori nel campo dei numeri complessi, e tale da essere lineare rispetto al primo termine e antilineare rispetto al secondo.

Le forme sesquilineari vengono introdotte con lo scopo di poter successivamente definire i prodotti hermitiani, ossia di generalizzare al caso complesso il concetto di prodotto scalare. Se, infatti, ci limitassimo a estendere un prodotto scalare in $\mathbb{C}$ , senza fare degli opportuni "aggiustamenti" delle proprietà di cui gode, ci troveremmo in casi in cui il risultato del prodotto sarebbe un numero immaginario puro, e sarebbe allora impossibile poter parlare di segno di un prodotto scalare complesso e quindi definire una norma.

Chiarita la necessità dello studio delle forme sesquilineari, entriamo nel vivo dell'argomento dando dapprima la definizione. Successivamente presenteremo il concetto di matrice associata a una forma sesquilineare, mostreremo il legame che c'è tra matrici rappresentative rispetto a basi diverse e concluderemo con la definizione di forma sesquilineare hermitiana (o simmetrica).

Disclaimer: se il vostro programma d'esame non prevede lo studio delle forme sesquilineari e dei prodotti hermitiani potete passare direttamente alla lezione sugli endomorfismi simmetrici e sulle loro proprietà, ma vi anticipiamo che la dimostrazione di una di queste, uno dei lemmi preliminari alla dimostrazione del teorema spettrale in R, richiama il prodotto hermitiano canonico.

Definizione di forma sesquilineare

Consideriamo uno spazio vettoriale finitamente generato sul campo $\mathbb{C}$ dei numeri complessi. Una forma sesquilineare su è un'applicazione

$F: V \times V \to \mathbb{C}$

che alla coppia ordinata di vettori $(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in V \times V$ associa lo scalare $F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{C}$ e che gode delle seguenti proprietà.

(a) Linearità, ossia additività e omogeneità, rispetto alla prima componente.

Per ogni $\mathbf{v}, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{w} \in V$ e per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$

$\\ F(\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2, \ \mathbf{w}) = F(\mathbf{v}_1, \mathbf{w}) + F(\mathbf{v}_2, \mathbf{w}) \\ \\ F(\lambda \mathbf{v}, \mathbf{w}) = \lambda F(\mathbf{v}, \mathbf{w})$

(b) Antilinearità, ossia additività e antiomogeneità, rispetto alla seconda componente.

Per ogni $\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \in V$ e per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$

$\\ F(\mathbf{v}, \ \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2) = F(\mathbf{v}, \mathbf{w}_1) + F(\mathbf{v}, \mathbf{w}_2) \\ \\ F(\mathbf{v}, \lambda \mathbf{w}) = \overline{\lambda} F(\mathbf{v}, \mathbf{w})$

dove $\overline{\lambda}$ è il complesso coniugato associato al numero complesso $\lambda$ .

Osservazione

Se uno dei due vettori preimmagine di una forma sesquilineare è il vettore nullo, allora l'immagine è lo zero del campo. In altri termini, se $\mathbf{0}_V$ è il vettore nullo di e $F: V \times V \to \mathbb{C}$ è una forma sesquilineare, allora per ogni $\mathbf{v} \in V$

$F(\mathbf{0}_V, \mathbf{v})=F(\mathbf{v}, \mathbf{0}_V)=0$

Esempi di forme sesquilineari

1) Sia $V=\mathbb{C}^3$ . L'applicazione $F:\mathbb{C}^3 \times \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}$ definita da

$F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = v_1\overline{w_1}+v_2\overline{w_2}+v_3\overline{w_3}$

è una forma sesquilineare.

Per verificarlo consideriamo

$\lambda \in \mathbb{C}, \ \mathbf{v}_1=(v_1,v_2,v_3), \ \mathbf{v}_2=(v_1',v_2',v_3'), \ \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) \in \mathbb{C}^3$

e stabiliamo se valgono le proprietà di linearità rispetto al primo termine e di antilinearità rispetto al secondo.

