Matrice associata a un prodotto scalare

La matrice associata a un prodotto scalare è una matrice quadrata, simmetrica e a coefficienti reali e si rivela uno strumento utilissimo nello studio dei prodotti scalari: a partire da essa possiamo infatti determinare il segno di un prodotto scalare e calcolarne una base del nucleo (o radicale).

Nella precedente lezione abbiamo visto come si definisce un prodotto scalare qualsiasi. Qui, invece, definiremo la matrice rappresentativa di un prodotto scalare e vi mostreremo come si calcola.

Fatto ciò proporremo una serie di esercizi svolti e concluderemo analizzando il legame tra matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi diverse.

Definizione di matrice associata a un prodotto scalare

Siano langle , rangle : V×V → R un prodotto scalare definito su uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, e mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n una base di V.

La matrice associata al prodotto scalare langle , rangle rispetto alla base mathcalB è quella matrice quadrata A = (a_(ij)) di ordine n tale che per ogni i,j ∈ 1,2,...,n:

a_(ij) = langle v_i, v_j rangle

Esplicitamente:

A = [ langle v_1, v_1 rangle langle v_1, v_2 rangle ··· langle v_1, v_n rangle ; langle v_2, v_1 rangle langle v_2, v_2 rangle ··· langle v_2, v_n rangle ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; langle v_n, v_1 rangle langle v_n, v_2 rangle ··· langle v_n, v_n rangle] ∈ R^(n,n)

Per definizione ogni prodotto scalare è simmetrico, e quindi

a_(ij): = langle v_i, v_j rangle = langle v_j, v_i rangle = :a_(ji) ∀ i, j ∈ 1,2,...,n con i ≠ j

di conseguenza la matrice rappresentativa (rispetto a una qualsiasi base) è una matrice simmetrica! È bene sfruttare questa proprietà a nostro vantaggio: quando si deve calcolare la matrice associata a un prodotto scalare non serve calcolarne tutti gli elementi, bensì è sufficiente determinare quelli della diagonale principale e quelli sopra (o sotto) di essa, per poi ricavare gli altri per simmetria.

Dalla definizione di matrice rappresentativa risulta evidente che a ogni prodotto scalare possono essere associate infinite matrici simmetriche, ognuna delle quali dipenderà dalla base fissata e che quindi opererà sulle relative coordinate.

Viceversa, fissata una base mathcalB di V, a ogni matrice simmetrica A ∈ Mat(n,n,R) si può associare un prodotto scalare langle , rangle: V×V → R dato da

langle v, w rangle = x^T A y

dove x e y sono i vettori delle coordinate rispetto alla base mathcalB di v e w.

Su questo aspetto non ci dilunghiamo oltre, avendolo già trattato approfonditamente sia nella lezione sulle forme bilineari, sia in quella dedicata alla matrice rappresentativa di un'applicazione lineare.

Caso particolare: matrice associata a un prodotto scalare rispetto alla base canonica

Se V = R^n e se langle , rangle è un prodotto scalare su V, la matrice associata a langle , rangle rispetto alla base canonica di V = R^n è quella matrice A = (a_(ij)) in cui per ogni i,j ∈ 1,2,...,n l'elemento a_(ij) è il coefficiente di x_iy_j.

Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di un prodotto scalare

1) Sia V = R^3 e consideriamo il prodotto scalare canonico

·: R^3×R^3 → R ; x·y = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

Determinare la matrice rappresentativa di · riferita alla base canonica di R^3 e la matrice associata a · rispetto alla base

mathcalB = (1,0,1), (0,−1,2), (1,0,−3)

Svolgimento: la matrice che rappresenta il prodotto scalare standard su R^3 rispetto alla base canonica mathcalC di R^3 è quella matrice A = (a_(ij)) tale che a_(ij) è il coefficiente di x_iy_j

Gli unici elementi non nulli di questa matrice sono quindi

a_(11) = a_(22) = a_(33) = 1

ossia la matrice rappresentativa cercata è la matrice identità di ordine 3.

