Prodotto scalare

Un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita su uno spazio vettoriale reale. In altri termini, se V è uno spazio vettoriale definito su \mathbb{R}, un prodotto scalare qualsiasi è una forma bilineare simmetrica su V.

 

Nella precedente lezione ci siamo occupati delle forme bilineari in generale e proprio a partire da esse definiremo la nozione di prodotto scalare: in estrema sintesi, una forma bilineare simmetrica del tipo F: V \times V \to \mathbb{R}.

 

Dopo averne dato la definizione e aver visto qualche esempio introdurremo i concetti di ortogonalità tra vettori e di basi ortogonali, nozioni tanto semplici quanto fondamentali per il prosieguo della teoria.

 

Definizione di prodotto scalare

 

Sia V uno spazio vettoriale definito su \mathbb{R} e di dimensione n. Un prodotto scalare su V è una forma bilineare simmetrica su V ed è generalmente indicato con \langle \ , \ \rangle, ossia

 

\\ \langle \ , \ \rangle: V \times V \to \mathbb{R} \\ \\ (\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in V \times V \mapsto \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \in \mathbb{R}

 

Nota bene (di nuovo, è importante!): vi anticipiamo fin da subito che alcuni docenti definiscono un prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica definita positiva. Avremo modo di approfondire questo aspetto nella prossima lezione, quando parleremo del segno di un prodotto scalare; nel frattempo trattiamo il caso più generale possibile.

 

Dalla definizione di forma bilineare simmetrica seguono le seguenti proprietà di un prodotto scalare, valide per ogni \mathbf{v}, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V e per ogni \alpha, \beta \in \mathbb{R}

 

(a) Linearità rispetto alla prima componente

 

\langle \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2, \ \mathbf{v} \rangle = \alpha \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v} \rangle + \beta \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v} \rangle

 

(b) Simmetria

 

\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\rangle = \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1\rangle

 

(c) Linearità rispetto alla seconda componente

 

\langle \mathbf{v}, \ \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2 \rangle = \alpha \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_1 \rangle + \beta \langle \mathbf{v}, \mathbf{v}_2 \rangle

 

(d) Se almeno una delle due componenti è il vettore nullo di V allora il prodotto scalare è zero, ossia

 

\forall \ \mathbf{v} \in V: \ \langle \mathbf{v}, \mathbf{0}_V \rangle = \langle \mathbf{0}_V, \mathbf{v} \rangle = 0

 

 

Osservazione

 

La simmetria e la linearità rispetto alla prima componente di un prodotto scalare garantiscono la linearità rispetto alla seconda componente e la proprietà (d). Negli esercizi in cui si chiede di stabilire se una forma bilineare è un prodotto scalare è dunque sufficiente studiare la simmetria e la linearità rispetto a una delle due componenti.

 

 

Esempi di prodotti scalari

 

1) Il prodotto scalare canonico (o euclideo)

 

\cdot: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

 

che a ogni coppia di vettori

 

\\ \mathbf{x}=(x_1, x_2, ..., x_n) \\ \\ \mathbf{y}=(y_1, y_2, ..., y_n)

 

associa il numero reale

 

\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2+ ... + x_n y_n= \sum_{i=1}^{n}x_iy_i

 

è un prodotto scalare su \mathbb{R}^n.

 

 

2) Sia V=\mathbb{R}_2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2.

 

\\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}_2[x] \times \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}\\ \\ \langle p(x), q(x) \rangle = p(0)q(0)-p(1)q(1)+p(2)q(2)

 

è un prodotto scalare di \mathbb{R}_2[x].