$\\ F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, \ \mathbf{w}) = F((v_1,v_2,v_3)+(v_1'v_2',v_3'), \ (w_1,w_2,w_3))=$

svolgendo la somma tra vettori

$=F((v_1+v_1', v_2+v_2', v_3+v_3'), \ (w_1,w_2,w_3))=$

per com'è definita

$= (v_1+v_1')\overline{w_1}+(v_2+v_2')\overline{w_2}+(v_3+v_3')\overline{w_3}=$

svolgendo i prodotti e ordinando opportunamente

$=v_1\overline{w_1}+v_2\overline{w_2}+v_3\overline{w_3}+v_1'\overline{w_1}+v_2'\overline{w_2}+v_3'\overline{w_3}= \\ \\ = F(\mathbf{v}_1,\mathbf{w})+F(\mathbf{v}_2,\mathbf{w})$

Inoltre

$\\ F(\lambda \mathbf{v}_1, \mathbf{w})=F((\lambda v_1, \lambda v_2, \lambda v_3), \ (w_1,w_2,w_3))= \\ \\ = \lambda v_1 \overline{w_1} + \lambda v_2 \overline{w_2} + \lambda v_3 \overline{w_3}= \\ \\ = \lambda (v_1\overline{w_1}+v_2\overline{w_2}+v_3\overline{w_3})= \\ \\ = \lambda F(\mathbf{v}_1, \mathbf{w})$

Abbiamo così dimostrato la proprietà (a), ossia la linearità di rispetto alla prima componente.

Procedendo allo stesso modo si verifica l'additività rispetto al secondo termine, ossia

$F(\mathbf{v}, \ \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2) = F(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)+F(\mathbf{v}, \mathbf{w}_2)$

Per quanto concerne l'antiomogeneità abbiamo invece

$\\ F(\mathbf{v}_1, \lambda \mathbf{w})=F((v_1,v_2,v_3), \ (\lambda w_1, \lambda w_2, \lambda w_3))= \\ \\ = v_1 (\overline{\lambda w_1}) + v_2 (\overline{\lambda w_2}) + v_3 (\overline{\lambda w_3})= \\ \\ = \overline{\lambda}(v_1\overline{w_1})+\overline{\lambda}(v_2\overline{w_2})+\overline{\lambda}(v_3\overline{w_3}) = \\ \\ = \overline{\lambda}(v_1\overline{w}_1+v_2\overline{w_2}+v_3\overline{w_3})= \\ \\ = \overline{\lambda} F(\mathbf{v}_1, \mathbf{w})$

Ciò dimostra che è una forma sesquilineare.

2) Consideriamo la trasformazione $F:\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ tale che

$F((v_1,v_2), \ (w_1,w_2)) = 2v_1\overline{w_1}+3\imath v_1\overline{w_2}-v_2\overline{w_2}$

Tale applicazione è una forma sesquilineare, infatti per ogni

$\mathbf{v}_1=(v_1,v_2), \ \mathbf{v}_2=(v_1',v_2'), \ \mathbf{w}=(w_1,w_2) \in \mathbb{C}^2$

e per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$ risulta che:

$\\ F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, \mathbf{w})=F((v_1+v_1', v_2+v_2'), \ (w_1, w_2)) = \\ \\ = 2(v_1+v_1')\overline{w_1}+3\imath (v_1+v_1')\overline{w_2}-(v_2+v_2')\overline{w_2}= \\ \\ = 2v_1\overline{w_1}+2v_1'\overline{w_1}+3\imath v_1\overline{w_2}+3\imath v_1'\overline{w_2}-v_2\overline{w_2}-v_2'\overline{w_2}= \\ \\ = 2v_1\overline{w_1}+3\imath v_1\overline{w_2}-v_2\overline{w_2}+2v_1'\overline{w_1}+3\imath v_1'\overline{w_2}-v_2'\overline{w_2}= \\ \\ =F(\mathbf{v}_1,\mathbf{w})+F(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}) \\ \\ \\ F(\lambda \mathbf{v}_1, \mathbf{w})=F((\lambda v_1, \lambda v_2), \ (w_1, w_2)) = \\ \\ = 2\lambda v_1 \overline{w_1}+3\imath \lambda v_1 \overline{w_2}-\lambda v_2 \overline{w_2}= \\ \\ =\lambda(2v_1\overline{w_1}+3\imath v_1\overline{w_2}-v_2\overline{w_2})= \\ \\ =\lambda F(\mathbf{v}_1, \mathbf{w})$

Ciò prova la linearità rispetto alla prima componente. Inoltre, per ogni

$\mathbf{v}=(v_1,v_2), \ \mathbf{w}_1=(w_1,w_2), \ \mathbf{w}_2=(w_1',w_2') \in \mathbb{C}^2$ e per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$ :

