Matrice associata a un prodotto scalare

La matrice associata a un prodotto scalare è una matrice quadrata, simmetrica e a coefficienti reali e si rivela uno strumento utilissimo nello studio dei prodotti scalari: a partire da essa possiamo infatti determinare il segno di un prodotto scalare e calcolarne una base del nucleo (o radicale).

 

Nella precedente lezione abbiamo visto come si definisce un prodotto scalare qualsiasi. Qui, invece, definiremo la matrice rappresentativa di un prodotto scalare e vi mostreremo come si calcola.

 

Fatto ciò proporremo una serie di esercizi svolti e concluderemo analizzando il legame tra matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi diverse.

 

Definizione di matrice associata a un prodotto scalare

 

Siano \langle \ , \ \rangle : V \times V \to \mathbb{R} un prodotto scalare definito su uno spazio vettoriale reale V di dimensione n, e \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V.

 

La matrice associata al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle rispetto alla base \mathcal{B} è quella matrice quadrata A=(a_{ij}) di ordine n tale che per ogni i,j \in \{1,2,...,n\}:

 

 

a_{ij}=\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle

 

 

Esplicitamente:

 

 

A=\begin{pmatrix}\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_n \rangle \\ \\ \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_n \rangle \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \langle \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_2 \rangle & \cdots & \langle \mathbf{v}_n, \mathbf{v}_n \rangle\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n,n}

 

 

Per definizione ogni prodotto scalare è simmetrico, e quindi

 

 

a_{ij}:=\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_i \rangle=:a_{ji}\ \ \forall i, j \in \{1,2,...,n\} \mbox{ con } i \neq j

 

 

di conseguenza la matrice rappresentativa (rispetto a una qualsiasi base) è una matrice simmetrica! È bene sfruttare questa proprietà a nostro vantaggio: quando si deve calcolare la matrice associata a un prodotto scalare non serve calcolarne tutti gli elementi, bensì è sufficiente determinare quelli della diagonale principale e quelli sopra (o sotto) di essa, per poi ricavare gli altri per simmetria.

 

Dalla definizione di matrice rappresentativa risulta evidente che a ogni prodotto scalare possono essere associate infinite matrici simmetriche, ognuna delle quali dipenderà dalla base fissata e che quindi opererà sulle relative coordinate.

 

Viceversa, fissata una base \mathcal{B} di V, a ogni matrice simmetrica A \in Mat(n,n,\mathbb{R}) si può associare un prodotto scalare \langle \ , \ \rangle: V\times V \to \mathbb{R} dato da

 

 

\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \mathbf{x}^T A \mathbf{y}

 

 

dove \mathbf{x} e \mathbf{y} sono i vettori delle coordinate rispetto alla base \mathcal{B} di \mathbf{v} e \mathbf{w}.

 

Su questo aspetto non ci dilunghiamo oltre, avendolo già trattato approfonditamente sia nella lezione sulle forme bilineari, sia in quella dedicata alla matrice rappresentativa di un'applicazione lineare.

 

 

Caso particolare: matrice associata a un prodotto scalare rispetto alla base canonica

 

Se V=\mathbb{R}^n e se \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare su V, la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto alla base canonica di V=\mathbb{R}^n è quella matrice A=(a_{ij}) in cui per ogni i,j \in \{1,2,...,n\} l'elemento a_{ij} è il coefficiente di x_iy_j.

 

Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di un prodotto scalare

 

1) Sia V=\mathbb{R}^3 e consideriamo il prodotto scalare canonico

 

\\ \cdot: \ \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \\ \\ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3

 

Determinare la matrice rappresentativa di \cdot riferita alla base canonica di \mathbb{R}^3 e la matrice associata a \cdot rispetto alla base

 

\mathcal{B}=\{(1,0,1), \ (0,-1,2), \ (1,0,-3)\}

 

Svolgimento: la matrice che rappresenta il prodotto scalare standard su \mathbb{R}^3 rispetto alla base canonica \mathcal{C} di \mathbb{R}^3 è quella matrice A=(a_{ij}) tale che a_{ij} è il coefficiente di x_iy_j

 

Gli unici elementi non nulli di questa matrice sono quindi

 

a_{11}=a_{22}=a_{33}=1

 

ossia la matrice rappresentativa cercata è la matrice identità di ordine 3.

 

A_{\mathcal{C}}=\mbox{Id}_3=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}

 

Determiniamo ora la matrice A_{\mathcal{B}} riferita alla base \mathcal{B}=\{(1,0,1), \ (0,-1,2), \ (1,0,-3)\}.