A_(mathcalC) = Id_3 = [1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1 ]

Determiniamo ora la matrice A_(mathcalB) riferita alla base mathcalB = (1,0,1), (0,−1,2), (1,0,−3).

Poniamo

v_1 = (1,0,1), v_2 = (0,−1,2), v_3 = (1,0,−3)

e indichiamo con a_(ij) gli elementi di A_(mathcalB). Allora:

a_(11) = v_1·v_1 = (1,0,1)·(1,0,1) = (1)(1)+(0)(0)+(1)(1) = 1+0+1 = 2 ; a_(12) = a_(21) = v_1·v_2 = (1,0,1)·(0,−1,2) = (1)(0)+(0)(−1)+(1)(2) = 0+0+2 = 2 ; a_(13) = a_(31) = v_1·v_3 = (1,0,1)·(1,0,−3) = (1)(1)+(0)(0)+(1)(−3) = 1+0−3 = −2 ; a_(22) = v_2·v_2 = (0,−1,2)·(0,−1,2) = (0)(0)+(−1)(−1)+(2)(2) = 0+1+4 = 5 ; a_(23) = a_(32) = v_2·v_3 = (0,−1,2)·(1,0,−3) = (0)(1)+(−1)(0)+(2)(−3) = 0+0−6 = −6 ; a_(33) = v_3·v_3 = (1,0,−3)·(1,0,−3) = (1)(1)+(0)(0)+(−3)(−3) = 1+0+9 = 10

di conseguenza

A_(mathcalB) = [2 2 −2 ; 2 5 −6 ;−2 −6 10]

2) Prendiamo V = R_1[x], spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 1 nell'indeterminata x e sia

langle , rangle: R_1[x]×R_1[x] → R ; langle b_1+c_1x, b_2+c_2x rangle = b_1b_2+2b_1c_2+2b_2c_1−3c_1c_2

un prodotto scalare su R_1[x]. Calcolare la matrice a esso associata rispetto alla base mathcalB = 1−x, 1+2x

Svolgimento: per comodità assegniamo un nome ai vettori della base mathcalB

p(x) = 1−x ; q(x) = 1+2x

e determiniamo gli elementi della matrice rappresentativa calcolando prodotti scalari

langle p(x), p(x) rangle, langle p(x), q(x) rangle, langle q(x), q(x) rangle

Partiamo da a_(11) = langle p(x), p(x) rangle. Ci servono le componenti:

p(x) = 1−x → b_1 = 1, c_1 = −1 ; p(x) = 1−x → b_2 = 1, c_2 = −1

così da poter usare la definizione del prodotto scalare in esame

a_(11) = langle p(x), p(x) rangle = langle 1−x, 1−x rangle = (1)(1)+2(1)(−1)+2(1)(−1)−3(−1)(−1) = 1−2−2−3 = −6

Proseguiamo con a_(12) = langle p(x), q(x) rangle, dove

p(x) = 1−x → b_1 = 1, c_1 = −1 ; q(x) = 1+2x → b_2 = 1, c_2 = 2

da cui

a_(12) = langle p(x), q(x) rangle = langle 1−x, 1+2x rangle = (1)(1)+2(1)(2)+2(1)(−1)−3(−1)(2) = 1+4−2+6 = 9

Ricordiamo quindi che langle p(x), q(x) rangle = langle q(x), p(x) rangle, vale a dire a_(12) = a_(21).

Da ultimo lasciamo a voi il compito di verificare che

a_(22) = langle q(x), q(x) rangle = langle 1+2x, 1+2x rangle = −3

A questo punto possiamo comporre la matrice cercata

A = [−6 9 ; 9 −3]

3) Nello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali V = Mat(2,2,R) consideriamo il prodotto scalare

langle A, B rangle = Tr(B^T A)

dove Tr rappresenta la traccia di una matrice, ossia la somma degli elementi della diagonale principale. Determinare la matrice rappresentativa di questo prodotto scalare rispetto alla base canonica di Mat(2,2,R).

