Complemento ortogonale di un sottospazio

Il complemento ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare è l'insieme dei vettori appartenenti allo spazio e tali da essere ortogonali a tutti i vettori del sottospazio. Un insieme così definito è anche detto sottospazio ortogonale.

 

Immaginiamo di avere uno spazio vettoriale V in cui è definito un prodotto scalare e sia S\subseteq V un suo sottospazio vettoriale. In questa lezione introdurremo il concetto di complemento ortogonale del sottospazio S, solitamente indicato con S^{\perp}, rispetto al prodotto scalare considerato.

 

Proporremo poi una serie di teoremi sul complemento ortogonale, con la relativa dimostrazione, che torneranno utili sia in sede d'esame che per risolvere gli esercizi sul calcolo di una base per il complemento ortogonale di un sottospazio, argomento che affronteremo nel dettaglio nella prossima lezione.

 

Definizione di complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale

 

Sia S\subseteq V un sottospazio di un dato spazio vettoriale V finitamente generato su \mathbb{R} e su cui è definito un prodotto scalare qualsiasi \langle \ , \ \rangle.

 

Definiamo il sottospazio ortogonale di S in V, e lo indichiamo con S^{\perp}, il sottoinsieme di V definito da

 

 

S^{\perp}:=\{\mathbf{v}\in V\mbox{ t.c. }\langle \mathbf{v} , \mathbf{s}\rangle=0\ \ \forall\ \mathbf{s}\in S\}

 

 

In parole povere, il complemento ortogonale di un sottospazio S di V è il sottoinsieme formato da vettori di V ortogonali a tutti i vettori di S.

 

 

Osservazioni

 

Prima di procedere ci teniamo a fare alcune precisazioni.

 

1) Ribadiamo che \langle \ , \ \rangle indica un qualsiasi prodotto scalare su V, dunque non necessariamente il prodotto scalare euclideo.

 

2) La definizione di S^{\perp} può essere generalizzata richiedendo che S sia semplicemente un sottoinsieme di V.

 

3) Alcune fonti usano i termini complemento ortogonale e sottospazio ortogonale come sinonimi, ed è quello che faremo nel seguito. Altri libri di testo usano invece i termini complemento ortogonale quando il prodotto scalare di V è definito positivo, e sottospazio ortogonale in caso contrario.

 

Infine, per prodotti scalari non canonici si suole aggiungere la specifica complemento ortogonale (o sottospazio ortogonale) rispetto al prodotto scalare ... .

 

Teoremi sul complemento ortogonale

 

Enunciamo e dimostriamo una serie di teoremi sul complemento ortogonale, che oltre a essere molto richiesti in sede d'esame ci aiuteranno a risolvere gli esercizi in cui entra in gioco la nozione di sottospazio ortogonale.

 

 

Teorema 1 (Il complemento ortogonale è un sottospazio)

 

Se S è un sottospazio di V, spazio vettoriale sul campo \mathbb{R} munito di un prodotto scalare \langle \ , \ \rangle, allora S^{\perp} è un sottospazio vettoriale di V.

 

Dimostrazione

 

Così come spiegato nella lezione come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale, per dimostrare che S^{\perp} è un sottospazio vettoriale di V dobbiamo verificare che S^{\perp}:

 

- è chiuso rispetto alla somma di vettori, ossia:

 

\forall\ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in S^{\perp}, \ \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \in S^{\perp}

 

- è chiuso rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare, cioè

 

\forall \alpha \in \mathbb{R},\ \forall\ \mathbf{v} \in S^{\perp}, \ \alpha\mathbf{v}\in S^{\perp}

 

Siano allora \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in S^{\perp},\ \alpha \in \mathbb{R}. Per definizione di sottospazio ortogonale e per la linearità del prodotto scalare, per ogni \mathbf{s} \in S si ha

 

\\ (*) \ \langle \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, \mathbf{s}\rangle = \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{s}\rangle + \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{s}\rangle=0+0=0 \\ \\ (**) \ \langle \alpha \mathbf{v}, \mathbf{s}\rangle = \alpha \langle \mathbf{v}, \mathbf{s} \rangle = \alpha 0 = 0

 

Da (*) segue che \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \in S^{\perp}, mentre da (**) segue che \alpha\mathbf{v}\in S^{\perp}, ed è quanto volevamo dimostrare.

 

 

Teorema 2 (Teorema di caratterizzazione del complemento ortogonale)

 

Volendo attenerci alla definizione, per stabilire se un vettore di V appartiene a S^{\perp} dovremmo studiarne l'ortogonalità rispetto a ogni vettore di S, il che sarebbe un'impresa impossibile. Viene però in nostro aiuto il seguente teorema, secondo cui un vettore appartiene a S^{\perp} se e solo se è ortogonale ai vettori di una base di S. Eccone l'enunciato preciso.

 

Siano V uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare \langle \ , \ \rangle, S un sottospazio vettoriale di V e S^{\perp} il relativo complemento ortogonale. Un qualsiasi vettore \mathbf{v} \in V appartiene a S^{\perp} se e solo se \mathbf{v} è ortogonale ai vettori di una base di S.