 

Poniamo

 

\mathbf{v}_1=(1,0,1), \ \mathbf{v}_2=(0,-1,2), \ \mathbf{v}_3=(1,0,-3)

 

e indichiamo con a_{ij} gli elementi di A_{\mathcal{B}}. Allora:

 

\\ a_{11}=\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_1 = (1,0,1) \cdot (1,0,1) = \\ \\ = (1)(1)+(0)(0)+(1)(1)=1+0+1=2 \\ \\ a_{12}=a_{21}= \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = (1,0,1) \cdot (0,-1,2) = \\ \\ = (1)(0)+(0)(-1)+(1)(2)=0+0+2=2 \\ \\ a_{13}=a_{31}= \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_3 = (1,0,1) \cdot (1,0,-3) = \\ \\ = (1)(1)+(0)(0)+(1)(-3)=1+0-3=-2 \\ \\ a_{22}=\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_2 = (0,-1,2) \cdot (0,-1,2) = \\ \\ = (0)(0)+(-1)(-1)+(2)(2)=0+1+4=5 \\ \\ a_{23}=a_{32}= \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}_3 = (0,-1,2) \cdot (1,0,-3) = \\ \\ = (0)(1)+(-1)(0)+(2)(-3)=0+0-6=-6 \\ \\ a_{33} = \mathbf{v}_3 \cdot \mathbf{v}_3 = (1,0,-3) \cdot (1,0,-3) = \\ \\ = (1)(1)+(0)(0)+(-3)(-3)=1+0+9=10

 

di conseguenza

 

A_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2&2&-2 \\ 2&5&-6 \\ -2&-6&10\end{pmatrix}

 

 

2) Prendiamo V=\mathbb{R}_1[x], spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 1 nell'indeterminata x e sia

 

\\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}_1[x] \times \mathbb{R}_1[x] \to \mathbb{R} \\ \\ \langle b_1+c_1x, \ b_2+c_2x \rangle = b_1b_2+2b_1c_2+2b_2c_1-3c_1c_2

 

un prodotto scalare su \mathbb{R}_1[x]. Calcolare la matrice a esso associata rispetto alla base \mathcal{B}=\{1-x, \ 1+2x\}

 

Svolgimento: per comodità assegniamo un nome ai vettori della base \mathcal{B}

 

p(x)=1-x\\ \\ q(x)=1+2x

 

e determiniamo gli elementi della matrice rappresentativa calcolando prodotti scalari

 

\langle p(x), p(x) \rangle, \ \langle p(x), q(x) \rangle, \ \langle q(x), q(x) \rangle

 

Partiamo da a_{11}=\langle p(x), p(x) \rangle. Ci servono le componenti:

 

p(x)=1-x\ \to\ b_1=1,\ c_1=-1\\ \\ p(x)=1-x \to\ b_2=1,\ c_2=-1

 

così da poter usare la definizione del prodotto scalare in esame

 

a_{11}=\langle p(x), p(x) \rangle = \langle 1-x, \ 1-x \ \rangle = \\ \\ = (1)(1)+2(1)(-1)+2(1)(-1)-3(-1)(-1) = \\ \\ = 1-2-2-3=-6

 

Proseguiamo con a_{12}=\langle p(x), q(x) \rangle, dove

 

p(x)=1-x\ \to\ b_1=1, \ c_1=-1 \\ \\ q(x)=1+2x\ \to\ b_2=1, \ c_2=2

 

da cui

 

a_{12}=\langle p(x), q(x) \rangle = \langle 1-x, \ 1+2x \ \rangle = \\ \\ = (1)(1)+2(1)(2)+2(1)(-1)-3(-1)(2) = \\ \\ = 1+4-2+6 = 9

 

Ricordiamo quindi che \langle p(x), q(x) \rangle=\langle q(x), p(x) \rangle, vale a dire a_{12}=a_{21}.

 

Da ultimo lasciamo a voi il compito di verificare che

 

a_{22}=\langle q(x), q(x) \rangle = \langle 1+2x, \ 1+2x \ \rangle = -3

 

A questo punto possiamo comporre la matrice cercata

 

A=\begin{pmatrix}-6&9 \\ 9&-3\end{pmatrix}

 

 

3) Nello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali V=Mat(2,2,\mathbb{R}) consideriamo il prodotto scalare

 

\langle A, B \rangle = \mbox{Tr}(B^T A)

 

dove \mbox{Tr} rappresenta la traccia di una matrice, ossia la somma degli elementi della diagonale principale. Determinare la matrice rappresentativa di questo prodotto scalare rispetto alla base canonica di Mat(2,2,\mathbb{R}).

