Forme bilineari

Una forma bilineare è una funzione definita sul prodotto cartesiano tra due spazi vettoriali e a valori in un campo, tale da essere lineare in entrambe le componenti. Più esplicitamente, se V,W sono due \mathbb{K}-spazi vettoriali, una forma bilineare è un'applicazione F: V \times W \to \mathbb{K} che è lineare sia in V che in W.

 

In questa lezione daremo la definizione di forma bilineare più generale possibile e, dopo aver visto qualche esempio, ci concentreremo sulle forme bilineari del tipo F: V \times V \to \mathbb{K}, in cui il dominio è un prodotto cartesiano definito su uno stesso spazio vettoriale V.

 

Proseguiremo introducendo la nozione di matrice associata a una forma bilineare, per poi mostrare il legame che sussiste tra matrici rappresentative di una stessa forma bilineare rispetto a basi diverse. Concluderemo infine con le definizioni di forma bilineare degenere e di forma bilineare simmetrica, corredando il tutto con numerosi esempi.

 

Definizione di forma bilineare

 

Siano \mathbb{K} un campo e V,W spazi vettoriali finitamente generati su \mathbb{K}, rispettivamente di dimensione n,m. L'applicazione

 

 

F: V \times W \to \mathbb{K}

 

 

che alla coppia ordinata di vettori (\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in V \times W associa lo scalare F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{K}

 

 

(\mathbf{v}, \mathbf{w})\ \mapsto F(\mathbf{v}, \mathbf{w})

 

 

è detta forma bilineare se è lineare sia in V che in W, ossia se per ogni \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \ \mathbf{v}, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in V, \ \mathbf{w}, \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \in W valgono le seguenti proprietà:

 

(a) Additività e omogeneità rispetto alla prima componente

 

 

F(\alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2, \ \mathbf{w}) = \alpha F(\mathbf{v}_1, \mathbf{w}) + \beta F(\mathbf{v}_2, \mathbf{w})

 

 

(b) Additività e omogeneità rispetto alla seconda componente

 

 

F(\mathbf{v}, \ \alpha \mathbf{w}_1 + \beta \mathbf{w}_2) = \alpha F(\mathbf{v}, \mathbf{w}_1) + \beta F(\mathbf{v}, \mathbf{w}_2)

 

 

In particolare, se V=W, la trasformazione F:V \times V \to \mathbb{K} è detta forma bilineare su V.

 

 

Osservazione

 

Se uno dei due vettori preimmagine di una forma bilineare è il vettore nullo, allora l'immagine è lo zero del campo. Più esplicitamente, indichiamo con \mathbf{0}_V e con \mathbf{0}_W il vettore nullo di V e quello di W. Se F: V \times W \to \mathbb{K} è una forma bilineare, allora per ogni \mathbf{v} \in V e per ogni \mathbf{w} \in W si ha che

 

F(\mathbf{0}_V, \mathbf{w})=0=F(\mathbf{v}, \mathbf{0}_W)

 

Questa proprietà è una conseguenza delle condizioni di omogeneità ed è assunta come condizione necessaria per stabilire se un'applicazione è bilineare.

 

 

Esempi di forme bilineari e non bilineari

 

1) L'applicazione F:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} definita da

 

F((x_1,x_2,x_3), \ (y_1,y_2)) = x_1(y_1+y_2)+x_2(y_1-y_2)+x_3y_1

 

è una forma bilineare.

