Forme bilineari

Una forma bilineare è una funzione definita sul prodotto cartesiano tra due spazi vettoriali e a valori in un campo, tale da essere lineare in entrambe le componenti. Più esplicitamente, se V,W sono due K-spazi vettoriali, una forma bilineare è un'applicazione F: V×W → K che è lineare sia in V che in W.

In questa lezione daremo la definizione di forma bilineare più generale possibile e, dopo aver visto qualche esempio, ci concentreremo sulle forme bilineari del tipo F: V×V → K, in cui il dominio è un prodotto cartesiano definito su uno stesso spazio vettoriale V.

Proseguiremo introducendo la nozione di matrice associata a una forma bilineare, per poi mostrare il legame che sussiste tra matrici rappresentative di una stessa forma bilineare rispetto a basi diverse. Concluderemo infine con le definizioni di forma bilineare degenere e di forma bilineare simmetrica, corredando il tutto con numerosi esempi.

Definizione di forma bilineare

Siano K un campo e V,W spazi vettoriali finitamente generati su K, rispettivamente di dimensione n,m. L'applicazione

F: V×W → K

che alla coppia ordinata di vettori (v, w) ∈ V×W associa lo scalare F(v, w) ∈ K

(v, w) ↦ F(v, w)

è detta forma bilineare se è lineare sia in V che in W, ossia se per ogni α, β ∈ K, v, v_1, v_2 ∈ V, w, w_1, w_2 ∈ W valgono le seguenti proprietà:

(a) Additività e omogeneità rispetto alla prima componente

F(α v_1+β v_2, w) = α F(v_1, w)+β F(v_2, w)

(b) Additività e omogeneità rispetto alla seconda componente

F(v, α w_1+β w_2) = α F(v, w_1)+β F(v, w_2)

In particolare, se V = W, la trasformazione F:V×V → K è detta forma bilineare su V.

Osservazione

Se uno dei due vettori preimmagine di una forma bilineare è il vettore nullo, allora l'immagine è lo zero del campo. Più esplicitamente, indichiamo con 0_V e con 0_W il vettore nullo di V e quello di W. Se F: V×W → K è una forma bilineare, allora per ogni v ∈ V e per ogni w ∈ W si ha che

F(0_V, w) = 0 = F(v, 0_W)

Questa proprietà è una conseguenza delle condizioni di omogeneità ed è assunta come condizione necessaria per stabilire se un'applicazione è bilineare.

Esempi di forme bilineari e non bilineari

1) L'applicazione F:R^3×R^2 → R definita da

F((x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2)) = x_1(y_1+y_2)+x_2(y_1-y_2)+x_3y_1

è una forma bilineare.

Dimostriamolo. Consideriamo

α,β ∈ K ; (x_1,x_2,x_3), (x_1',x_2',x_3') ∈ R^3 ; (y_1,y_2), (y_1',y_2')∈ R^2

e verifichiamo che F soddisfa le proprietà richieste dalla definizione di forma bilineare:

F(α(x_1,x_2,x_3)+β(x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2)) = F((α x_1+β x_1', α x_2+β x_2', α x_3+β x_3'), (y_1,y_2)) = per com'è definita F ; = (α x_1+β x_1')(y_1+y_2)+(α x_2+β x_2')(y_1-y_2)+(α x_3+β x_3')y_1 = α x_1(y_1+y_2)+β x_1'(y_1+y_2)+α x_2(y_1-y_2)+β x_2'(y_1-y_2)+α x_3y_1+β x_3'y_1 = α[x_1(y_1+y_2)+x_2(y_1-y_2)+x_3y_1]+β[x_1'(y_1+y_2)+x_2'(y_1-y_2)+x_3'y_1] = α F((x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2))+β F((x_1',x_2',x_3'), (y_1,y_2))

Abbiamo così dimostrato la proprietà (a), ossia la linearità di F rispetto alla prima componente. Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare la proprietà (b), ossia di provare che

F((x_1,x_2,x_3), α(y_1,y_2)+β(y_1', y_2')) = α F((x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2))+β F((x_1,x_2,x_3), (y_1',y_2'))

2) Consideriamo la trasformazione F:R^2×R^3 → R tale che

F((x_1,x_2), (y_1,y_2,y_3)) = x_1(y_1+y_2)+x_2(y_1-y_3+2)

Tale applicazione non è bilineare. Per giungere a questa conclusione è sufficiente osservare che per ogni (x_1, x_2) ∈ R^2

F((x_1,x_2), 0_(R^3)) = F((x_1,x_2), (0,0,0)) = x_1(0+0)+x_2(0-0+2) = 0+2x_2 = 2x_2

Sebbene uno dei due vettori preimmagine sia il vettore nullo, l'immagine tramite F non è 0, e quindi F non è bilineare.

