Norma indotta da un prodotto scalare
La norma indotta da un prodotto scalare è una particolare applicazione che a ogni vettore dello spazio su cui è definito il prodotto scalare associa un numero reale positivo o, al più, nullo.
In questa lezione spiegheremo tutto quello che c'è da sapere sulla nozione di norma definita da un prodotto scalare. Partiremo dalla definizione, per poi vedere qualche esempio ed elencare e dimostrare le proprietà della norma, tra cui spiccano la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la disuguaglianza triangolare.
Proseguiremo mostrando come normalizzare un vettore e introducendo il concetto di base ortonormale, corredando il tutto con numerosi esempi.
Nota bene: la nozione di norma indotta che stiamo per presentarvi si riferisce a un prodotto scalare qualsiasi, dunque non solo al prodotto scalare canonico, né solamente alla classica norma euclidea che già conosciamo. ;)
Definizione di norma indotta da un prodotto scalare
Siano uno spazio vettoriale su
e
un prodotto scalare su
definito positivo.
Prende il nome di norma indotta dal prodotto scalare la funzione
Molto semplicemente, se è un prodotto scalare definito positivo su
, la norma indotta da tale prodotto scalare associa a ogni vettore
il numero reale ottenuto dalla radice quadrata del prodotto scalare di
con se stesso.
Esempi di norma indotta da un prodotto scalare e di norma di un vettore
1) Consideriamo il seguente prodotto scalare definito positivo su
La norma indotta da questo prodotto scalare è l'applicazione
che a ogni associa lo scalare
Ad esempio, se
2) Sia lo spazio dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2, e consideriamo il prodotto scalare
La norma da esso indotta è
Supponiamo di voler calcolare la norma del polinomio
Calcoliamo le valutazioni richieste dalla definizione del prodotto scalare in questione
ragion per cui
3) Mettiamoci in , spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, e prendiamo il prodotto scalare
dove con indichiamo la matrice trasposta di
e con
denotiamo la traccia di una matrice.
La norma indotta dal suddetto prodotto è la seguente
Per fissare le idee consideriamo
allora
Svolgendo il prodotto riga per colonna tra si ottiene
di conseguenza
Proprietà della norma
Siano uno spazio vettoriale reale,
un prodotto scalare definito positivo su
la norma indotta da
. Valgono le seguenti proprietà:
(A) La norma di un vettore è zero se e soltanto se il vettore è quello nullo
(B) La norma di ogni vettore non nullo è positiva
(C) La norma del prodotto tra un vettore e uno scalare è uguale al valore assoluto dello scalare per la norma del vettore
(D) Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: il valore assoluto del prodotto scalare tra due vettori è minore o al più uguale del prodotto delle rispettive norme
L'uguaglianza vale se e soltanto se e
sono linearmente dipendenti tra loro.
(E) Disuguaglianza triangolare: la norma della somma di due vettori è minore o uguale della somma delle norme
Dimostrazione delle proprietà della norma
Le proprietà (A) e (B) si dimostrano molto velocemente e in un colpo solo.
Per ipotesi è un prodotto scalare definito positivo su
, quindi per ogni
con
il prodotto scalare
è positivo, ed è uguale a zero se e soltanto se
di conseguenza
e quindi vale (A).
Inoltre, per ogni con
risulta
e abbiamo così dimostrato anche la proprietà (B).
(C) Passiamo ora alla proprietà (C), secondo cui
Siano e
. Per definizione di norma
Dalla bilinearità del prodotto scalare segue che
e anche la proprietà (C) è verificata.
(D) Proseguiamo con la dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Anzitutto osserviamo che se , allora
per ogni vale allora l'uguaglianza
Lo stesso identico ragionamento può essere ripetuto per , dunque la disuguaglianza di Cauchy Schwarz è verificata se almeno uno dei due vettori è nullo.
Supponiamo allora che sia che
siano diversi dal vettore nullo e osserviamo che per ogni
:
per la linearità del prodotto scalare rispetto al primo termine
per la linearità del prodotto scalare rispetto al secondo termine
per la simmetria del prodotto scalare
Abbiamo così dimostrato che per ogni
Avendo assunto che sia siamo certi che
sia diverso da zero. D'altro canto i precedenti passaggi valgono per qualsiasi
, e quindi possiamo considerare nello specifico
Sostituendo in e svolgendo le dovute semplificazioni ricaviamo che
ossia
Spostiamo il termine fratto a primo membro
Moltiplichiamo ambo i membri della disequazione per , che è una quantità positiva e quindi non cambia il verso della disequazione
Estraendo la radice quadrata otteniamo
e la disuguaglianza di Cauchy Schwarz è dimostrata.
Osserviamo infine che l'uguaglianza vale se e soltanto se , ossia se e solo se
e
sono linearmente dipendenti.