 

Per giungere a tale conclusione basta osservare che è simmetrico

 

\langle p(x), q(x) \rangle = p(0)q(0)-p(1)q(1)+p(2)q(2) = \\ \\ =q(0)p(0)-q(1)p(1)+q(2)p(2) = \\ \\ =\langle q(x), p(x) \rangle

 

e che è lineare rispetto alla prima componente, infatti per ogni p_1(x), p_2(x), q(x) \in \mathbb{R}_2[x] e per ogni \alpha, \ \beta \in \mathbb{R}:

 

\langle \alpha p_1(x) + \beta p_2(x), \ q(x) \rangle = \\ \\ = (\alpha p_1(0) + \beta p_2(0) )q(0) - (\alpha p_1(1) + \beta p_2(1) )q(1) + (\alpha p_1(2) + \beta p_2(2) )q(2) = \\ \\ = \alpha (p_1(0)q(0)-p_1(1)q(1)+p_1(2)q(2)) + \beta (p_2(0)q(0)-p_2(1)q(1)+p_2(2)q(2)) = \\ \\ = \alpha \langle p_1(x), \ q(x) \rangle + \beta \langle p_2(x), \ q(x) \rangle

 

 

3) Consideriamo V=Mat(n,n,\mathbb{R}), spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n a elementi reali. L'applicazione

 

\\ \langle \ , \ \rangle: Mat(n,n,\mathbb{R}) \times Mat(n,n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \\ \\ (A,B) \mapsto \langle A, B \rangle = \mbox{Tr}(B^TA)

 

è un prodotto scalare, dove \mbox{Tr} indica la traccia di una matrice, ossia la somma degli elementi della diagonale principale, e ^T rappresenta l'operazione di trasposizione.

 

Per verificarlo occorre dimostrare la simmetria e la linearità rispetto a una delle due componenti, dobbiamo cioè provare che per ogni A, B, A_1, A_2 \in Mat(n,n,\mathbb{R}) e per ogni \alpha, \beta \in \mathbb{R}:

 

\\ \langle A, B \rangle = \langle B, A \rangle \\ \\ \langle \alpha A_1 + \beta A_2, \ B \rangle = \alpha \langle A_1, B \rangle + \beta \langle A_2, B \rangle

 

Dalle proprietà della matrice trasposta e della traccia di una matrice segue che

 

\langle A, B \rangle = \mbox{Tr}(B^T A) = \mbox{Tr}((B^T A)^T) = \\ \\ =\mbox{Tr}\left(A^T (B^T)^T\right) = \mbox{Tr}(A^T B) = \langle B, A \rangle

 

e la simmetria è dimostrata. Inoltre

 

\\ \langle \alpha A_1 + \beta A_2, \ B \rangle = \mbox{Tr}(B^T (\alpha A_1 + \beta A_2)) = \\ \\ = \mbox{Tr}(B^T \alpha A_1) + \mbox{Tr}(B^T \beta A_2) = \\ \\ = \alpha \mbox{Tr} (B^T A_1) + \beta \mbox{Tr} (B^T A_2) = \\ \\ =\alpha \langle A_1, B \rangle + \beta \langle A_2, B \rangle

 

e abbiamo così provato anche la linearità rispetto al primo termine.

 

Prodotto scalare e vettori ortogonali

 

Uno dei principali punti di forza di un prodotto scalare è che permette di introdurre il concetto di ortogonalità tra vettori in uno spazio vettoriale qualsiasi, da cui si può successivamente dedurre la nozione di base ortogonale.

 

Se \langle \ , \ \rangle è un prodotto scalare su uno spazio vettoriale V, per definizione due vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V si dicono ortogonali (o perpendicolari) rispetto al prodotto scalare considerato se il loro prodotto scalare è nullo, e si scrive \mathbf{v} \perp \mathbf{w}:

 

 

\mathbf{v} \perp \mathbf{w} \iff \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0

 

 

Inoltre, si dice insieme di vettori ortogonali rispetto a un prodotto scalare assegnato su V un insieme di vettori \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_m\} \subseteq V che siano a due a due ortogonali su V.

 

Si dice base ortogonale di V una base di V i cui vettori siano a due a due ortogonali. In altri termini \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_{n}\} è una base ortogonale di V se e solo se valgono le seguenti condizioni:

 

\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} è una base di V;

 

\langle\mathbf{v}_{i},\mathbf{v}_{j}\rangle=0 per ogni i\ne j con i,j\in\{1,2,...,n\}.

 

Attenzione! Prima di procedere vi facciamo notare che la nozione di ortogonalità su uno spazio vettoriale reale V non può prescindere dalla scelta di uno specifico prodotto scalare su V.

