Prodotto scalare degenere e radicale di un prodotto scalare

Un prodotto scalare è non degenere se il vettore nullo dello spazio vettoriale reale su cui è definito il prodotto scalare è l'unico vettore ortogonale a ogni vettore dello spazio, mentre si dice degenere in caso contrario, cioè se esiste almeno un vettore diverso da quello nullo che è ortogonale a ogni vettore dello spazio.

 

In questa lezione daremo le definizioni di prodotto scalare degenere e di prodotto scalare non degenere, forniremo qualche esempio e introdurremo il concetto di radicale (o nucleo) di un prodotto scalare. Fatto ciò vedremo come si calcolano dimensione e base del radicale e forniremo un metodo pratico per stabilire se un prodotto scalare è degenere.

 

Concluderemo mostrando il legame tra le nozioni di prodotto scalare degenere / non degenere e il segno di un prodotto scalare.

 

Prodotto scalare degenere e non degenere

 

Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su \mathbb{R} e \langle \ , \ \rangle: V \times V \to \mathbb{R} un prodotto scalare su V.

 

\langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare degenere se esiste almeno un vettore non nullo di V che moltiplicato scalarmente per qualsiasi vettore di V dà zero

 

 

\exists \ \mathbf{v} \in V, \ \mathbf{v}\neq \mathbf{0}, \mbox{ t.c. } \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0\  \ \forall \ \mathbf{w} \in V

 

 

\langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare non degenere se il vettore nullo di V è l'unico che moltiplicato scalarmente per qualsiasi vettore di V dà zero

 

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 \ \ \forall \ \mathbf{w} \in V \Rightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0}

 

 

Ricordiamo che due vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V sono vettori ortogonali rispetto a un assegnato prodotto scalare \langle \ , \ \rangle se e solo se, per definizione, il prodotto scalare tra i due vettori è nullo: \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0.

 

Possiamo allora affermare che \langle \ , \ \rangle è:

 

- degenere, se esiste almeno un vettore diverso da quello nullo che è ortogonale a ogni vettore di V;

 

- non degenere, se lo zero di V è l'unico vettore ortogonale a ogni vettore di V.

 

 

Esempi di prodotti scalari degeneri e non degeneri

 

1) Il prodotto scalare canonico su \mathbb{R}^n

 

\\ \cdot: \ \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \\ \\ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n

 

è non degenere.

 

Per convincersene è sufficiente fissare un vettore \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^n e osservare che se il prodotto scalare \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} fosse nullo per ogni \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n, allora dovrebbe essere nullo anche \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}.

 

In altri termini risulterebbe:

 

\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = 0\\ \\ x_1x_1+x_2x_2+...+x_nx_n=0\\ \\ x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=0

 

Da ciò segue che x_1=x_2=...=x_n=0, e quindi \mathbf{x}=\mathbf{0}.

 

Abbiamo così provato che, rispetto al prodotto scalare canonico, il vettore nullo di \mathbb{R}^n è l'unico ortogonale a ogni vettore di \mathbb{R}^n, per cui \cdot è non degenere.

 

 

2) Il prodotto scalare definito da

 

\\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\\ \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+v_3w_3

 

è un prodotto scalare degenere, infatti per ogni \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) \in \mathbb{R}^3:

 

\langle (1,-1,0) \ , \ (w_1,w_2,w_3)\rangle=w_1+w_2-w_1-w_2+0=0

 

Da qui si capisce che \mathbf{v}=(1,-1,0) \in \mathbb{R}^3 è un vettore non nullo che è ortogonale a tutti i vettori di V, di conseguenza il prodotto scalare è degenere.

 

Nucleo o radicale di un prodotto scalare

 

Come di consueto consideriamo uno spazio vettoriale V su \mathbb{R}, e sia \langle \ , \ \rangle: V \times V \to \mathbb{R} un prodotto scalare su V.

 

Definiamo il seguente insieme, detto nucleo, o radicale di un prodotto scalare:

 

V^{\perp}:=\{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 \ \forall \ \mathbf{w} \in V\}

 

In parole povere, il radicale di un prodotto scalare su V è l'insieme formato dai vettori di V che sono ortogonali a tutti i vettori di V.