 

Dimostrazione

 

Siano \mathcal{B}=\{\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, ..., \mathbf{s}_m\} una base di S e \mathbf{v} \in V. Dobbiamo dimostrare che

 

\mathbf{v} \in S^{\perp} \iff \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_i\rangle=0\ \ \forall i\in \{1,2,...,m\}

 

Se \mathbf{v} \in S^{\perp}, per definizione di sottospazio ortogonale \mathbf{v} è ortogonale a ogni vettore di S e quindi, in particolare, è ortogonale ai vettori di \mathcal{B}.

 

Viceversa, supponiamo che per ogni i \in \{1,2,...,m\} risulti che \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_i \rangle = 0.

 

Dobbiamo provare che \mathbf{v} \in S^{\perp}, ossia che \langle \mathbf{v}, \mathbf{s} \rangle = 0 per ogni \mathbf{s} \in S

 

Sia quindi \mathbf{s} \in S. In quanto tale può essere espresso come combinazione lineare dei vettori di \mathcal{B}, cioè esistono a_1, a_2, ..., a_m \in \mathbb{R} tali che

 

\mathbf{s}=a_1 \mathbf{s}_1+a_2 \mathbf{s}_2+...+a_m \mathbf{s}_m

 

di conseguenza

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{s} \rangle = \langle \mathbf{v} , \ a_1 \mathbf{s}_1+a_2 \mathbf{s}_2+...+a_m \mathbf{s}_m\rangle=

 

per la linearità del prodotto scalare rispetto al secondo termine

 

\\ =a_1\langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_1 \rangle + a_2\langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_2 \rangle + ... + a_m\langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_m \rangle=

 

essendo \langle \mathbf{v}, \mathbf{s}_i \rangle = 0 per ogni i \in \{1,2,...,m\}

 

= 0+0+...+0=0

 

Ciò dimostra che \mathbf{v} \in S^{\perp} e la dimostrazione può dirsi conclusa.

 

 

Teorema 3 (Complemento ortogonale di un intero spazio vettoriale)

 

Se \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo su V, il sottospazio ortogonale dell'intero spazio V è il sottospazio banale, cioè se S\subseteq V è un sottospazio vettoriale di V e  S=V, allora S^{\perp}=V^{\perp}=\{\mathbf{0}\}.

 

Dimostrazione

 

Assumendo come ipotesi che S=V e che \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare definito positivo su V, dobbiamo dimostrare che

 

S^{\perp}=V^{\perp}:=\{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } \langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle =0 \ \ \forall \ \mathbf{w} \in V\}=\{\mathbf{0}\}

 

ossia che un qualsiasi elemento del sottospazio ortogonale è necessariamente il vettore nullo.

 

Sia allora \mathbf{v} \in V^{\perp}. Presa una qualsiasi base \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} di V, per il teorema di caratterizzazione dimostrato in precedenza il prodotto scalare tra \mathbf{v} e un qualsiasi elemento della base di V deve essere nullo

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_i \rangle=0\ \ \ \forall i\in\{1,2,...,n\}

 

D'altra parte \mathbf{v} \in V, quindi si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base scelta, cioè esistono a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{R} tali che

 

\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n

 

Supponiamo senza ledere in generalità che \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} sia una base ortonormale per V. Se non lo fosse basterebbe ortonormalizzarla con il processo di Gram-Schmidt.

 

Nelle n equazioni

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_i \rangle=0\ \ \ \forall i\in\{1,2,...,n\}

 

sostituiamo \mathbf{v} con la combinazione lineare precedentemente scritta

 

\langle a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n \ , \ \mathbf{v}_i \rangle=0\ \ \ \forall i\in\{1,2,...,n\}

 

Per la linearità del prodotto scalare possiamo riscriverla come

 

a_1\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_i \rangle+a_2\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_i \rangle+...+a_n\langle \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_i \rangle=0\ \ \ \forall i\in\{1,2,...,n\}

 

Per l'ortonormalità della base

 

\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \begin{cases}0 \mbox{ se } i \neq j \\ 1 \mbox{ se } i=j\end{cases}

 

Le precedenti equazioni si traducono in

 

a_i\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i \rangle=0\ \ \ \forall i\in\{1,2,...,n\}

 

Essendo \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} una base ortonormale

 

\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i \rangle=1\ \ \ \forall i\in\{1,2,...,n\}

 

dunque necessariamente

 

a_i=0\ \ \ \forall i\in\{1,2,...,n\}

 

In definitiva, possiamo concludere che:

 

\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+...+a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}

 

cioè un qualsiasi vettore di \mathbf{v} \in S^{\perp} è necessariamente il vettore nullo, e quindi S^{\perp}=\{\mathbf{0}\}.

 

 

Osservazione: avremmo potuto dimostrare il teorema molto più velocemente osservando che se \langle \ , \ \rangle è definito positivo allora è non degenere, e quindi il radicale del prodotto scalare è banale, ossia V^{\perp}=\{\mathbf{0}\}.