Svolgimento: indichiamo con

E_1 = [1 0 ; 0 0], E_2 = [0 1 ; 0 0], E_3 = [0 0 ; 1 0], E_4 = [0 0 ; 0 1]

i vettori della base canonica di Mat(2,2,R) e calcoliamo gli elementi a_(ij) della matrice rappresentativa, che è una matrice simmetrica di ordine 4.

a_(11) = langle E_1, E_1 rangle = Tr(E_1^T E_1) = Tr [[1 0 ; 0 0]^T [1 0 ; 0 0] ] = Tr[[1 0 ; 0 0] [1 0 ; 0 0] ] = Tr[1 0 ; 0 0] = 1+0 = 1 ; a_(21) = a_(12) = langle E_1, E_2 rangle = Tr(E_2^T E_1) = Tr [[0 1 ; 0 0]^T [1 0 ; 0 0] ] = Tr[[0 0 ; 1 0] [1 0 ; 0 0] ] = Tr[0 0 ; 1 0] = 0+0 = 0

...e così via... dopo aver svolto i restanti prodotti scalari, la matrice che dovreste ottenere è la matrice identità di ordine 4

Id_4 = [1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0 ; 0 0 0 1]

Relazione tra matrici associate allo stesso prodotto scalare

Come ribadito più volte, un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale V definito sul campo R.

Nella lezione dedicata alla forme bilineari abbiamo dimostrato che matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi differenti di V sono matrici congruenti, quindi la stessa cosa deve valere per i prodotti scalari, ossia tutte le matrici rappresentative di uno stesso prodotto scalare sono congruenti.

Volendo essere più precisi, siano langle , rangle : V×V → R un prodotto scalare su V e mathcalB, mathcalB' due basi distinte di V. Indichiamo poi con:

A_(mathcalB) la matrice associata a langle , rangle rispetto a mathcalB;

A_(mathcalB') la matrice rappresentativa di langle , rangle rispetto a mathcalB';

M la matrice di cambiamento di base da mathcalB' a mathcalB che, ricordiamo, è una matrice invertibile.

Si dimostra che

A_(mathcalB') = M^T A_(mathcalB) M

e ciò conferma che matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi differenti sono matrici congruenti.

Qualora foste interessati alla dimostrazione vi rimandiamo, nuovamente, alla lezione sulle forme bilineari.

Esempio

Consideriamo il seguente prodotto scalare su V = R^2:

langle , rangle: R^2×R^2 → R ; langle (x_1,x_2), (y_1,y_2) rangle = 3x_1y_1−2x_1y_2−2x_2y_1+x_2y_2

e le basi mathcalB, mathcalB' date da

mathcalB = (1,0), (0,1) ; mathcalB'= (1,−1), (0,2)

La matrice rappresentativa del prodotto scalare rispetto alla base canonica è

A_(mathcalB) = [3 −2 ;−2 1]

La matrice A_(mathcalB') ha per elementi

a_(11) = langle (1,−1), (1,−1) rangle = 3(1)(1)−2(1)(−1)−2(−1)(1)+(−1)(−1) = 3+2+2+1 = 8 ; a_(21) = a_(12) = langle (1,−1), (0,2) rangle = 3(1)(0)−2(1)(2)−2(1)(0)+(−1)(2) = 0−4−0−2 = −6 ; a_(22) = langle (0,2), (0,2) rangle = 3(0)(0)−2(0)(2)−2(2)(0)+(2)(2) = 0+0+0+4 = 4

dunque

A_(mathcalB') = [8 −6 ;−6 4]

La matrice M di cambiamento di base da mathcalB' a mathcalB ha per colonne le componenti dei vettori di mathcalB'

M = [1 0 ;−1 2]

Svolgendo un paio di prodotti tra matrici lasciamo a voi il compito di verificare che il prodotto

M^T A_(mathcalB) M = [1 0 ;−1 2]^T [3 −2 ;−2 1] [1 0 ;−1 2]

restituisce proprio la matrice A_(mathcalB')

Per il momento ci fermiamo qui. Nella prossima lezione vedremo come attraverso la matrice rappresentativa è possibile determinare il segno di un prodotto scalare.

Per altri esempi ed esercizi accuratamente svolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. :)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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