 

 

Esempi di vettori ortogonali e di basi ortogonali rispetto a un prodotto scalare qualsiasi

 

1) La base canonica di \mathbb{R}^3

 

\mathcal{C}=\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

è una base ortogonale di \mathbb{R}^3 rispetto al prodotto scalare euclideo, infatti

 

\\ (1,0,0) \cdot (0,1,0) = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0+0+0=0 \\ \\ (1,0,0) \cdot (0,0,1) = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0+0+0=0 \\ \\ (0,1,0) \cdot (0,0,1) = (0)(0) + (1)(0) + (0)(0) = 0+0+0=0

 

 

2) Riprendiamo il prodotto scalare \\ \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}_2[x] \times \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R} definito da

 

\langle p(x), q(x) \rangle = p(0)q(0)-p(1)q(1)+p(2)q(2)

 

definito su V=\mathbb{R}_2[x]. I vettori

 

p(x)=1+x-2x^2\\ \\ q(x)=5-2x

 

sono ortogonali, tant'è vero che

 

p(0)=1, \ \ p(1)=0, \ \ p(2)=-5\\ \\ q(0)=5, \ \ q(1)=3, \ \ q(2)=1

 

e quindi

 

\langle p(x), q(x) \rangle = p(0)q(0)-p(1)q(1)+p(2)q(2) =\\ \\ = (1)(5) - (0)(3) + (-5)(1) = 5-0-5 = 0

 

 

3) Sia V=Mat(2,2,\mathbb{R}) e consideriamo il prodotto scalare

 

\langle \ , \ \rangle: Mat(2,2,\mathbb{R}) \times Mat(2,2,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}

 

definito da

 

\langle A,B \rangle = \mbox{Tr}(B^TA)

 

Verifichiamo che \mathcal{B} data da

 

\mathcal{B}=\left\{\begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&3\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&-2 \\ -1&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}-3&0 \\ 0&1\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}1&2 \\ -4&3\end{pmatrix}\right\}

 

è una base ortogonale di Mat(2,2,\mathbb{R}) rispetto a \langle \ , \ \rangle.

 

Poniamo

 

A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&3\end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix}0&-2 \\ -1&0\end{pmatrix}, \ C=\begin{pmatrix}-3&0 \\ 0&1\end{pmatrix}, \ D=\begin{pmatrix}1&2 \\ -4&3\end{pmatrix}

 

e calcoliamo i prodotti scalari

 

\langle A,B \rangle, \ \langle A,C \rangle, \ \langle A,D \rangle, \ \langle B,C \rangle, \ \langle B,D \rangle, \ \langle C,D \rangle

 

\\ \langle A,B \rangle = \mbox{Tr}(B^T A) = \mbox{Tr}\left[\begin{pmatrix}0&-2 \\ -1&0\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&3\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{Tr}\left[\begin{pmatrix}0&-1 \\ -2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1 \\ 2&3\end{pmatrix}\right] = \mbox{Tr}\begin{pmatrix}-2&-3 \\ -2&2\end{pmatrix}=0

 

Dunque A \perp B. Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che

 

\langle A,C \rangle = \langle A,D \rangle = \langle B,C \rangle = \langle B,D \rangle = \langle C,D \rangle=0

 

Possiamo così concludere che \mathcal{B} è un insieme di vettori ortogonali.

 

 


 

Per il momento ci fermiamo qui, ma siamo solo all'inizio di una lunga serie di lezioni dedicate ai prodotti scalari:

 

- la successiva è dedicata alla matrice associata a un prodotto scalare;

 

- vedremo poi come si studia il segno di un prodotto scalare;

 

- introdurremo il concetto di prodotto scalare degenere;

 

- la nozione di norma indotta da un prodotto scalare;

 

- vi mostreremo come si determina una base ortogonale a partire da un insieme di vettori indipendenti col metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt;

 

- proseguiremo infine con lo studio del complemento ortogonale di un sottospazio e della proiezione di un vettore su un sottospazio.

 

Buona continuazione! E non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e tantissime altre spiegazioni fornite su richiesta degli utenti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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