 

Da questa dimostrazione risulta inoltre evidente che il precedente teorema vale per qualsiasi prodotto scalare non degenere su V.

 

 

Teorema 4 (Somma diretta di un sottospazio col suo complemento ortogonale)

 

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo \mathbb{R}, in cui è stato definito un prodotto scalare definito positivo. Se S è un sottospazio di V allora V è somma diretta tra il sottospazio e il relativo complemento ortogonale, ossia

 

V=S\oplus S^{\perp}

 

In particolare, se la dimensione di S è uguale a k, allora

 

\mbox{dim}(S^{\perp})=n-k

 

Dimostrazione

 

Per definizione di somma diretta, per dimostrare l'asserto dobbiamo verificare che S \cap S^{\perp} = \{\mathbf{0}\} e che V=S+S^{\perp}.

 

Sia \mathbf{u} \in S \cap S^{\perp}. Poiché \mathbf{u} \in S e \mathbf{u}\in S^{\perp}, per definizione di complemento ortogonale \mathbf{u} è ortogonale a se stesso, cioè \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = 0.

 

Ciò vuol dire che \mathbf{u} ha norma nulla, per cui \mathbf{u}=\mathbf{0}.

 

Dimostriamo ora che V=S+S^{\perp}, cioè che ogni \mathbf{v} \in V si può scrivere come somma tra un elemento di S e un elemento di S^{\perp}.

 

S è un sottospazio di uno spazio vettoriale finitamente generato, dunque S ha dimensione finita e per un corollario del teorema di Gram-Schmidt ammette una base ortonormale; sia essa \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_k\}.

 

Per il teorema di completamento a base possiamo completarla a una base ortonormale di V, che indichiamo con \{\mathbf{u}_1, \ \mathbf{u}_2, ..., \mathbf{u}_k, \mathbf{u}_{k+1}, ..., \mathbf{u}_n\}.

 

Sia ora \mathbf{v} \in V. Per definizione di base esistono gli scalari a_1,a_2,...,a_k,a_{k+1},...,a_{n} \in \mathbb{R} tali che

 

\mathbf{v}=a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2+...+a_k\mathbf{u}_k+a_{k+1}\mathbf{u}_{k+1}+...+a_{n} \mathbf{u}_n

 

Poniamo

 

\\ \mathbf{s}:=a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2+...+a_k\mathbf{u}_k \\ \\ \mathbf{s}^{\perp}:=a_{k+1}\mathbf{u}_{k+1}+...+a_{n} \mathbf{u}_n

 

e osserviamo che:

 

\mathbf{s} \in S, infatti è un vettore espresso come combinazione lineare degli elementi di una base di S;

 

\mathbf{s}^{\perp} \in S^{\perp}, in quanto per definizione di base ortogonale \langle \mathbf{s}^{\perp}, \mathbf{u}_i \rangle = 0 per ogni i\in\{1,2,...,k\}.

 

Essendo \mathbf{s}^{\perp} ortogonale a ogni vettore della base di S, è un elemento di S^{\perp}.

 

Abbiamo così dimostrato che

 

\mathbf{v}=\mathbf{s} + \mathbf{s}^{\perp} \in S+S^{\perp}

 

Dall'arbitrarietà della scelta di \mathbf{v} \in V segue che V=S+S^{\perp}, e di conseguenza V=S\oplus S^{\perp}.

 

Infine, da uno dei teoremi sulla somma diretta sappiamo che la dimensione di V è pari alla somma delle dimensioni dei sottospazi di cui è somma diretta, cioè

 

\mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(S)+\mbox{dim}(S^{\perp})

 

e quindi

 

\mbox{dim}(S^{\perp})=\mbox{dim}(V)-\mbox{dim}(S)=n-k.

 

 

Corollario del teorema 4 (Somma diretta di un sottospazio di \mathbb{R}^n col suo complemento ortogonale)

 

Se S è un sottospazio di \mathbb{R}^n e il prodotto scalare considerato è il prodotto scalare euclideo (o in generale un qualsiasi prodotto scalare definito positivo), allora \mathbb{R}^n è somma diretta tra S e il relativo complemento ortogonale, ossia

 

\mathbb{R}^n=S\oplus S^{\perp}

 

La tesi segue dal teorema precedente osservando che \mathbb{R}^n è uno spazio vettoriale definito su \mathbb{R} e che il prodotto scalare euclideo è un prodotto scalare definito positivo.

 

 


 

Per il momento è tutto! Nella prossima lezione passeremo all'atto pratico vedendo come si calcola una base per il complemento ortogonale di un sottospazio e torneranno utili molti dei teoremi enunciati in questa lezione.

 

Per eventuali dubbi vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e potete trovare quello che vi serve tra le migliaia di risposte fornite dello Staff. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.....Lezione successiva

 
 

Tags: nozione di complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale - teoremi sul complemento ortogonale.