Prodotto scalare degenere e radicale di un prodotto scalare

Un prodotto scalare è non degenere se il vettore nullo dello spazio vettoriale reale su cui è definito il prodotto scalare è l'unico vettore ortogonale a ogni vettore dello spazio, mentre si dice degenere in caso contrario, cioè se esiste almeno un vettore diverso da quello nullo che è ortogonale a ogni vettore dello spazio.

In questa lezione daremo le definizioni di prodotto scalare degenere e di prodotto scalare non degenere, forniremo qualche esempio e introdurremo il concetto di radicale (o nucleo) di un prodotto scalare. Fatto ciò vedremo come si calcolano dimensione e base del radicale e forniremo un metodo pratico per stabilire se un prodotto scalare è degenere.

Concluderemo mostrando il legame tra le nozioni di prodotto scalare degenere / non degenere e il segno di un prodotto scalare.

Prodotto scalare degenere e non degenere

Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su R e langle , rangle: V×V → R un prodotto scalare su V.

langle , rangle è un prodotto scalare degenere se esiste almeno un vettore non nullo di V che moltiplicato scalarmente per qualsiasi vettore di V dà zero

∃ v ∈ V, v ≠ 0, t.c. langle v, w rangle = 0 ∀ w ∈ V

langle , rangle è un prodotto scalare non degenere se il vettore nullo di V è l'unico che moltiplicato scalarmente per qualsiasi vettore di V dà zero

langle v, w rangle = 0 ∀ w ∈ V ⇒ v = 0

Ricordiamo che due vettori v, w ∈ V sono vettori ortogonali rispetto a un assegnato prodotto scalare langle , rangle se e solo se, per definizione, il prodotto scalare tra i due vettori è nullo: langle v, w rangle = 0.

Possiamo allora affermare che langle , rangle è:

- degenere, se esiste almeno un vettore diverso da quello nullo che è ortogonale a ogni vettore di V;

- non degenere, se lo zero di V è l'unico vettore ortogonale a ogni vettore di V.

Esempi di prodotti scalari degeneri e non degeneri

1) Il prodotto scalare canonico su R^n

·: R^n×R^n → R ; x·y = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n

è non degenere.

Per convincersene è sufficiente fissare un vettore x = (x_1,x_2,...,x_n) ∈ R^n e osservare che se il prodotto scalare x·y fosse nullo per ogni y ∈ R^n, allora dovrebbe essere nullo anche x·x.

In altri termini risulterebbe:

x·x = 0 ; x_1x_1+x_2x_2+...+x_nx_n = 0 ; x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 = 0

Da ciò segue che x_1 = x_2 = ... = x_n = 0, e quindi x = 0.

Abbiamo così provato che, rispetto al prodotto scalare canonico, il vettore nullo di R^n è l'unico ortogonale a ogni vettore di R^n, per cui · è non degenere.

2) Il prodotto scalare definito da

langle , rangle: R^3×R^3 → R ; langle v, w rangle = v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+v_3w_3

è un prodotto scalare degenere, infatti per ogni w = (w_1,w_2,w_3) ∈ R^3:

langle (1,-1,0) , (w_1,w_2,w_3) rangle = w_1+w_2-w_1-w_2+0 = 0

Da qui si capisce che v = (1,-1,0) ∈ R^3 è un vettore non nullo che è ortogonale a tutti i vettori di V, di conseguenza il prodotto scalare è degenere.

Nucleo o radicale di un prodotto scalare

Come di consueto consideriamo uno spazio vettoriale V su R, e sia langle , rangle: V×V → R un prodotto scalare su V.

Definiamo il seguente insieme, detto nucleo, o radicale di un prodotto scalare:

V^(perp): = v ∈ V t.c. langle v, w rangle = 0 ∀ w ∈ V

In parole povere, il radicale di un prodotto scalare su V è l'insieme formato dai vettori di V che sono ortogonali a tutti i vettori di V.

Dalle proprietà dei prodotti scalari sappiamo che

langle v, 0_V rangle = langle 0_V, v rangle = 0 ∀ v ∈ V

dunque 0_V ∈ V^(perp), ossia il radicale di un prodotto scalare qualsiasi contiene sempre il vettore nullo di V.

Si dimostra abbastanza agevolmente che il radicale di un prodotto scalare è un sottospazio vettoriale di V, infatti se v_1, v_2 ∈ V^(perp) e α ∈ R, allora per ogni w ∈ V

langle v_1+v_2, w rangle = langle v_1, w rangle+ langle v_2, w rangle = 0+0 = 0 ; langle α v_1, w rangle = α langle v_1, w rangle = α 0 = 0

Da ciò segue che v_1+v_2 e α v_1 appartengono a V^(perp), ossia V^(perp) è chiuso rispetto alle operazioni di somma tra vettori e di prodotto vettore scalare, e quindi è un sottospazio vettoriale.

