Base per il complemento ortogonale di un sottospazio

Il calcolo di una base del complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale è uno degli esercizi più frequenti negli esami di Algebra Lineare. Lo scopo di questa lezione è proprio quello di fornire un metodo utile per determinare una base per il complemento ortogonale di un sottospazio rispetto a un prodotto scalare qualsiasi.

 

Facendo tesoro di quanto appreso nella precedente lezione sul complemento ortogonale, richiameremo brevemente la definizione di sottospazio ortogonale per poi fornirvi un metodo generale per il calcolo di una base.

 

Nel contempo arricchiremo il tutto con numerosi esercizi svolti, e vi anticipiamo che non ci limiteremo a trattare il solo prodotto scalare euclideo. ;)

 

Come trovare il complemento ortogonale di un sottospazio

 

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su \mathbb{R} e di dimensione n, su cui è definito un prodotto scalare qualsiasi \langle \ , \ \rangle, e consideriamo un sottospazio vettoriale S di V.

 

Sappiamo che il complemento ortogonale di S è il sottospazio di V, denotato con S^{\perp}, i cui elementi sono tutti e soli i vettori di V ortogonali a tutti i vettori di S

 

S^{\perp}:=\{\mathbf{v}\in V\mbox{ t.c. }\langle \mathbf{v} , \mathbf{s}\rangle=0\ \ \forall\ \mathbf{s}\in S\}

 

Vediamo qual è il metodo per determinare il complemento ortogonale di un sottospazio.

 

Il complemento ortogonale di un sottospazio è a sua volta un sottospazio, dunque per individuarlo è sufficiente determinare una sua base. Procediamo nel modo seguente:

 

 

1) calcoliamo una base per S, che indichiamo con

 

\mathcal{B}_S=\{\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, ..., \mathbf{s}_m\}\ \mbox{ con } m \le n

 

 

2) Fissiamo una base di V

 

\mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}

 

e consideriamo un qualsiasi vettore \mathbf{v} \in V:

 

\mathbf{v}=x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+...+x_n\mathbf{v}_n

 

 

3) Dal teorema di caratterizzazione del complemento ortogonale sappiamo che \mathbf{v} \in S^{\perp} se e solo se \mathbf{v} è ortogonale a tutti i vettori di una base di S.

 

Imponiamo quindi che i prodotti scalari tra \mathbf{v} e i vettori di \mathcal{B}_S siano contemporaneamente nulli

 

\begin{cases} \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_1 \rangle = 0 \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_2 \rangle = 0 \\ \vdots \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_m \rangle = 0 \end{cases}

 

 

4) Sviluppando i prodotti scalari otteniamo un sistema lineare omogeneo nelle incognite x_1,x_2,...,x_n, che sono le coordinate del vettore \mathbf{v} riferite alla base \mathcal{B}_V.

 

 

5) Proseguiamo determinando una base per l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo così ottenuto. Chiamiamo tale base \mathcal{B}_{Sol}.

 

 

6) Ogni vettore di \mathcal{B}_{Sol} è un vettore di coordinate rispetto alla base \mathcal{B}_V, quindi gli elementi di una base di S^{\perp} si ottengono moltiplicando, ordinatamente, le coordinate di ciascun vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori di \mathcal{B}_V.

 

Tuttavia, se come spesso accade V=\mathbb{R}^n e se \mathcal{B}_V è la base canonica di \mathbb{R}^n, allora \mathcal{B}_{Sol} è esattamente una base di S^{\perp}. Questo perché le coordinate di un vettore riferite alla base canonica coincidono con le componenti del vettore stesso.

 

Se qualcosa non vi convince non preoccupatevene per il momento. Leggendo i seguenti esempi sarà tutto chiaro. ;)

 

 

Esempio 1: complemento ortogonale di un sottospazio di Rn rispetto al prodotto scalare euclideo

 

Determinare il complemento ortogonale del sottospazio S di \mathbb{R}^3 generato dai vettori

 

\{(1,2,3), \ (2,2,2)\}

 

Svolgimento: i vettori che generano S sono linearmente indipendenti, dunque ne formano una base.

 

Per individuare una base del complemento ortogonale S^{\perp} consideriamo un generico vettore di \mathbb{R}^3 espresso in coordinate riferite alla base canonica di \mathbb{R}^3

 

\mathbf{v}=(x_1, x_2, x_3)

 

Indicando con \cdot il prodotto scalare canonico imponiamo che i prodotti tra \mathbf{v} e i vettori della base di S siano contemporaneamente nulli

 

\begin{cases} (x_1, x_2, x_3) \cdot (1,2,3) = 0 \\ (x_1,x_2,x_3) \cdot (2,2,2)=0 \end{cases}

 

Otteniamo così il seguente sistema lineare omogeneo

 

\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0 \\ 2x_1+2x_2+2x_3=0 \end{cases}

 

di cui dobbiamo calcolare una base per lo spazio delle soluzioni.