 

Dimostriamolo. Consideriamo

 

\alpha,\beta \in \mathbb{K}\\ \\ (x_1,x_2,x_3),\ (x_1',x_2',x_3') \in \mathbb{R}^3\\ \\ (y_1,y_2),\ (y_1',y_2')\in \mathbb{R}^2

 

e verifichiamo che F soddisfa le proprietà richieste dalla definizione di forma bilineare:

 

\\ F(\alpha(x_1,x_2,x_3)+\beta(x_1',x_2',x_3'), \ (y_1,y_2))= \\ \\ = F((\alpha x_1+\beta x_1', \ \alpha x_2 + \beta x_2', \ \alpha x_3+ \beta x_3'), \ (y_1,y_2)) = \mbox{per com'è definita }F \\ \\ = (\alpha x_1+\beta x_1')(y_1+y_2) + (\alpha x_2+\beta x_2')(y_1-y_2) + (\alpha x_3+\beta x_3')y_1 = \\ \\ =\alpha x_1(y_1+y_2)+\beta x_1'(y_1+y_2)+\alpha x_2(y_1-y_2)+\beta x_2'(y_1-y_2)+\alpha x_3y_1+\beta x_3'y_1 = \\ \\ = \alpha[x_1(y_1+y_2)+x_2(y_1-y_2)+x_3y_1]+\beta[x_1'(y_1+y_2)+x_2'(y_1-y_2)+x_3'y_1]= \\ \\ = \alpha F((x_1,x_2,x_3), \ (y_1,y_2)) + \beta F((x_1',x_2',x_3'), \ (y_1,y_2))

 

Abbiamo così dimostrato la proprietà (a), ossia la linearità di F rispetto alla prima componente. Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare la proprietà (b), ossia di provare che

 

\\ F((x_1,x_2,x_3), \ \alpha(y_1,y_2)+\beta(y_1', y_2'))= \\ \\ = \alpha F((x_1,x_2,x_3), \ (y_1,y_2)) + \beta F((x_1,x_2,x_3), \ (y_1',y_2'))

 

 

2) Consideriamo la trasformazione F:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} tale che

 

F((x_1,x_2), \ (y_1,y_2,y_3)) = x_1(y_1+y_2)+x_2(y_1-y_3+2)

 

Tale applicazione non è bilineare. Per giungere a questa conclusione è sufficiente osservare che per ogni (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2

 

\\ F((x_1,x_2), \ \mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}) = F((x_1,x_2), \ (0,0,0)) = \\ \\ = x_1(0+0)+x_2(0-0+2) = 0+2x_2 = 2x_2

 

Sebbene uno dei due vettori preimmagine sia il vettore nullo, l'immagine tramite F non è 0, e quindi F non è bilineare.

 

 

Nota bene: da qui in poi lavoreremo con forme bilineari definite su uno stesso spazio vettoriale V, ossia con forme del tipo F: V\times V \to \mathbb{K}. Potrebbe sembrare un'ipotesi restrittiva, ma in realtà non lo è più di tanto. Come vedremo, infatti, la maggior parte della teoria sulle forme bilineari si sviluppa su applicazioni di questo tipo.

 

Matrice associata a una forma bilineare

 

Per definire la matrice associata a una forma bilineare e vedere come si costruisce consideriamo una forma bilineare F: V \times V \to \mathbb{K} definita su un \mathbb{K}-spazio vettoriale V di dimensione n.

 

Detta \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V, la matrice associata a F rispetto alla base \mathcal{B} è quella matrice A=(a_{ij}) i cui elementi sono le immagini tramite F delle coppie ordinate di vettori (\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j), al variare di i,j in \{1,2,...,n\}.

 

In altri termini, se \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base di V, la matrice A_F^{\mathcal{B}} associata alla forma bilineare F: V \times V \to \mathbb{K} rispetto alla base \mathcal{B} è quella matrice A=(a_{ij}) tale che per ogni i,j \in \{1,2,...,n\}:

 

a_{ij}=F(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)

 

Più esplicitamente

 

A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) & \cdots & F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_n) \\ \\ F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2) & \cdots & F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_n) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ F(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_2) & \cdots & F(\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_n)\end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{n,n}

 

Se indichiamo con

 

\mathbf{v}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n\end{pmatrix}, \ \mathbf{w}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix}

 

le coordinate rispetto alla base \mathcal{B} di due vettori \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V, allora l'immagine mediante F della coppia (\mathbf{v}, \mathbf{w}) si individua tramite la matrice associata secondo la formula

 

F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = (\mathbf{v}_{\mathcal{B}})^T \ A_{F}^{\mathcal{B}} \ \mathbf{w}_{\mathcal{B}}

 

A ogni forma bilineare è quindi associata una matrice che dipende dalla scelta della base di V.