Dimensione e base del radicale di un prodotto scalare

Abbiamo appena dimostrato che il radicale di un prodotto scalare su V è un sottospazio vettoriale di V, e in quanto tale è uno spazio vettoriale. È quindi del tutto lecito parlare di dimensione e base del radicale di un prodotto scalare, che possiamo calcolare in due modi.

Primo metodo

Il primo procedimento prevede di attenersi alla definizione di radicale

V^(perp) = v ∈ V t.c. langle v, w rangle = 0 ∀ w ∈ V

e si basa sulla seguente osservazione: una base di uno spazio vettoriale ne individua in modo univoco tutti i vettori. Sfruttando le proprietà che caratterizzano i prodotti scalari, possiamo individuare i vettori del nucleo di langle v, w rangle come tutti e soli i vettori ortogonali a tutti i vettori di una base dello spazio.

Fissiamo

mathcalB_V = v_1, v_2, ..., v_n

ne segue che un generico vettore di V

v = x_1v_1+x_2v_2+...+x_nv_n

appartiene a V^(perp) se e solo se v è ortogonale a ogni vettore della base mathcalB_V.

Per calcolare la dimensione e una base del radicale dobbiamo calcolare i prodotti scalari tra v e ogni vettore di mathcalB_V e imporre che siano tutti nulli

langle v, v_1 rangle = 0 ; langle v, v_2 rangle = 0 ; ⋮ ; langle v, v_n rangle = 0

Tale sistema equivale a un sistema lineare omogeneo le cui incognite sono x_1,x_2,...,x_n, ossia le coordinate rispetto alla base mathcalB_V del vettore v.

Si procede determinando una base dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo, che indichiamo con

mathcalB_(Sol) = s_1, s_2, ..., s_k con k ≤ n

Ogni vettore di mathcalB_(Sol) è un vettore di coordinate rispetto alla base mathcalB_V, quindi i vettori di una base del radicale V^(perp) si ottengono moltiplicando ordinatamente le coordinate di ciascun vettore di mathcalB_(Sol) per i vettori di mathcalB_V.

Secondo metodo

Il secondo procedimento che vi proponiamo per il calcolo di dimensione e base del radicale prevede l'utilizzo della matrice associata al prodotto scalare e, a conti fatti, è lo stesso che viene usato per determinare la dimensione e una base del nucleo di un'applicazione lineare.

Fissata una base mathcalB_V di V, calcoliamo la matrice A rappresentativa del prodotto scalare rispetto a tale base.

Consideriamo quindi un generico vettore v ∈ V e sia (x_1, x_2, ..., x_n)^T il vettore colonna delle coordinate di v riferite alla base mathcalB_V.

A questo punto impostiamo l'equazione matriciale

A x = 0_(R^n)

dove n è la dimensione dello spazio vettoriale V.

Svolgendo il prodotto riga per colonna tra A e il vettore colonna x si ricade in un sistema lineare omogeneo nelle incognite x_1,x_2,...,x_n e la matrice dei coefficienti a essa associata è proprio A.

Dalla teoria sui sistemi lineari, e in particolare dal teorema di Rouché Capelli, sappiamo che:

- se det(A) ≠ 0, allora il sistema ammette la sola soluzione banale, quindi il radicale è formato dal solo vettore nullo, e non ha senso proseguire.

- se det(A) = 0 il sistema ammette ∞^(n-rk(A)) soluzioni; calcoliamo una base dello spazio delle soluzioni di questo sistema, che indichiamo ancora una volta con

mathcalB_(Sol) = s_1, s_2, ..., s_k con k ≤ n

Ogni vettore di mathcalB_(Sol) è un vettore di coordinate riferite a mathcalB_V, quindi i vettori di una base di V^(perp) si ricavano moltiplicando ordinatamente le coordinate di ciascun vettore di mathcalB_(Sol) per i vettori di mathcalB_V.

Esempi sul calcolo di dimensione e base del radicale di un prodotto scalare

1) [Primo metodo] Consideriamo il seguente prodotto scalare su V = R^2:

langle , rangle: R^2×R^2 → R ; langle x, y rangle = x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2

Fissiamo una qualsiasi base di R^2, ad esempio

mathcalB = v_1,v_2 = (1,1), (0,3)

e consideriamo un generico vettore di V

v = x_1 v_1+x_2v_2 = x_1(1,1)+x_2(0,3) = (x_1, x_1+3x_2)

Ovviamente optare per la base canonica di R^2 sarebbe stata la scelta più comoda, ma vogliamo mettere in evidenza che i metodi esposti valgono per qualsiasi base.