 

Svolgimento: indichiamo con

 

E_1=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ E_2=\begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ E_3=\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix}, \ E_4=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

i vettori della base canonica di Mat(2,2,\mathbb{R}) e calcoliamo gli elementi a_{ij} della matrice rappresentativa, che è una matrice simmetrica di ordine 4.

 

\\ a_{11}=\langle E_1, E_1 \rangle = \mbox{Tr}(E_1^T E_1) = \mbox{Tr} \left[\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \right ] = \\ \\ \\ = \mbox{Tr}\left[\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \right ] = \mbox{Tr}\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix}=1+0=1 \\ \\ \\ a_{21}=a_{12}=\langle E_1, E_2 \rangle = \mbox{Tr}(E_2^T E_1) = \mbox{Tr} \left[\begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \right ] = \\ \\ \\ = \mbox{Tr}\left[\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \right ] = \mbox{Tr}\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix}=0+0=0

 

...e così via... dopo aver svolto i restanti prodotti scalari, la matrice che dovreste ottenere è la matrice identità di ordine 4

 

\mbox{Id}_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1\end{pmatrix}

 

Relazione tra matrici associate allo stesso prodotto scalare

 

Come ribadito più volte, un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale V definito sul campo \mathbb{R}.

 

Nella lezione dedicata alla forme bilineari abbiamo dimostrato che matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi differenti di V sono matrici congruenti, quindi la stessa cosa deve valere per i prodotti scalari, ossia tutte le matrici rappresentative di uno stesso prodotto scalare sono congruenti.

 

Volendo essere più precisi, siano \langle \ , \ \rangle : V \times V \to \mathbb{R} un prodotto scalare su V e \mathcal{B},\mathcal{B}' due basi distinte di V. Indichiamo poi con:

 

A_{\mathcal{B}} la matrice associata a \langle \ , \ \rangle rispetto a \mathcal{B};

 

A_{\mathcal{B}'} la matrice rappresentativa di \langle \ , \ \rangle rispetto a \mathcal{B}';

 

M la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}' a \mathcal{B} che, ricordiamo, è una matrice invertibile.

 

Si dimostra che

 

A_{\mathcal{B}'} = M^T A_{\mathcal{B}} M

 

e ciò conferma che matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi differenti sono matrici congruenti.

 

Qualora foste interessati alla dimostrazione vi rimandiamo, nuovamente, alla lezione sulle forme bilineari.

 

 

Esempio

 

Consideriamo il seguente prodotto scalare su V=\mathbb{R}^2:

 

\\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\ \\ \langle (x_1,x_2), \ (y_1,y_2) \rangle = 3x_1y_1-2x_1y_2-2x_2y_1+x_2y_2

 

e le basi \mathcal{B},\mathcal{B}' date da

 

\mathcal{B}=\{(1,0), \ (0,1)\}\\ \\ \mathcal{B}'=\{(1,-1), \ (0,2)\}

 

La matrice rappresentativa del prodotto scalare rispetto alla base canonica è

 

A_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3&-2 \\ -2 & 1\end{pmatrix}

 

La matrice A_{\mathcal{B}'} ha per elementi

 

\\ a_{11} = \langle (1,-1), (1,-1)\rangle = 3(1)(1)-2(1)(-1)-2(-1)(1)+(-1)(-1) = \\ \\ = 3+2+2+1=8 \\ \\ a_{21}=a_{12} = \langle (1,-1), (0,2)\rangle = 3(1)(0)-2(1)(2)-2(1)(0)+(-1)(2) = \\ \\ = 0-4-0-2=-6 \\ \\ a_{22} = \langle (0,2), (0,2)\rangle = 3(0)(0)-2(0)(2)-2(2)(0)+(2)(2) = \\ \\ = 0+0+0+4=4

 

dunque

 

A_{\mathcal{B}'}=\begin{pmatrix}8&-6 \\ -6 & 4\end{pmatrix}

 

La matrice M di cambiamento di base da \mathcal{B}' a \mathcal{B} ha per colonne le componenti dei vettori di \mathcal{B}'

 

M=\begin{pmatrix}1&0 \\ -1 & 2\end{pmatrix}

 

Svolgendo un paio di prodotti tra matrici lasciamo a voi il compito di verificare che il prodotto

 

M^T A_{\mathcal{B}} M = \begin{pmatrix}1&0 \\ -1 & 2\end{pmatrix}^T \ \begin{pmatrix}3&-2 \\ -2 & 1\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}1&0 \\ -1 & 2\end{pmatrix}

 

restituisce proprio la matrice A_{\mathcal{B}'}

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui. Nella prossima lezione vedremo come attraverso la matrice rappresentativa è possibile determinare il segno di un prodotto scalare.

 

Per altri esempi ed esercizi accuratamente svolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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