 

Viceversa, fissata una base \mathcal{B} di V, a ogni matrice A \in Mat(n,n,\mathbb{K}) si può associare una forma bilineare F:V\times V \to \mathbb{K} data da

 

F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{y}

 

dove \mathbf{x},\mathbf{y} sono i vettori colonna delle coordinate di \mathbf{v},\mathbf{w} espresse rispetto alla base \mathcal{B} fissata.

 

In definitiva, proprio come accade per la matrice associata a un'applicazione lineare, per determinare la matrice rappresentativa di una forma bilineare o per risalire a una forma bilineare da una matrice, è determinante la scelta della base.

 

Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di una forma bilineare

 

1) Determinare la matrice associata alla forma bilineare \\ F: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

 

F((x_1,x_2), \ (y_1,y_2))=x_1y_1+2x_1y_2-3x_2y_1+x_2y_2

 

rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^2, e successivamente rispetto alla base \mathcal{B}=\{(1,2), \ (3,-1)\}

 

Svolgimento: indichiamo con

 

\mathcal{C}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}=\{(1,0),(0,1)\}

 

la base canonica di \mathbb{R}^2. La matrice A_F^{\mathcal{C}} che rappresenta F rispetto a \mathcal{C} è un matrice quadrata di ordine 2, i cui elementi sono

 

\\ a_{11}=F(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1) = F((1,0), \ (1,0)) = \\ \\ =1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \\ \\ a_{12}=F(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = F((1,0), \ (0,1)) = \\ \\ =1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 2 \\ \\ a_{21}=F(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1) = F((0,1), \ (1,0)) = \\ \\ =0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -3 \\ \\ a_{22}=F(\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2) = F((0,1), \ (0,1)) = \\ \\ =0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 1 - 3 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1

 

dunque

 

A_F^{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}1&2 \\ -3&1\end{pmatrix}

 

Infine, detti \mathbf{v}_1=(1,2) \mbox{ e } \mathbf{v}_2=(3,-1) i vettori di \mathcal{B}, gli elementi della matrice A_F^{\mathcal{B}} associata a F rispetto a \mathcal{B} sono

 

\\ a_{11}=F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1) = F((1,2), \ (1,2)) = \\ \\ = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2 - 3 \cdot 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1+4-6+4=3 \\ \\ a_{12}=F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = F((1,2), \ (3,-1)) = \\ \\ = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 3-2-18-2=-19 \\ \\ a_{21}=F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1) = F((3,-1), \ (1,2)) = \\ \\ = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 3+12+3-2=16 \\ \\ a_{22}=F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2) = F((3,-1), \ (3,-1)) = \\ \\ = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1) \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) = 9-6+9+1=13

 

e quindi

 

A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3&-19 \\ 16&13\end{pmatrix}

 

 

2) Sia V=\mathbb{R}_2[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2. Calcolare, rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_2[x], la matrice rappresentativa della forma bilineare

 

\\ F:\mathbb{R}_2[x] \times \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R} \\ \\ F(p(x), q(x))=2p(0)q(0)+p'(0)q(1)+3p(1)q'(0)

 

dove l'apice indica la derivata prima di un polinomio rispetto a x.