 

Per semplificare i calcoli possiamo dividere per 2 entrambi i membri della seconda equazione

 

\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0 \end{cases}

 

Scriviamo la matrice dei coefficienti associata al sistema

 

A=\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 1&1&1\end{pmatrix}

 

e osserviamo che ha rango 2. Per giungere a questa conclusione non serve fare alcun conto: basta osservare che la precedente matrice ha per righe le componenti dei vettori della base di S e in quanto tale ha rango massimo.

 

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette \infty^{n-\mbox{rk}(A)}=\infty^{3-2}= \infty^1 soluzioni.

 

Assegniamo a una incognita il ruolo di parametro. Poniamo ad esempio x_3=\alpha (la scelta è del tutto arbitraria) e sostituiamo nelle equazioni del sistema

 

\begin{cases}x_3=\alpha \\ x_1+2x_2+3x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x_3=\alpha \\ x_1=-2x_2-3x_3=-2x_2 -3\alpha \\ x_2=-x_1-x_3=2x_2+3\alpha-\alpha=2x_2+2\alpha\end{cases}

 

Dall'ultima equazione si ricava x_2=-2\alpha e quindi

 

\begin{cases}x_3=\alpha \\ x_2=-2\alpha \\ x_1=-2x_2-3\alpha=-2(-2\alpha)-3\alpha=4\alpha-3\alpha=\alpha\end{cases}

 

Scriviamo la generica soluzione (x_1, x_2, x_3) = (\alpha, -2\alpha, \alpha) come combinazione lineare con coefficiente il parametro libero \alpha

 

(x_1, x_2, x_3) = (\alpha, -2\alpha, \alpha) = \alpha(1,-2,1)

 

Una base per l'insieme delle soluzioni del sistema è

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{(1,-2,1)\}

 

e coincide con una base del sottospazio ortogonale in quanto V=\mathbb{R}^3 e le componenti di \mathbf{v} sono riferite alla base canonica

 

\mathcal{B}_{S^{\perp}}=\{(1,-2,1)\}

 

 

Nota bene: se invece della base canonica avessimo scelto un'altra base di \mathbb{R}^3, ad esempio

 

\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3}=\{(1,-1,0), \ (0,1,1), \ (0,0,1)\}

 

allora un generico vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 sarebbe stato della forma

 

\mathbf{v}=x_1(1,-1,0)+x_2(0,1,1)+x_3(0,0,1) = \\ \\ =(x_1, \ -x_1+x_2, \ x_2+x_3)

 

Imponendo che siano contemporaneamente nulli i prodotti scalari tra \mathbf{v} e i vettori della base di S saremmo ricaduti nel sistema

 

\\ \begin{cases}(x_1, \ -x_1+x_2, \ x_2+x_3) \cdot (1,2,3)=0 \\ (x_1, \ -x_1+x_2, \ x_2+x_3) \cdot (2,2,2)=0 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases} x_1+2(-x_1+x_2)+3(x_2+x_3)=0 \\ 2x_1+2(-x_1+x_2)+2(x_2+x_3)=0 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x_1-2x_1+2x_2+3x_2+3x_3=0 \\ 2x_1-2x_1+2x_2+2x_2+2x_3=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}-x_1+5x_2+3x_3=0 \\ 4x_2+2x_3=0\end{cases}

 

che ammette \infty^1 soluzioni.

 

Imponendo x_2=\alpha con \alpha \in \mathbb{R} avremmo ottenuto la seguente base per lo spazio delle soluzioni

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{(-1,1,-2)\}

 

Il vettore che la definisce è un vettore di coordinate riferite a

 

\mathcal{B}_V=\{(1,-1,0), \ (0,1,1), \ (0,0,1)\}

 

Per ricavare una base di S^{\perp} avremmo dovuto moltiplicare, ordinatamente, le componenti del vettore di \mathcal{B}_{Sol} per gli elementi di \mathcal{B}_V

 

-1(1,-1,0)+1(0,1,1)+(-2)(0,0,1) = \\ \\ =(-1,1,0)+(0,1,1)+(0,0,-2)=(-1,2,-1)

 

di conseguenza

 

\mathcal{B}_{S^{\perp}}=\{(-1,2,-1)\}

 

o equivalentemente

 

\mathcal{B}_{S^{\perp}}=\{(1,-2,1)\}

 

Come potete notare il risultato ottenuto è lo stesso, ma se possiamo scegliere è sempre bene optare per la base canonica di V, in quanto ci permette di risparmiare un po' di calcoli.