Nota bene: da qui in poi lavoreremo con forme bilineari definite su uno stesso spazio vettoriale V, ossia con forme del tipo F: V×V → K. Potrebbe sembrare un'ipotesi restrittiva, ma in realtà non lo è più di tanto. Come vedremo, infatti, la maggior parte della teoria sulle forme bilineari si sviluppa su applicazioni di questo tipo.

Matrice associata a una forma bilineare

Per definire la matrice associata a una forma bilineare e vedere come si costruisce consideriamo una forma bilineare F: V×V → K definita su un K-spazio vettoriale V di dimensione n.

Detta mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n una base di V, la matrice associata a F rispetto alla base mathcalB è quella matrice A = (a_(ij)) i cui elementi sono le immagini tramite F delle coppie ordinate di vettori (v_i, v_j), al variare di i,j in 1,2,...,n.

In altri termini, se mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n è una base di V, la matrice A_F^(mathcalB) associata alla forma bilineare F: V×V → K rispetto alla base mathcalB è quella matrice A = (a_(ij)) tale che per ogni i,j ∈ 1,2,...,n:

a_(ij) = F(v_i, v_j)

Più esplicitamente

A_F^(mathcalB) = [F(v_1, v_1) F(v_1, v_2) ··· F(v_1, v_n) ; F(v_2, v_1) F(v_2, v_2) ··· F(v_2, v_n) ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; F(v_n, v_1) F(v_n, v_2) ··· F(v_n, v_n)] ∈ K^(n,n)

Se indichiamo con

v_(mathcalB) = [v_1 ; v_2 ; ⋮ ; v_n], w_(mathcalB) = [w_1 ; w_2 ; ⋮ ; w_n]

le coordinate rispetto alla base mathcalB di due vettori v, w ∈ V, allora l'immagine mediante F della coppia (v, w) si individua tramite la matrice associata secondo la formula

F(v, w) = (v_(mathcalB))^T A_(F)^(mathcalB) w_(mathcalB)

A ogni forma bilineare è quindi associata una matrice che dipende dalla scelta della base di V.

Viceversa, fissata una base mathcalB di V, a ogni matrice A ∈ Mat(n,n,K) si può associare una forma bilineare F:V×V → K data da

F(v, w) = x^T A y

dove x,y sono i vettori colonna delle coordinate di v,w espresse rispetto alla base mathcalB fissata.

In definitiva, proprio come accade per la matrice associata a un'applicazione lineare, per determinare la matrice rappresentativa di una forma bilineare o per risalire a una forma bilineare da una matrice, è determinante la scelta della base.

Esempi sul calcolo della matrice rappresentativa di una forma bilineare

1) Determinare la matrice associata alla forma bilineare F: R^2×R^2 → R

F((x_1,x_2), (y_1,y_2)) = x_1y_1+2x_1y_2-3x_2y_1+x_2y_2

rispetto alla base canonica di R^2, e successivamente rispetto alla base mathcalB = (1,2), (3,-1)

Svolgimento: indichiamo con

mathcalC = e_1,e_2 = (1,0),(0,1)

la base canonica di R^2. La matrice A_F^(mathcalC) che rappresenta F rispetto a mathcalC è una matrice quadrata di ordine 2, i cui elementi sono

a_(11) = F(e_1, e_1) = F((1,0), (1,0)) = 1·1+2·1·0-3·0·1+0·0 = 1 ; a_(12) = F(e_1, e_2) = F((1,0), (0,1)) = 1·0+2·1·1-3·0·0+0·1 = 2 ; a_(21) = F(e_2, e_1) = F((0,1), (1,0)) = 0·1+2·0·0-3·1·1+1·0 = -3 ; a_(22) = F(e_2, e_2) = F((0,1), (0,1)) = 0·0+2·0·1-3·1·0+1·1 = 1

dunque

A_F^(mathcalC) = [1 2 ;-3 1]