 

Svolgimento: per calcolare la matrice rappresentativa di F conviene ricavare dapprima la sua esplicita. A tal proposito siano

 

\\ p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2 \\ \\ q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2

 

due elementi di \mathbb{R}_2[x]. Allora:

 

\\ p'(x)=b_1+2c_1x \\ \\ q'(x)=b_2+2c_2x

 

e quindi

 

\\ p(0)=a_1, \ \ q(0)=a_2\\ \\ p'(0)=b_1, \ \ q'(0)=b_2, \\ \\ p(1)=a_1+b_1+c_1, \ \ q(1)=a_2+b_2+c_2

 

di conseguenza possiamo riprendere la definizione della forma bilineare assegnata

 

F(p(x), q(x))=2p(0)q(0)+p'(0)q(1)+3p(1)q'(0)

 

e riscriverla nella forma

 

F(p(x), q(x))=2a_1a_2+b_1(a_2+b_2+c_2)+3b_2(a_1+b_1+c_1)

 

A questo punto fissiamo la base canonica di \mathbb{R}^2[x], ossia \mathcal{C}=\{1,x,x^2\}, e determiniamo gli elementi della matrice rappresentativa di F rispetto a tale base.

 

Il suo primo elemento è

 

a_{11}=F(p(x),q(x))\ \ \mbox{ con } p(x)=q(x)=1

 

Attenendoci alle notazione scelte, p(x)=1 è un polinomio della forma

 

p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2=1\ \iff\ a_1=1, \ b_1=c_1=0

 

Allo stesso modo q(x)=1 è un polinomio della forma

 

q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2=1\ \iff\ a_2=1, \ b_2=c_2=0

 

Dunque per calcolare F(1,1) è sufficiente sostituire tali valori nell'espressione esplicita di F, ottenendo

 

a_{11}=F(1,1)=2 \cdot 1 \cdot 1 + 0\cdot (1+0+0) + 3\cdot 0\cdot (1+0+0) = 2

 

Calcoliamo ora l'elemento a_{12}=F(1,x)

 

p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2=1 \iff a_1=1, \ b_1=c_1=0

 

mentre

 

q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2=x \iff b_2=1, \ a_2=c_2=0

 

Dunque

 

a_{12}=F(1,x)=0+0+3=3

 

Proseguiamo con a_{13}=F(1,x^2)

 

p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2=1 \iff a_1=1, \ b_1=c_1=0

 

Di contro

 

q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2=x^2 \iff c_2=1, \ a_2=b_2=0

 

Pertanto

 

a_{13}=F(1,x)=0+0+0=0

 

Procedendo allo stesso modo si verifica facilmente che

 

\\ a_{21}=F(x,1)=1, \ \ a_{22}=F(x,x)=4, \ \ a_{23}=F(x,x^2)=1, \\ \\ a_{31}=F(x^2,1)=0, \ \ a_{32}=F(x^2,x)=3, \ \ a_{33}=F(x^2,x^2)=0

 

di conseguenza

 

A_F^{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}2&3&0 \\ 1&4&1 \\ 0&3&0\end{pmatrix}

 

 

Caso particolare: matrice associata a una forma bilineare rispetto alla base canonica

 

Come risulta evidente dal precedente esempio 1), se A=(a_{ij}) \in Mat(n,n,\mathbb{K}) rappresenta una forma bilineare del tipo F: \mathbb{K}^n \times \mathbb{K}^n \to \mathbb{K} rispetto alla base canonica di \mathbb{K}^n, allora a_{ij} è il coefficiente di x_iy_j, e viceversa.

 

Relazione tra matrici associate alla stessa forma bilineare

 

Nella lezione sulla formula del cambiamento di base per applicazioni lineari abbiamo dimostrato che matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi differenti sono matrici simili. Cerchiamo ora di capire qual è il legame tra matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi distinte.

 

Come di consueto consideriamo uno spazio vettoriale V finitamente generato su un campo \mathbb{K} e sia F:V \times V \to \mathbb{K} una forma bilineare.

 

Prendiamo due basi \mathcal{B},\mathcal{B}' di V e siano

 

A:=A_F^{\mathcal{B}} la matrice associata a F rispetto a \mathcal{B};

 

A':=A_F^{\mathcal{B}'} la matrice rappresentativa di F riferita a \mathcal{B}'.

 

Vogliamo determinare il legame esistente tra queste due matrici. Indichiamo con

 

M:=M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}' a \mathcal{B}.