 

 

Esempio 2: complemento ortogonale di un sottospazio definito da equazioni cartesiane

 

Calcolare una base del complemento ortogonale del sottospazio

 

S=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mbox{ t.c. } x-y-z=0, \ y-z=0\}

 

rispetto al prodotto scalare euclideo.

 

Svolgimento: la prima cosa da fare è determinare una base di S, che coincide con una base dell'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni che definiscono S

 

\begin{cases}x-y-z=0 \\ y-z=0\end{cases}

 

La matrice dei coefficienti

 

\begin{pmatrix}1&-1&-1 \\ 0&1&-1\end{pmatrix}

 

ha rango 2, quindi il sistema ammette \infty^1 soluzioni che calcoliamo ponendo z=\alpha con \alpha \in \mathbb{R}

 

\begin{cases}z=\alpha \\ y-z=0\ \to\ y=z=\alpha \\ x-y-z=0\ \to\ x=y+z=\alpha+\alpha=2\alpha\end{cases}

 

Le soluzioni cercate sono

 

(x,y,z)=(2\alpha, \alpha, \alpha) = \alpha(2,1,1)\ \ \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}

 

e quindi una base di S è

 

\mathcal{B}_S=\{(2,1,1)\}

 

Per calcolare una base di S^{\perp} fissiamo un qualsiasi vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 esprimendone le coordinate rispetto alla base canonica

 

\mathbf{v}=(x_1,x_2,x_3)

 

Calcoliamo il prodotto scalare canonico tra \mathbf{v} e l'unico vettore della base di S

 

(x_1,x_2,x_3) \cdot (2,1,1) = 2x_1+x_2+x_3

 

Imponiamo che sia uguale a zero

 

2x_1+x_2+x_3=0

 

e determiniamo le soluzioni di questa equazione, che sono \infty^2. Ponendo ad esempio x_1=\alpha \mbox{ e } x_2=\beta con \alpha, \beta \in \mathbb{R} si ricava che

 

x_3=-2x_1-x_2=-2\alpha-\beta

 

dunque le soluzioni cercate sono

 

(x_1,x_2,x_3)=(\alpha, \ \beta, \ -2\alpha-\beta)=\alpha(1,0,-2)+\beta(0,1,-1)

 

e una base del complemento ortogonale è

 

\mathcal{B}_{S^{\perp}}=\{(1,0,-2), \ (0,1,-1)\}

 

 

Esempio 3: complemento ortogonale di un sottospazio di Rn rispetto a un prodotto scalare qualsiasi

 

Determinare una base del complemento ortogonale del seguente sottospazio generato

 

\\ S=\mbox{Span}(\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, \mathbf{s}_3) \subseteq \mathbb{R}^3, \mbox{ con} \\ \\ \mathbf{s}_1=(1,0,0), \ \ \mathbf{s}_2=(0,-1,3), \ \ \mathbf{s}_3=(-1,-2,-6)

 

rispetto al prodotto scalare

 

\langle(x_1, x_2, x_3),(y_1,y_2,y_3)\rangle = x_1y_1+x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1+2x_3y_3

 

Svolgimento: determiniamo una base per il sottospazio S, che è definito da un sistema di generatori. A tal proposito possiamo usare uno dei metodi descritti nella lezione "come estrarre una base da un sistema di generatori".

 

Scegliamo ad esempio il metodo dei minori e formiamo la matrice avente per colonne le componenti dei vettori \mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2,\mathbf{s}_3.

 

\begin{pmatrix}1&0&-1 \\ 0&-1&-2 \\ 0&3&6\end{pmatrix}

 

che ha determinante uguale a zero. Consideriamo la sottomatrice di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna

 

\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}

 

Tale sottomatrice ha determinante non nullo, dunque una base per il sottospazio S è formata dai vettori colonna che contengono le componenti della sottomatrice con determinante non nullo, ossia

 

\mathcal{B}_{S}=\{\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2\}=\{(1,0,0), \ (0,-1,3)\}

 

Avendo trovato una base per S possiamo determinare una base per il suo complemento ortogonale S^{\perp} rispetto al prodotto scalare definito dal testo del problema

 

\langle(x_1, x_2, x_3),(y_1,y_2,y_3)\rangle = x_1y_1+x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1+2x_3y_3

 

Sia \mathbf{v}=(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 un vettore di coordinate espresse rispetto alla base canonica.