$\\ F(\mathbf{v}, \mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2)=F((v_1, v_2), \ (w_1+w_1', w_2+w_2')) = \\ \\ = 2v_1(\overline{w_1+w_1'})+3\imath v_1 (\overline{w_2+w_2'})-v_2(\overline{w_2+w_2'})= \\ \\ = 2v_1\overline{w_1}+2v_1\overline{w_1'}+3\imath v_1\overline{w_2}+3\imath v_1\overline{w_2'}-v_2\overline{w_2}-v_2\overline{w_2'}= \\ \\ = 2v_1\overline{w_1}+3\imath v_1\overline{w_2}-v_2\overline{w_2}+2v_1\overline{w_1'}+3\imath v_1\overline{w_2'}-v_2\overline{w_2'}= \\ \\ =F(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)+F(\mathbf{v},\mathbf{w}_2) \\ \\ \\ F(\mathbf{v}, \lambda\mathbf{w}_1)=F((v_1,v_2), \ (\lambda w_1, \lambda w_2)) = \\ \\ = 2v_1 \overline{\lambda w_1}+3\imath v_1 \overline{\lambda w_2}-v_2 \overline{\lambda w_2}= \\ \\ =\overline{\lambda}(2v_1\overline{w_1}+3\imath v_1\overline{w_2}-v_2\overline{w_2})= \\ \\ =\overline{\lambda} F(\mathbf{v}, \mathbf{w}_1)$

Abbiamo così dimostrato l'antilinearità del secondo termine, e ciò permette di concludere che l'applicazione in esame è una forma sesquilineare.

Matrice associata a una forma sesquilineare

Per definire la matrice associata a una forma sesquilineare consideriamo uno spazio vettoriale finitamente generato su $\mathbb{C}$ e di dimensione e sia $\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}$ una base di .

La matrice rappresentativa della forma sesquilineare $F:V \times V \to \mathbb{C}$ rispetto alla base $\mathcal{B}$ è quella matrice $A=(a_{ij})$ i cui elementi sono le immagini tramite della coppia ordinata di vettori $(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)$ , ossia

$a_{ij}=F(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)\ \ \ \mbox{con} \ i,j\in\{1,2,...,n\}$

Più esplicitamente

$A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) & \cdots & F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_n) \\ \\ F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2) & \cdots & F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_n) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ F(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_2) & \cdots & F(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_n)\end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n,n}$

Se indichiamo con

$\mathbf{v}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n\end{pmatrix}, \ \mathbf{w}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix}$

le coordinate rispetto alla base $\mathcal{B}$ di due vettori $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ , allora

$F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) =(\mathbf{v}_{\mathcal{B}})^T \ A_{F}^{\mathcal{B}} \ \overline{\mathbf{w}_{\mathcal{B}}}$

Viceversa, fissata una base $\mathcal{B}$ di , a ogni matrice $A \in Mat(n,n,\mathbb{C})$ si può associare una forma sesquilineare $F:V\times V \to \mathbb{C}$ data da

$F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{x}^{T} A \ \overline{\mathbf{y}}$

dove $\mathbf{x},\mathbf{y}$ sono rispettivamente i vettori colonna delle coordinate di $\mathbf{v},\mathbf{w}$ espresse rispetto alla base $\mathcal{B}$ .

Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di una forma sesquilineare

1) Determinare la matrice associata alla forma sesquilineare

$\\ F:\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}\\ \\ F(\mathbf{v},\mathbf{w}) = 2v_1\overline{w_1}+3\imath v_1\overline{w_2}-v_2\overline{w_2}$

rispetto alle basi

$\mathcal{C}=\{(1,0), \ (0,1)\}\ \ ;\ \ \mathcal{B}=\{(1,1), \ (2,-1)\}$

Svolgimento: indichiamo con $\mathbf{e}_1=(1,0), \ \mathbf{e}_2=(0,1)$ i vettori di $\mathcal{C}$ . La matrice $A_F^{\mathcal{C}}$ che rappresenta rispetto a $\mathcal{C}$ è un matrice quadrata di ordine 2, i cui elementi sono

$\\ a_{11}=F(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1) = F((1,0), \ (1,0)) = \\ \\ =2(1)(\overline{1})+3\imath(1)(\overline{0})-(0)(\overline{0})=2 \\ \\ a_{12}=F(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = F((1,0), \ (0,1)) = \\ \\ =2(1)(\overline{0})+3\imath(1)(\overline{1})-(0)(\overline{1})=3\imath \\ \\ a_{21}=F(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1) = F((0,1), \ (1,0)) = \\ \\ =2(0)(\overline{1})+3\imath(0)(\overline{0})-(1)(\overline{0})=0 \\ \\ a_{22}=F(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2) = F((0,1), \ (0,1)) = \\ \\ =2(0)(\overline{0})+3\imath(0)(\overline{1})-(1)(\overline{1})=-1$

dunque

$A_F^{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}2&3\imath \\ 0&-1\end{pmatrix}$