Svolgiamo i prodotti scalari

langle v, v_1 rangle = langle (x_1, x_1+3x_2), (1,1) rangle = (x_1)(1)+(x_1)(1)+(x_1+3x_2)(1)+(x_1+3x_2)(1) = x_1+x_1+x_1+3x_2+x_1+3x_2 = 4x_1+6x_2 ; langle v, v_2 rangle = langle (x_1, x_1+3x_2), (0,3) rangle = (x_1)(0)+(x_1)(3)+(x_1+3x_2)(0)+(x_1+3x_2)(3) = 3x_1+3x_1+9x_2 = 6x_1+9x_2

Determiniamo una base e la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

langle v, v_1 rangle = 0 ; langle v, v_2 rangle = 0 → 4x_1+6x_2 = 0 ; 6x_1+9x_2 = 0 → 2x_1+3x_2 = 0 ; 2x_1+3x_2 = 0

Le due equazioni che lo definiscono sono identiche, il che ci porta a concludere immediatamente che il sistema ammette ∞^1 soluzioni date da

(x_1,x_2) = (α,-(2)/(3)α) = α(1,-(2)/(3)) con α ∈ R

di conseguenza una base dello spazio delle soluzioni del sistema è

mathcalB_(Sol) = (1,-(2)/(3))

Una base del radicale si ottiene moltiplicando, ordinatamente, le componenti del vettore di mathcalB_(Sol) per i vettori della base mathcalB di V

(1)(1,1)+(-(2)/(3))(0,3) = (1,1)+(0,-2) = (1,-1)

In definitiva

mathcalB_(V^(perp)) = (1,-1)

è una base del radicale V^(perp), la cui dimensione è 1.

2) [Secondo metodo] Calcolare una base del nucleo del prodotto scalare

langle , rangle: R^3×R^3 → R ; langle x, y rangle = x_1y_1+2x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+3x_3y_3

Con il metodo della matrice associata conviene fissare la base canonica di R^3. In questo modo l'elemento a_(ij) della matrice rappresentativa A è uguale al coefficiente di x_iy_j e quindi

A = [1 0 0 ; 0 2 -1 ; 0 -1 3]

Prima di procedere oltre calcoliamo il determinante di A, procedendo con lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga, o alla prima colonna.

det(A) = det[1 0 0 ; 0 2 -1 ; 0 -1 3] = 1 det[2 -1 ;-1 3] = (1)(6-1) = 5 ≠ 0

Poiché il determinante della matrice associata è diverso da zero, possiamo concludere che la dimensione del radicale è zero e che, quindi

V^(perp) = 0_(R^3)

Come stabilire se un prodotto scalare è degenere o non degenere

Basandoci sul concetto di radicale possiamo fornire una nuova definizione di prodotto scalare degenere e non degenere, del tutto equivalente alla precedente.

Un prodotto scalare su V è non degenere se il radicale è formato dal solo vettore nullo di V, degenere in caso contrario.

In definitiva, per verificare se un prodotto scalare langle , rangle su V è degenere o non degenere è sufficiente fissare una base di V e calcolare la matrice A rappresentativa di langle , rangle rispetto a tale base:

- se det(A) ≠ 0, il prodotto scalare è non degenere;

- se det(A) = 0, il prodotto scalare è degenere.

Esempi

1) Il prodotto scalare canonico in R^n è non degenere in quanto la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica è la matrice identità di ordine n, che ha determinante diverso da zero.

2) Il prodotto scalare

langle , rangle: R^3×R^3 → R ; langle v, w rangle = v_1w_1+v_1w_2+v_2w_1+v_2w_2+3v_3w_3

è degenere, difatti la sua matrice rappresentativa rispetto alla base canonica è

A = [1 1 0 ; 1 1 0 ; 0 0 3]

e il suo determinante è 0.

Legame tra prodotto scalare degenere e segno di un prodotto scalare

Concludiamo questa lezione mettendo in evidenza le relazioni che intercorrono tra le definizioni di prodotto scalare degenere / non degenere e il segno di un prodotto scalare.

- Ogni prodotto scalare definito (positivo o negativo) è non degenere.

Per dimostrarlo è sufficiente tenere presente il teorema secondo cui il prodotto degli autovalori di una matrice uguaglia il determinante di quest'ultima e ricordare che la matrice associata a un prodotto scalare definito positivo o definito negativo (rispetto a qualsiasi base) ha tutti gli autovalori diversi da zero, per cui il loro prodotto è non nullo.

- Ogni prodotto scalare semidefinito, ma non definito, è degenere.

Per convincersene è sufficiente tener presente che la matrice associata a un prodotto scalare semidefinito, ma non definito, rispetto a una qualsiasi base, ha almeno un autovalore nullo, di conseguenza sarà nullo anche il determinante della matrice associata.

Nota bene: in entrambi i casi non valgono le implicazioni inverse. Non è detto che un prodotto scalare non degenere sia necessariamente definito (positivo o negativo), così come nulla ci assicura che un prodotto scalare degenere sia necessariamente semidefinito.

- Per il prodotto indefinito non possiamo dire nulla a priori, e potrebbe essere degenere o non degenere.

Abbiamo detto davvero tutto quello che c'è da sapere sui prodotti scalari degeneri e non degeneri. La prossima lezione è dedicata alla nozione di norma indotta da un prodotto scalare, dove spiegheremo come calcolare la norma di un vettore rispetto a un qualsiasi prodotto scalare.

Per altri esercizi svolti e spiegati punto per punto sui prodotti scalari degeneri e non degeneri e sul calcolo di dimensione e base del radicale potete usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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