 

\mathbf{v} \in S^{\perp} se e solo se è ortogonale a ogni vettore di \mathcal{B}_S, dunque dev'essere

 

\begin{cases} \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_1 \rangle = 0 \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_2 \rangle = 0 \end{cases}

 

Sostituiamo ai vettori \mathbf{v},\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2 le rispettive componenti e calcoliamo i prodotti scalari

 

\\ \langle (x_1, x_2, x_3) \ , \ (1,0,0) \rangle = \\ \\ = (x_1)(1)+(x_1)(0)+(x_2)(0)+(x_3)(1)+2(x_3)(0)= \\ \\ = x_1+x_3 \\ \\ \\ \langle (x_1, x_2, x_3) \ , \ (0,-1,3) \rangle = \\ \\ = (x_1)(0)+(x_1)(3)+(x_2)(-1)+(x_3)(0)+2(x_3)(3) = \\ \\ = 3x_1-x_2+6x_3

 

Ricadiamo così nel sistema

 

\begin{cases}x_1+x_3=0 \\ 3x_1-x_2+6x_3=0\end{cases}

 

di cui dobbiamo calcolare una base per lo spazio delle soluzioni. Il rango della matrice incompleta associata è 2, dunque il sistema ammette \infty^{3-2}=\infty^{1} soluzioni.

 

Assegniamo a una delle incognite il ruolo di parametro libero (x_3=\alpha) e ricaviamo il valore delle altre in funzione di \alpha. Dopo qualche semplice conticino si ottiene

 

(x_1,x_2,x_3)=(-\alpha, 3\alpha, \alpha) = \alpha(-1,3,1)

 

dunque

 

\mathcal{B}_{Sol}=\mathcal{B}_{S^{\perp}}=\{(-1,3,1)\}

 

è una base per lo spazio delle soluzioni del sistema e per il sottospazio ortogonale.

 

 

Esempio 4: complemento ortogonale di un sottospazio di polinomi

 

Siano V=\mathbb{R}_2[x], spazio dei polinomi di grado al più 2 nell'indeterminata x, e S il sottospazio di V così definito

 

S=\mbox{Span}(1+x, \ 1+x^2)

 

Calcolare una base per S^{\perp} rispetto al prodotto scalare

 

\langle p(x) , q(x)\rangle = p(0)q(0)+p'(0)q(1)+p(1)q'(0)

 

Svolgimento: i due polinomi che definiscono S ne formano una base, dunque consideriamo un generico elemento di \mathbb{R}_2[x]

 

p(x)=a+bx+cx^2

 

le cui componenti sono riferite alla base canonica di \mathbb{R}^2[x], e svolgiamo i prodotti scalari tra p(x) e i due polinomi che definiscono S.

 

A tal proposito conviene calcolare preventivamente i valori di p(0), \ p'(0),\ p(1)

 

\\ p(0)=a,\\ \\ p(1)=a+b+c,\\ \\ p'(x)=b+2cx\ \to\ p'(0)=b

 

Chiamiamo a(x),b(x) i vettori della base di S

 

a(x)=1+x\ \ \ ;\ \ \ b(x)=1+x^2

 

e calcoliamo le valutazioni richieste dal prodotto scalare in esame:

 

a(0)=1, \ a(1)=1+1=2,\ a'(x)=1\ \to\ a'(0)=1\\ \\ b(0)=1, \ b(1)=1+1=2, \ b'(x)=2x\to\ b'(0)=0

 

A questo punto possiamo calcolare i prodotti scalari tra il generico vettore p(x) e i rispettivi vettori a(x),b(x)

 

\langle p(x),\ a(x)\rangle = \langle a+bx+cx^2, \ 1+x \rangle = \\ \\ =(a)(1)+(b)(2)+(a+b+c)(1) = 2a+3b+c\\ \\ \langle p(x),\ b(x)\rangle =\langle a+bx+cx^2, \ 1+x^2 \rangle = \\ \\ =(a)(1)+(b)(2)+(a+b+c)(0) = a+2b

 

Imponiamo i due prodotti scalari uguali a zero e mettiamoli a sistema

 

\begin{cases}2a+3b+c=0 \\ a+2b=0 \end{cases}

 

Ponendo b=\alpha con \alpha \in \mathbb{R} si ottengono le seguenti soluzioni

 

(a,b,c)=(-2\alpha, \ \alpha, \ \alpha) = \alpha(-2,1,1)\ \ \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}

 

dunque una base per lo spazio delle soluzioni del sistema è

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{(-2,1,1)\}

 

Per ottenere una base di S^{\perp} dobbiamo moltiplicare, ordinatamente, le coordinate del vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori della base canonica di \mathbb{R}^2[x]

 

(-2)(1)+(1)(x)+(1)(x^2) = -2+x+x^2

 

In definitiva

 

\mathcal{B}_{S^{\perp}}=\{-2+x+x^2\}

 

 


 

Per il momento è tutto! Nella prossima lezione vedremo come si definisce e come si calcola la proiezione di un vettore su un sottospazio.

 

Per altri problemi ed esercizi risolti punto per punto vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

Tags: metodo per determinare il complemento ortogonale di un sottospazio - come si calcola una base del sottospazio ortogonale