 

Dalle proprietà dei prodotti scalari sappiamo che

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{0}_V \rangle = \langle \mathbf{0}_V, \mathbf{v} \rangle = 0\ \ \forall \ \mathbf{v} \in V

 

dunque \mathbf{0}_V \in V^{\perp}, ossia il radicale di un prodotto scalare qualsiasi contiene sempre il vettore nullo di V.

 

Si dimostra abbastanza agevolmente che il radicale di un prodotto scalare è un sottospazio vettoriale di V, infatti se \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V^{\perp} e \alpha \in \mathbb{R}, allora per ogni \mathbf{w} \in V

 

\\ \langle \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2, \mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{w} \rangle + \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w} \rangle = 0 + 0 = 0 \\ \\ \langle \alpha \mathbf{v}_1, \mathbf{w} \rangle = \alpha \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{w} \rangle = \alpha 0 = 0

 

Da ciò segue che \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 e \alpha \mathbf{v}_1 appartengono a V^{\perp}, ossia V^{\perp} è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra vettori e di prodotto vettore scalare, e quindi è un sottospazio vettoriale.

 

Dimensione e base del radicale di un prodotto scalare

 

Abbiamo appena dimostrato che il radicale di un prodotto scalare su V è un sottospazio vettoriale di V, e in quanto tale è uno spazio vettoriale. È quindi del tutto lecito parlare di dimensione e base del radicale di un prodotto scalare, che possiamo calcolare in due modi.

 

 

Primo metodo

 

Il primo procedimento prevede di attenersi alla definizione di radicale

 

V^{\perp}=\{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0\ \ \forall\ \mathbf{w} \in V\}

 

e si basa sulla seguente osservazione: una base di uno spazio vettoriale ne individua in modo univoco tutti i vettori. Sfruttando le proprietà che caratterizzano i prodotti scalari, possiamo individuare i vettori del nucleo di \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle come tutti e soli i vettori ortogonali a tutti i vettori di una base dello spazio.

 

Fissiamo

 

\mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}

 

ne segue che un generico vettore di V

 

\mathbf{v} = x_1\mathbf{v}_1 + x_2\mathbf{v}_2 + ... + x_n\mathbf{v}_n

 

appartiene a V^{\perp} se e solo se \mathbf{v} è ortogonale a ogni vettore della base \mathcal{B}_V.

 

Per calcolare la dimensione e una base del radicale dobbiamo calcolare i prodotti scalari tra \mathbf{v} e ogni vettore di \mathcal{B}_V e imporre che siano tutti nulli

 

\begin{cases} \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_1 \rangle = 0 \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_2 \rangle=0 \\ \vdots \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_n\rangle=0\end{cases}

 

Tale sistema equivale a un sistema lineare omogeneo le cui incognite sono x_1,x_2,...,x_n, ossia le coordinate rispetto alla base \mathcal{B}_V del vettore \mathbf{v}.

 

Si procede determinando una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo, che indichiamo con

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, ..., \mathbf{s}_k\}\ \ \mbox{ con } k \le n

 

Ogni vettore di \mathcal{B}_{Sol} è un vettore di coordinate rispetto alla base \mathcal{B}_V, quindi i vettori di una base del radicale V^{\perp} si ottengono moltiplicando ordinatamente le coordinate di ciascun vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori di \mathcal{B}_V.

 

 

Secondo metodo

 

Il secondo procedimento che vi proponiamo per il calcolo di dimensione e base del radicale prevede l'utilizzo della matrice associata al prodotto scalare e, a conti fatti, è lo stesso che viene usato per determinare la dimensione e una base del nucleo di un'applicazione lineare.

 

Fissata una base \mathcal{B}_V di V, calcoliamo la matrice A rappresentativa del prodotto scalare rispetto a tale base.

 

Consideriamo quindi un generico vettore \mathbf{v} \in V e sia (x_1, x_2, ..., x_n)^T il vettore colonna delle coordinate di \mathbf{v} riferite alla base \mathcal{B}_V.