 

Sia quindi \mathbf{v} \in V e rappresentiamo con \mathbf{v}_{\mathcal{B}} e con \mathbf{v}_{\mathcal{B}'} i vettori colonna delle coordinate di \mathbf{v} rispetto alle basi \mathcal{B} e \mathcal{B}'.

 

Dalla definizione di matrice di cambiamento di base segue che

 

(1) \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}} = M \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'}

 

mentre dalla definizione di matrice associata a una forma bilineare si ha che

 

\\ F(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = \left(\mathbf{v}_{\mathcal{B}}\right)^T A \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}} \\ \\ F(\mathbf{v}, \mathbf{v}) = \left(\mathbf{v}_{\mathcal{B}'}\right)^T A' \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'}

 

dunque

 

\\ \left(\mathbf{v}_{\mathcal{B}'}\right)^T A' \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'} = F(\mathbf{v}, \mathbf{v})\\ \\ =\left(\mathbf{v}_{\mathcal{B}}\right)^T A \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}} = \mbox{ per (1) } \\ \\ = \left(M \mathbf{v}_{\mathcal{B}'}\right)^T \ A \ \left( M \mathbf{v}_{\mathcal{B}'} \right) = \\ \\ = \left(\mathbf{v}_{\mathcal{B}'}\right)^T \ M^T \ A \ M \ \mathbf{v}_{\mathcal{B}'}

 

Dall'arbitrarietà della scelta di \mathbf{v} \in V segue che

 

A' = M^T \ A \ M

 

ossia

 

A_F^{\mathcal{B}'} = \left(M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}\right)^T \ A_F^{\mathcal{B}} \ M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}

 

La precedente formula è detta formula del cambiamento di base per forme bilineari e da essa si evince che matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi differenti sono matrici congruenti.

 

 

Esempio di applicazione della formula del cambiamento di base per forme bilineari

 

Partiamo dalla matrice rappresentativa di una forma bilineare F:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, scritta rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^2

 

A_F^{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 0&1\end{pmatrix}

 

Calcolare la matrice associata a F rispetto alla base \mathcal{B}'=\{(1,-1), \ (0,2)\}.

 

Svolgimento: determiniamo la matrice di cambiamento di base da \mathcal{B}' alla base canonica di \mathbb{R}^2, che è quella matrice che ha per colonne le componenti dei vettori di \mathcal{B}'

 

M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix}

 

Calcoliamo A_F^{\mathcal{B}'} con la formula del cambiamento di base per forme bilineari

 

\\ A_F^{\mathcal{B}'} = \left(M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}\right)^T \ A_F^{\mathcal{B}} \ M_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}} = \\ \\ = \begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}1&-1 \\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}1&-1 \\ 0&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1 \\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0 \\ -1&2\end{pmatrix} =  \\ \\ \\ = \begin{pmatrix} 3&-4 \\ -2&4 \end{pmatrix}

 

Volendo verificare la correttezza del risultato ottenuto possiamo risalire alla forma esplicita della forma bilineare dalla matrice associata, per poi determinare A_F^{\mathcal{B}'}.

 

La matrice assegnata è riferita alla base canonica, dunque la forma esplicita di F è tale che a_{ij} uguagli il coefficiente di x_iy_j:

 

F((x_1,x_2),(y_1,y_2))=a_{11}x_1y_1+a_{12}x_1y_2+a_{21}x_2y_1+a_{22}x_2y_2=\\ \\ =x_1y_1-x_1y_2+x_2y_2

 

Detti \mathbf{v}_1=(1,-1) e \mathbf{v}_2=(0,2) i vettori di \mathcal{B}', si ha che

 

A_F^{\mathcal{B}'}=\begin{pmatrix} F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) \\ F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1) & F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&-4 \\ -2&4\end{pmatrix}

 

Come potete osservare si ottiene lo stesso identico risultato.