Infine, detti v_1 = (1,2) e v_2 = (3,-1) i vettori di mathcalB, gli elementi della matrice A_F^(mathcalB) associata a F rispetto a mathcalB sono

a_(11) = F(v_1, v_1) = F((1,2), (1,2)) = 1·1+2·1·2-3·2·1+2·2 = 1+4-6+4 = 3 ; a_(12) = F(v_1, v_2) = F((1,2), (3,-1)) = 1·3+2·1·(-1)-3·2·3+2·(-1) = 3-2-18-2 = -19 ; a_(21) = F(v_2, v_1) = F((3,-1), (1,2)) = 3·1+2·3·2-3·(-1)·1+(-1)·2 = 3+12+3-2 = 16 ; a_(22) = F(v_2, v_2) = F((3,-1), (3,-1)) = 3·3+2·3·(-1)-3·(-1)·3+(-1)·(-1) = 9-6+9+1 = 13

e quindi

A_F^(mathcalB) = [3 -19 ; 16 13]

2) Sia V = R_2[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 2. Calcolare, rispetto alla base canonica di R_2[x], la matrice rappresentativa della forma bilineare

F:R_2[x]×R_2[x] → R ; F(p(x), q(x)) = 2p(0)q(0)+p'(0)q(1)+3p(1)q'(0)

dove l'apice indica la derivata prima di un polinomio rispetto a x.

Svolgimento: per calcolare la matrice rappresentativa di F conviene ricavare dapprima la sua esplicita. A tal proposito siano

p(x) = a_1+b_1x+c_1x^2 ; q(x) = a_2+b_2x+c_2x^2

due elementi di R_2[x]. Allora:

p'(x) = b_1+2c_1x ; q'(x) = b_2+2c_2x

e quindi

p(0) = a_1, q(0) = a_2 ; p'(0) = b_1, q'(0) = b_2, ; p(1) = a_1+b_1+c_1, q(1) = a_2+b_2+c_2

di conseguenza possiamo riprendere la definizione della forma bilineare assegnata

F(p(x), q(x)) = 2p(0)q(0)+p'(0)q(1)+3p(1)q'(0)

e riscriverla nella forma

F(p(x), q(x)) = 2a_1a_2+b_1(a_2+b_2+c_2)+3b_2(a_1+b_1+c_1)

A questo punto fissiamo la base canonica di R^2[x], ossia mathcalC = 1,x,x^2, e determiniamo gli elementi della matrice rappresentativa di F rispetto a tale base.

Il suo primo elemento è

a_(11) = F(p(x),q(x)) con p(x) = q(x) = 1

Attenendoci alle notazione scelte, p(x) = 1 è un polinomio della forma

p(x) = a_1+b_1x+c_1x^2 = 1 ⇔ a_1 = 1, b_1 = c_1 = 0

Allo stesso modo q(x) = 1 è un polinomio della forma

q(x) = a_2+b_2x+c_2x^2 = 1 ⇔ a_2 = 1, b_2 = c_2 = 0

Dunque per calcolare F(1,1) è sufficiente sostituire tali valori nell'espressione esplicita di F, ottenendo

a_(11) = F(1,1) = 2·1·1+0·(1+0+0)+3·0·(1+0+0) = 2

Calcoliamo ora l'elemento a_(12) = F(1,x)

p(x) = a_1+b_1x+c_1x^2 = 1 ⇔ a_1 = 1, b_1 = c_1 = 0

mentre

q(x) = a_2+b_2x+c_2x^2 = x ⇔ b_2 = 1, a_2 = c_2 = 0

Dunque

a_(12) = F(1,x) = 0+0+3 = 3

Proseguiamo con a_(13) = F(1,x^2)

p(x) = a_1+b_1x+c_1x^2 = 1 ⇔ a_1 = 1, b_1 = c_1 = 0

Di contro

q(x) = a_2+b_2x+c_2x^2 = x^2 ⇔ c_2 = 1, a_2 = b_2 = 0

Pertanto

a_(13) = F(1,x) = 0+0+0 = 0

Procedendo allo stesso modo si verifica facilmente che

a_(21) = F(x,1) = 1, a_(22) = F(x,x) = 4, a_(23) = F(x,x^2) = 1, ; a_(31) = F(x^2,1) = 0, a_(32) = F(x^2,x) = 3, a_(33) = F(x^2,x^2) = 0

di conseguenza

A_F^(mathcalC) = [2 3 0 ; 1 4 1 ; 0 3 0]

Caso particolare: matrice associata a una forma bilineare rispetto alla base canonica

Come risulta evidente dal precedente esempio 1), se A = (a_(ij)) ∈ Mat(n,n,K) rappresenta una forma bilineare del tipo F: K^n×K^n → K rispetto alla base canonica di K^n, allora a_(ij) è il coefficiente di x_iy_j, e viceversa.