 

A questo punto impostiamo l'equazione matriciale

 

A \mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{R}^n}

 

dove n è la dimensione dello spazio vettoriale V.

 

Svolgendo il prodotto riga per colonna tra A e il vettore colonna \mathbf{x} si ricade in un sistema lineare omogeneo nelle incognite x_1,x_2,...,x_n e la matrice dei coefficienti a essa associata è proprio A.

 

Dalla teoria sui sistemi lineari, e in particolare dal teorema di Rouché Capelli, sappiamo che:

 

- se \mbox{det}(A) \neq 0, allora il sistema ammette la sola soluzione banale, quindi il radicale è formato dal solo vettore nullo, e non ha senso proseguire.

 

- se \mbox{det}(A) = 0 il sistema ammette \infty^{n-\mbox{rk}(A)} soluzioni; calcoliamo una base dello spazio delle soluzioni di questo sistema, che indichiamo ancora una volta con

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, ..., \mathbf{s}_k\}\ \ \mbox{ con } k \le n

 

Ogni vettore di \mathcal{B}_{Sol} è un vettore di coordinate riferite a \mathcal{B}_V, quindi i vettori di una base di V^{\perp} si ricavano moltiplicando ordinatamente le coordinate di ciascun vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori di \mathcal{B}_V.

 

Esempi sul calcolo di dimensione e base del radicale di un prodotto scalare

 

1) [Primo metodo] Consideriamo il seguente prodotto scalare su V=\mathbb{R}^2:

 

\\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\\ \\ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2

 

Fissiamo una qualsiasi base di \mathbb{R}^2, ad esempio

 

\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}=\{(1,1), \ (0,3)\}

 

e consideriamo un generico vettore di V

 

\mathbf{v}=x_1 \mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2 = x_1(1,1)+x_2(0,3)=(x_1, x_1+3x_2)

 

Ovviamente optare per la base canonica di \mathbb{R}^2 sarebbe stata la scelta più comoda, ma vogliamo mettere in evidenza che i metodi esposti valgono per qualsiasi base.

 

Svolgiamo i prodotti scalari

 

\\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_1 \rangle = \langle (x_1, \ x_1+3x_2), \ (1,1) \rangle = \\ \\ = (x_1)(1)+(x_1)(1)+(x_1+3x_2)(1)+(x_1+3x_2)(1) = \\ \\ = x_1+x_1+x_1+3x_2+x_1+3x_2= \\ \\ = 4x_1+6x_2 \\ \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_2 \rangle = \langle (x_1, \ x_1+3x_2), \ (0,3) \rangle = \\ \\ = (x_1)(0)+(x_1)(3)+(x_1+3x_2)(0)+(x_1+3x_2)(3) = \\ \\ = 3x_1+3x_1+9x_2= \\ \\ = 6x_1+9x_2

 

Determiniamo una base e la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

\begin{cases} \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_1 \rangle=0 \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_2 \rangle=0 \end{cases} \to \begin{cases}4x_1+6x_2=0 \\ 6x_1+9x_2=0\end{cases} \to \begin{cases}2x_1+3x_2=0 \\ 2x_1+3x_2=0\end{cases}

 

Le due equazioni che lo definiscono sono identiche, il che ci porta a concludere immediatamente che il sistema ammette \infty^1 soluzioni date da

 

(x_1,x_2)=\left(\alpha, -\frac{2}{3}\alpha\right)=\alpha\left(1,-\frac{2}{3}\right)\ \ \mbox{ con } \alpha \in \mathbb{R}

 

di conseguenza una base dello spazio delle soluzioni del sistema è

 

\mathcal{B}_{Sol}=\left\{\left(1,-\frac{2}{3}\right)\right\}

 

Una base del radicale si ottiene moltiplicando, ordinatamente, le componenti del vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori della base \mathcal{B} \mbox{ di } V

 

(1)(1,1)+\left(-\frac{2}{3}\right)(0,3) = (1,1)+(0,-2)=(1,-1)

 

In definitiva

 

\mathcal{B}_{V^{\perp}}=\{(1,-1)\}

 

è una base del radicale V^{\perp}, la cui dimensione è 1.