(E) Concludiamo con la dimostrazione della disuguaglianza triangolare
Fissiamo e
e osserviamo che
per linearità rispetto al primo termine
per linearità rispetto al secondo termine
per simmetria
per definizione di norma
Ora, dalla disuguaglianza di Cauchy Schwarz sappiamo che
quindi
Abbiamo così provato che
ed estraendo la radice quadrata si ottiene la tesi
Normalizzazione di un vettore
Sia uno spazio vettoriale reale su cui è definito un prodotto scalare definito positivo
.
La normalizzazione di un vettore è una procedura che permette di passare da un vettore con
a un nuovo vettore
di norma 1, e che sia linearmente dipendente con
, ossia tale che differisca da
a meno di un multiplo scalare.
In altri termini, normalizzare un vettore non nullo vuol dire determinare il vettore
che abbia norma 1 e che dipenda linearmente da
.
I passi da seguire per normalizzare un vettore di uno spazio vettoriale
su cui è definito un prodotto scalare definito positivo
sono i seguenti:
- calcolare la norma di ;
- moltiplicare il vettore per il reciproco della norma di
.
Il vettore normalizzato di è dato dalla formula
Esempi sulla normalizzazione dei vettori
1) Siano e
il prodotto scalare euclideo. Normalizzare il vettore
.
Svolgimento: calcoliamo la norma di
e moltiplichiamo per il reciproco della norma, ottenendo così il vettore normalizzato
Volendo verificare la correttezza del risultato ottenuto è sufficiente calcolare la norma di e vedere che è 1.
2) Normalizzare il vettore rispetto al prodotto scalare
Svolgimento: Il vettore cercato è
quindi calcoliamo la norma di
In definitiva
3) Normalizzare il polinomio
rispetto alla norma indotta dal seguente prodotto scalare
Svolgimento: il polinomio da normalizzare è
la cui derivata prima è
Per facilitare i calcoli determiniamo preventivamente le valutazioni richieste dalla definizione
quindi
Il vettore normalizzato cercato è
Vettori ortonormali e base ortonormale
Se ben ricordate, un prodotto scalare definito su uno spazio vettoriale
finitamente generato ci ha permesso di introdurre i concetti di vettori ortogonali e di base ortogonale. Richiamiamone brevemente le definizioni.
sono vettori ortogonali rispetto a un fissato prodotto scalare
se
è una base ortogonale di
rispetto a un fissato prodotto scalare
se
La norma indotta da un prodotto scalare definito positivo ci permette di fare un passo avanti e introdurre le nozioni di vettori ortonormali e di base ortonormale:
- due o più vettori di si dicono tra loro ortonormali se sono tra loro ortogonali e ciascuno di essi ha norma 1;
- una base ortonormale è una base di composta da vettori ortonormali tra loro.
Esempi di vettori ortonormali e di basi ortonormali rispetto a un prodotto scalare qualsiasi
1) La base canonica di
è una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico.
2) Sia , su cui prendiamo il prodotto scalare
I polinomi
sono ortonormali, infatti hanno norma 1
e il loro prodotto scalare è zero
3) In riferimento al prodotto scalare
l'insieme formato dai vettori
è una base ortonormale di , infatti il loro prodotto scalare è zero
e la norma di ciascun vettore è 1, ma lasciamo a voi il compito di verificarlo. ;)
Perché la norma indotta da un prodotto scalare richiede la definita positività?
Sebbene non rientri tra le conoscenze di un corso base di Algebra Lineare, ci teniamo a spiegare come mai la norma indotta da un prodotto scalare viene definita per i soli prodotti scalari definiti positivi.
In generale una norma su uno spazio vettoriale è una funzione da
in
che a ogni vettore associa il numero reale (positivo o al più nullo)
che verifica le seguenti condizioni:
Omogeneità:
Disuguaglianza triangolare:
Se è un prodotto scalare qualsiasi su
, e se definiamo la norma così come in questa lezione
è immediato osservare che:
- se fosse semidefinito positivo, ma non definito, allora la prima proprietà non sarebbe verificata, infatti esisterebbe almeno un vettore non nullo di norma 0;
- se fosse indefinito o semidefinito negativo, non sarebbe garantita la non negatività del radicando di
, pregiudicando il senso stesso dell'espressione.
Ecco quindi perché nel definire la norma indotta si assume come ipotesi che il prodotto scalare sia definito positivo.
Precisiamo che, nel prosieguo del vostro percorso di studi, potreste imbattervi in contesti nei quali è necessario definire una norma a partire da un prodotto scalare che non è definito positivo. L'esposizione dettagliata di questa tipologia di norme richiede, purtroppo, molti prerequisiti che non trovano posto in un corso di Algebra lineare di base, ecco perché preferiamo glissare.
È tutto! I concetti di base ortogonale e di base ortonormale giocheranno un ruolo da protagonista nella prossima lezione. Con l'ausilio dell'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt vedremo come costruire una base ortogonale e una base ortonormale a partire da un insieme di vettori linearmente indipendenti.
Buon proseguimento su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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