Forma sesquilineare
Una forma sesquilineare è un'applicazione definita sul prodotto cartesiano tra uno spazio vettoriale complesso e se stesso, a valori nel campo dei numeri complessi, e tale da essere lineare rispetto al primo termine e antilineare rispetto al secondo.
Le forme sesquilineari vengono introdotte con lo scopo di poter successivamente definire i prodotti hermitiani, ossia di generalizzare al caso complesso il concetto di prodotto scalare. Se, infatti, ci limitassimo a estendere un prodotto scalare in , senza fare degli opportuni "aggiustamenti" delle proprietà di cui gode, ci troveremmo in casi in cui il risultato del prodotto sarebbe un numero immaginario puro, e sarebbe allora impossibile poter parlare di segno di un prodotto scalare complesso e quindi definire una norma.
Chiarita la necessità dello studio delle forme sesquilineari, entriamo nel vivo dell'argomento dando dapprima la definizione. Successivamente presenteremo il concetto di matrice associata a una forma sesquilineare, mostreremo il legame che c'è tra matrici rappresentative rispetto a basi diverse e concluderemo con la definizione di forma sesquilineare hermitiana (o simmetrica).
Disclaimer: se il vostro programma d'esame non prevede lo studio delle forme sesquilineari e dei prodotti hermitiani potete passare direttamente alla lezione sugli endomorfismi simmetrici e sulle loro proprietà, ma vi anticipiamo che la dimostrazione di una di queste, uno dei lemmi preliminari alla dimostrazione del teorema spettrale in R, richiama il prodotto hermitiano canonico.
Definizione di forma sesquilineare
Consideriamo uno spazio vettoriale finitamente generato sul campo
dei numeri complessi. Una forma sesquilineare su
è un'applicazione
che alla coppia ordinata di vettori associa lo scalare
e che gode delle seguenti proprietà.
(a) Linearità, ossia additività e omogeneità, rispetto alla prima componente.
Per ogni e per ogni
(b) Antilinearità, ossia additività e antiomogeneità, rispetto alla seconda componente.
Per ogni e per ogni
dove è il complesso coniugato associato al numero complesso
.
Osservazione
Se uno dei due vettori preimmagine di una forma sesquilineare è il vettore nullo, allora l'immagine è lo zero del campo. In altri termini, se è il vettore nullo di
e
è una forma sesquilineare, allora per ogni
Esempi di forme sesquilineari
1) Sia . L'applicazione
definita da
è una forma sesquilineare.
Per verificarlo consideriamo
e stabiliamo se valgono le proprietà di linearità rispetto al primo termine e di antilinearità rispetto al secondo.
svolgendo la somma tra vettori
per com'è definita
svolgendo i prodotti e ordinando opportunamente
Inoltre
Abbiamo così dimostrato la proprietà (a), ossia la linearità di rispetto alla prima componente.
Procedendo allo stesso modo si verifica l'additività rispetto al secondo termine, ossia
Per quanto concerne l'antiomogeneità abbiamo invece
Ciò dimostra che è una forma sesquilineare.
2) Consideriamo la trasformazione tale che
Tale applicazione è una forma sesquilineare, infatti per ogni
e per ogni risulta che:
Ciò prova la linearità rispetto alla prima componente. Inoltre, per ogni
e per ogni
:
Abbiamo così dimostrato l'antilinearità del secondo termine, e ciò permette di concludere che l'applicazione in esame è una forma sesquilineare.
Matrice associata a una forma sesquilineare
Per definire la matrice associata a una forma sesquilineare consideriamo uno spazio vettoriale finitamente generato su
e di dimensione
e sia
una base di
.
La matrice rappresentativa della forma sesquilineare rispetto alla base
è quella matrice
i cui elementi sono le immagini tramite
della coppia ordinata di vettori
, ossia
Più esplicitamente
Se indichiamo con
le coordinate rispetto alla base di due vettori
, allora
Viceversa, fissata una base di
, a ogni matrice
si può associare una forma sesquilineare
data da
dove sono rispettivamente i vettori colonna delle coordinate di
espresse rispetto alla base
.
Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di una forma sesquilineare
1) Determinare la matrice associata alla forma sesquilineare
rispetto alle basi
Svolgimento: indichiamo con i vettori di
. La matrice
che rappresenta
rispetto a
è un matrice quadrata di ordine 2, i cui elementi sono
dunque
Detti e
i vettori di
, gli elementi della matrice
rappresentativa di
rispetto a
sono
e quindi
2) Calcolare la matrice rappresentativa della forma sesquilineare
in riferimento alla base .
Svolgimento: il primo elemento della matrice è
di conseguenza
e quindi
L'elemento è dato da
per cui
e quindi
Completiamo la prima riga della matrice calcolando il valore dell'elemento
per cui
Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che
Possiamo così concludere che
Relazione tra matrici associate alla stessa forma sesquilineare
Supponiamo che sia uno spazio vettoriale finitamente generato su
e sia
una forma sesquilineare.
Prendiamo due basi di
e siano:
la matrice associata a
rispetto a
;
la matrice rappresentativa di
riferita a
.
Vogliamo determinare il legame esistente tra queste due matrici. Indichiamo con
la matrice di cambiamento di base da a
.
Consideriamo un generico e denotiamo rispettivamente con
i vettori colonna delle coordinate di
rispetto alle basi
.
Dalla definizione di matrice di cambiamento di base segue che
Dalla definizione di matrice associata a una forma sesquilineare si ha che
pertanto
per (1)
Dall'arbitrarietà della scelta di segue che
Ossia
La precedente relazione prende il nome di formula del cambiamento di base per forme sesquilineari.
Esempio di applicazione della formula del cambiamento di base per forme sesquilineari
Supponiamo che sia assegnata la matrice
che rappresenta una forma sesquilineare rispetto alla base
.
Proponiamoci di calcolare la matrice associata a rispetto alla base
.
La matrice di cambiamento di base da a
è
Per determinare la matrice che rappresenta
rispetto a
usiamo la formula del cambiamento di base per le forme sesquilineari
Forme sesquilineari simmetriche (o hermitiane)
Una forma sesquilineare è detta forma sesquilineare simmetrica (o hermitiana) se
Se è una base di
, dalla precedente definizione segue che se
è una forma sesquilineare hermitiana, allora
è l'elemento
della matrice associata a
rispetto a
, quindi le matrici associate a una forma sesquilineare simmetrica rispetto a qualsiasi base sono matrici hermitiane e, viceversa, a ogni matrice hermitiana risulta associata una forma sesquilineare simmetrica.
Le forme sesquilineari simmetriche sono dette anche prodotti hermitiani, e saranno l'argomento cardine della prossima lezione. Prima di proseguire potete consolidare la teoria cimentandovi con la scheda correlata di esercizi svolti, oppure aspettare di aver affrontato la puntata successiva del corso. Essendo una scheda condivisa tra le due lezioni, lasciamo a voi la scelta. ;)
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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