 

 

2) [Secondo metodo] Calcolare una base del nucleo del prodotto scalare

 

\\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \\ \\ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+3x_3y_3

 

Con il metodo della matrice associata conviene fissare la base canonica di \mathbb{R}^3. In questo modo l'elemento a_{ij} della matrice rappresentativa A è uguale al coefficiente di x_iy_j e quindi

 

A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&-1 \\ 0&-1&3\end{pmatrix}

 

Prima di procedere oltre calcoliamo il determinante di A, procedendo con lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga, o alla prima colonna.

 

\mbox{det}(A)= \mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&-1 \\ 0&-1&3\end{pmatrix} = 1 \ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&-1 \\ -1&3\end{pmatrix} = (1)(6-1)= 5 \neq 0

 

Poiché il determinante della matrice associata è diverso da zero, possiamo concludere che la dimensione del radicale è zero e che, quindi

 

V^{\perp}=\{\mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}\}

 

Come stabilire se un prodotto scalare è degenere o non degenere

 

Basandoci sul concetto di radicale possiamo fornire una nuova definizione di prodotto scalare degenere e non degenere, del tutto equivalente alla precedente.

 

Un prodotto scalare su V è non degenere se il radicale è formato dal solo vettore nullo di V, degenere in caso contrario.

 

In definitiva, per verificare se un prodotto scalare \langle \ , \ \rangle su V è degenere o non degenere è sufficiente fissare una base di V e calcolare la matrice A rappresentativa di \langle \ , \ \rangle rispetto a tale base:

 

- se \mbox{det}(A)\neq 0, il prodotto scalare è non degenere;

 

- se \mbox{det}(A)=0, il prodotto scalare è degenere.

 

 

Esempi

 

1) Il prodotto scalare canonico in \mathbb{R}^n è non degenere in quanto la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica è la matrice identità di ordine n, che ha determinante diverso da zero.

 

2) Il prodotto scalare

 

\\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\\ \\ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3

 

è degenere, difatti la sua matrice rappresentativa rispetto alla base canonica è

 

A=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}

 

e il suo determinante è 0.

 

Legame tra prodotto scalare degenere e segno di un prodotto scalare

 

Concludiamo questa lezione mettendo in evidenza le relazioni che intercorrono tra le definizioni di prodotto scalare degenere / non degenere e il segno di un prodotto scalare.

 

- Ogni prodotto scalare definito (positivo o negativo) è non degenere.

 

Per dimostrarlo è sufficiente tenere presente il teorema secondo cui il prodotto degli autovalori di una matrice uguaglia il determinante di quest'ultima e ricordare che la matrice associata a un prodotto scalare definito positivo o definito negativo (rispetto a qualsiasi base) ha tutti gli autovalori diversi da zero, per cui il loro prodotto è non nullo.

 

- Ogni prodotto scalare semidefinito, ma non definito, è degenere.

 

Per convincersene è sufficiente tener presente che la matrice associata a un prodotto scalare semidefinito, ma non definito, rispetto a una qualsiasi base, ha almeno un autovalore nullo, di conseguenza sarà nullo anche il determinante della matrice associata.

 

Nota bene: in entrambi i casi non valgono le implicazioni inverse. Non è detto che un prodotto scalare non degenere sia necessariamente definito (positivo o negativo), così come nulla ci assicura che un prodotto scalare degenere sia necessariamente semidefinito.

 

- Per il prodotto indefinito non possiamo dire nulla a priori, e potrebbe essere degenere o non degenere.

 

 


 

Abbiamo detto davvero tutto quello che c'è da sapere sui prodotti scalari degeneri e non degeneri. La prossima lezione è dedicata alla nozione di norma indotta da un prodotto scalare, dove spiegheremo come calcolare la norma di un vettore rispetto a un qualsiasi prodotto scalare.

 

Per altri esercizi svolti e spiegati punto per punto sui prodotti scalari degeneri e non degeneri e sul calcolo di dimensione e base del radicale potete usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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