 

Forme bilineari degeneri e non degeneri

 

Consideriamo, ancora una volta, una forma bilineare

 

\\ F: V \times V \to \mathbb{K} \\ \\ (\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{K}

 

Subito dopo aver dato la definizione di forma bilineare abbiamo osservato che se almeno uno tra i vettori della coppia (\mathbf{v}, \mathbf{w}) è il vettore nullo di V, allora F(\mathbf{v}, \mathbf{w})=0

 

Se esiste almeno un vettore non nullo \mathbf{v} \in V,\ \mathbf{v} \neq \mathbf{0}_V tale che per ogni \mathbf{w} \in V risulta F(\mathbf{v}, \mathbf{w})=0 allora F è detta forma bilineare degenere

 

 

F\mbox{ degenere se }\exists\ \mathbf{v} \in V,\ \mathbf{v} \neq \mathbf{0}_V\mbox{ t.c. }\forall \ \mathbf{w} \in V\mbox{ risulta }F(\mathbf{v}, \mathbf{w})=0

 

 

In caso contrario, cioè se

 

 

F(\mathbf{v}, \mathbf{w})=0 \iff \mathbf{v}=\mathbf{0}_V \mbox{ oppure } \mathbf{w}=\mathbf{0}_V

 

 

allora F è una forma bilineare non degenere.

 

Più in generale, data una forma bilineare F: V \times V \to \mathbb{K} si introduce il radicale o nucleo di F come il sottoinsieme di V definito da

 

 

V^{\perp}:=\{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } F(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0\ \ \forall\ \mathbf{w} \in V\}

 

 

Alla luce di tale definizione possiamo affermare che una forma bilineare è non degenere se e solo se ha nucleo (o radicale) banale, ossia

 

 

F \mbox{ forma bilineare non degenere } \iff V^{\perp}=\{\mathbf{0}\}

 

 

Il nome nucleo non è stato scelto a caso; i più attenti, infatti, avranno notato una certa corrispondenza tra la definizione di nucleo di un'applicazione lineare e nucleo di una forma bilineare.

 

All'atto pratico, per stabilire se una forma bilineare è degenere o non degenere è sufficiente determinare una delle matrici rappresentative di F: se il rango della matrice è massimo, ossia se ha determinante diverso da zero, la forma è non degenere, in caso contrario è degenere.

 

 

Esempi di forme bilineari degeneri e non degeneri

 

A) Tutte le forme bilineari introdotte fin qui sono non degeneri; potete infatti verificare che il determinante delle matrici a esse associate sono non nulli.

 

 

B) La forma bilineare F: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 data da

 

F((x_1,x_2,x_3), \ (y_1,y_2,y_3)) = x_1(y_1+2y_2)+x_2(y_2-y_3)+x_3(y_1-y_2+3y_3)

 

è degenere. Per verificarlo determiniamo la matrice associata a F rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3:

 

A_F=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 0&1&-1 \\ 1&-1&3\end{pmatrix}

 

Procedendo con la regola di Sarrus lasciamo a voi l'onere di calcolarne il determinante e vedere che è nullo, il che conferma che F è degenere.

 

Forme bilineari simmetriche

 

F:V \times V \to \mathbb{K} è detta forma bilineare simmetrica se per ogni \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V risulta che

 

 

F(\mathbf{v}, \mathbf{w})=F(\mathbf{w}, \mathbf{v})

 

 

Detta \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V, dalla definizione segue che se F è una forma bilineare simmetrica allora per ogni i,j \in \{1,2,...,n\} vale

 

F(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j)=F(\mathbf{v}_j, \mathbf{v}_i)

 

Se ben ricordate, F(\mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j) è l'elemento a_{ij} della matrice associata a F rispetto a \mathcal{B}, quindi le matrici associate a una forma bilineare simmetrica rispetto a qualsiasi base sono matrici simmetriche, e viceversa.

 

 


 

Avremo modo di trattare approfonditamente le forme bilineari simmetriche nella prossima lezione, dove introdurremo il concetto di prodotto scalare. Nel frattempo, per dubbi o domande, vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante spiegazioni fornite dallo Staff. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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