Detti $\mathbf{v}_1=(1,1)$ e $\mathbf{v}_2=(2,-1)$ i vettori di $\mathcal{B}$ , gli elementi della matrice $A_F^{\mathcal{B}}$ rappresentativa di rispetto a $\mathcal{B}$ sono

$\\ a_{11}=F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1) = F((1,1), \ (1,1)) = \\ \\ =2(1)(\overline{1})+3\imath(1)(\overline{1})-(1)(\overline{1}) = 2+3\imath-1 =1+3\imath \\ \\ a_{12}=F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = F((1,1), \ (2,-1)) = \\ \\ = 2(1)(\overline{2})+3\imath(1)(\overline{-1})-(1)(\overline{-1})= 4-3\imath+1=5-3\imath \\ \\ a_{21}=F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1) = F((2,-1), \ (1,1)) = \\ \\ =2(2)(\overline{1})+3\imath(2)(\overline{1})-(-1)(\overline{1})= 4+6\imath+1 =5+6\imath \\ \\ a_{22}=F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2) = F((2,-1), \ (2,-1)) = \\ \\ =2(2)(\overline{2})+3\imath(2)(\overline{-1})-(-1)(\overline{-1})= 8-6\imath-1 =7-6\imath$

e quindi

$A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1+3\imath & 5-3\imath \\ 5+6\imath & 7-6\imath\end{pmatrix}$

2) Calcolare la matrice rappresentativa della forma sesquilineare

$\\ F:\mathbb{C}_2[x] \times \mathbb{C}_2[x] \to \mathbb{R}\\ \\ F(p(x), q(x))=p(0)\overline{q(0)}+p(1)\overline{q(1)}+p(\imath)\overline{q(\imath)}$

in riferimento alla base $\mathcal{B}=\{1,x,x^2\}$ .

Svolgimento: il primo elemento della matrice è

$a_{11}=F(p(x),q(x))\ \ \mbox{ con } p(x)=q(x)=1$

di conseguenza

$\\ p(0)=q(0)=\overline{q(0)}=1 \\ \\ p(1)=q(1)=\overline{q(1)}=1 \\ \\ p(\imath)=q(\imath)=\overline{q(\imath)}=1$

e quindi

$\\ a_{11}=F(1,1)=p(0)\overline{q(0)}+p(1)\overline{q(1)}+p(\imath)\overline{q(\imath)}= \\ \\ = (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)=1+1+1=3$

L'elemento $a_{12}$ è dato da

$F(p(x), q(x))\ \ \mbox{ con } p(x)=1, \ q(x)=x$

per cui

$\\ \overline{q(0)}=\overline{0}=0 \\ \\ \overline{q(1)}=\overline{1}=1 \\ \\ \overline{q(\imath)}=\overline{\imath}=-\imath$

e quindi

$\\ a_{12}=F(1,x)=p(0)\overline{q(0)}+p(1)\overline{q(1)}+p(\imath)\overline{q(\imath)}= \\ \\ = (1)(0)+(1)(1)+(1)(-\imath)=1-\imath$

Completiamo la prima riga della matrice calcolando il valore dell'elemento

$a_{13}=F(p(x), q(x))\ \ \mbox{ con }p(x)=1,\ q(x)=x^2$

$\\ \overline{q(0)}=\overline{0}=0 \\ \\ \overline{q(1)}=\overline{1}=1 \\ \\ \overline{q(\imath)}=\overline{\imath^2}=\overline{-1}=-1$

per cui

$\\ a_{13}=F(1,x^2)=p(0)\overline{q(0)}+p(1)\overline{q(1)}+p(\imath)\overline{q(\imath)}= \\ \\ = (1)(0)+(1)(1)+(1)(-1)=1-1=0$

Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che

$\\ a_{21}=F(x,1)=1+\imath, \ a_{22}=F(x,x)=2, \ a_{23}=F(x,x^2)=1-\imath \\ \\ a_{31}=F(x^2,1)=0, \ a_{32}=F(x^2,x)=1+\imath, \ a_{33}=F(x^2,x^2)=2$

Possiamo così concludere che

$A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3 & 1-\imath & 0 \\ 1+\imath & 2 & 1-\imath \\ 0 & 1+\imath & 2\end{pmatrix}$

Relazione tra matrici associate alla stessa forma sesquilineare

Supponiamo che sia uno spazio vettoriale finitamente generato su $\mathbb{C}$ e sia $F:V \times V \to \mathbb{C}$ una forma sesquilineare.

Prendiamo due basi $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ di e siano:

$A=A_F^{\mathcal{B}}$ la matrice associata a rispetto a $\mathcal{B}$ ;

$A'=A_F^{\mathcal{B}'}$ la matrice rappresentativa di riferita a $\mathcal{B}'$ .

Vogliamo determinare il legame esistente tra queste due matrici. Indichiamo con

$M=M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$

la matrice di cambiamento di base da $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ .

Consideriamo un generico $\mathbf{v} \in V$ e denotiamo rispettivamente con $\mathbf{v}_{\mathcal{B}},\mathbf{v}_{\mathcal{B}'}$ i vettori colonna delle coordinate di $\mathbf{v}$ rispetto alle basi $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ .

Dalla definizione di matrice di cambiamento di base segue che

$(1) \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}} = M \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'}$

Dalla definizione di matrice associata a una forma sesquilineare si ha che

$\\F(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}_{\mathcal{B}})^{T}A \ \overline{\mathbf{v}_{\mathcal{B}}} \\ \\ F(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = (\mathbf{v}_{\mathcal{B}'})^{T} A' \ \overline{\mathbf{v}_{\mathcal{B}'}}$

pertanto

$(\mathbf{v}_{\mathcal{B}'})^{T}A' \ \overline{\mathbf{v}_{\mathcal{B'}}}=(\mathbf{v}_{\mathcal{B}})^{T}A \ \overline{\mathbf{v}_{\mathcal{B}}}=$

per (1)

$\\ =(M \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'})^{T}A \ \overline{(M \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'})}=\\ \\ =(\mathbf{v}_{\mathcal{B}'})^{T} M^{T} A \ \overline{M}\ \overline{\mathbf{v}_{\mathcal{B}'}}$

Dall'arbitrarietà della scelta di $\mathbf{v} \in V$ segue che

$A' = M^{T}\ A \ \overline{M}$

Ossia

$A_F^{\mathcal{B}'} = \left(M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}\right)^T \ A_F^{\mathcal{B}} \ \overline{M}_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$

La precedente relazione prende il nome di formula del cambiamento di base per forme sesquilineari.

Esempio di applicazione della formula del cambiamento di base per forme sesquilineari

Supponiamo che sia assegnata la matrice

$A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&2\imath \end{pmatrix}$

che rappresenta una forma sesquilineare $F:\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$ rispetto alla base $\mathcal{B}=\{(1,0), \ (0,1)\}$ .

Proponiamoci di calcolare la matrice associata a rispetto alla base $\mathcal{B}'=\{(1,-1), \ (0,2)\}$ .

La matrice di cambiamento di base da $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ è

$M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix}$

Per determinare la matrice $A_F^{\mathcal{B}'}$ che rappresenta rispetto a $\mathcal{B}'$ usiamo la formula del cambiamento di base per le forme sesquilineari

$\\ A_F^{\mathcal{B}'} = \left(M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}\right)^T \ A_F^{\mathcal{B}} \ \overline{M}_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = \\ \\ = \begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&2\imath\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}1&-1 \\ 0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&2\imath\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix} 1+2\imath & -4\imath\\ -4\imath & 8\imath \end{pmatrix}$

Forme sesquilineari simmetriche (o hermitiane)

Una forma sesquilineare $F:V \times V \to \mathbb{C}$ è detta forma sesquilineare simmetrica (o hermitiana) se

$F(\mathbf{w}, \mathbf{v})=\overline{F(\mathbf{v}, \mathbf{w})}\ \ \ \forall\ \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$

Se $\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}$ è una base di , dalla precedente definizione segue che se è una forma sesquilineare hermitiana, allora

$F(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)=\overline{F(\mathbf{v}_j, \mathbf{v}_i)}\ \ \forall i,j \in \{1,2,...,n\}$

$F(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)$ è l'elemento $a_{ij}$ della matrice associata a rispetto a $\mathcal{B}$ , quindi le matrici associate a una forma sesquilineare simmetrica rispetto a qualsiasi base sono matrici hermitiane e, viceversa, a ogni matrice hermitiana risulta associata una forma sesquilineare simmetrica.

Le forme sesquilineari simmetriche sono dette anche prodotti hermitiani, e saranno l'argomento cardine della prossima lezione. Prima di proseguire potete consolidare la teoria cimentandovi con la scheda correlata di esercizi svolti, oppure aspettare di aver affrontato la puntata successiva del corso. Essendo una scheda condivisa tra le due lezioni, lasciamo a voi la scelta. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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