Relazione tra matrici associate alla stessa forma bilineare

Nella lezione sulla formula del cambiamento di base per applicazioni lineari abbiamo dimostrato che matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi differenti sono matrici simili. Cerchiamo ora di capire qual è il legame tra matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi distinte.

Come di consueto consideriamo uno spazio vettoriale V finitamente generato su un campo K e sia F:V×V → K una forma bilineare.

Prendiamo due basi mathcalB, mathcalB' di V e siano

A: = A_F^(mathcalB) la matrice associata a F rispetto a mathcalB;

A': = A_F^(mathcalB') la matrice rappresentativa di F riferita a mathcalB'.

Vogliamo determinare il legame esistente tra queste due matrici. Indichiamo con

M: = M_(mathcalB'→ mathcalB) la matrice di cambiamento di base da mathcalB' a mathcalB.

Sia quindi v ∈ V e rappresentiamo con v_(mathcalB) e con v_(mathcalB') i vettori colonna delle coordinate di v rispetto alle basi mathcalB e mathcalB'.

Dalla definizione di matrice di cambiamento di base segue che

(1) v_(mathcalB) = M v_(mathcalB')

mentre dalla definizione di matrice associata a una forma bilineare si ha che

F(v, v) = (v_(mathcalB))^T A v_(mathcalB) ; F(v, v) = (v_(mathcalB'))^T A'v_(mathcalB')

dunque

(v_(mathcalB'))^T A'v_(mathcalB') = F(v, v) ; = (v_(mathcalB))^T A v_(mathcalB) = per (1) ; = (M v_(mathcalB'))^T A (M v_(mathcalB')) = (v_(mathcalB'))^T M^T A M v_(mathcalB')

Dall'arbitrarietà della scelta di v ∈ V segue che

A'= M^T A M

ossia

A_F^(mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalB))^T A_F^(mathcalB) M_(mathcalB'→ mathcalB)

La precedente formula è detta formula del cambiamento di base per forme bilineari e da essa si evince che matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi differenti sono matrici congruenti.

Esempio di applicazione della formula del cambiamento di base per forme bilineari

Partiamo dalla matrice rappresentativa di una forma bilineare F:R^2×R^2 → R, scritta rispetto alla base canonica di R^2

A_F^(mathcalB) = [1 -1 ; 0 1]

Calcolare la matrice associata a F rispetto alla base mathcalB'= (1,-1), (0,2).

Svolgimento: determiniamo la matrice di cambiamento di base da mathcalB' alla base canonica di R^2, che è quella matrice che ha per colonne le componenti dei vettori di mathcalB'

M_(mathcalB'→ mathcalB) = [1 0 ;-1 2]

Calcoliamo A_F^(mathcalB') con la formula del cambiamento di base per forme bilineari

A_F^(mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalB))^T A_F^(mathcalB) M_(mathcalB'→ mathcalB) = [1 0 ;-1 2]^T [1 -1 ; 0 1] [1 0 ;-1 2] = [1 -1 ; 0 2] [1 -1 ; 0 1] [1 0 ;-1 2] = [ 3 -4 ;-2 4 ]

Volendo verificare la correttezza del risultato ottenuto possiamo risalire alla forma esplicita della forma bilineare dalla matrice associata, per poi determinare A_F^(mathcalB').

La matrice assegnata è riferita alla base canonica, dunque la forma esplicita di F è tale che a_(ij) uguagli il coefficiente di x_iy_j:

F((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = a_(11)x_1y_1+a_(12)x_1y_2+a_(21)x_2y_1+a_(22)x_2y_2 = x_1y_1-x_1y_2+x_2y_2

Detti v_1 = (1,-1) e v_2 = (0,2) i vettori di mathcalB', si ha che

A_F^(mathcalB') = [ F(v_1, v_1) F(v_1, v_2) ; F(v_2, v_1) F(v_2, v_2) ] = [3 -4 ;-2 4]

Come potete osservare si ottiene lo stesso identico risultato.

Forme bilineari degeneri e non degeneri

Consideriamo, ancora una volta, una forma bilineare

F: V×V → K ; (v, w) ↦ F(v, w) ∈ K

Subito dopo aver dato la definizione di forma bilineare abbiamo osservato che se almeno uno tra i vettori della coppia (v, w) è il vettore nullo di V, allora F(v, w) = 0

Se esiste almeno un vettore non nullo v ∈ V, v ≠ 0_V tale che per ogni w ∈ V risulta F(v, w) = 0 allora F è detta forma bilineare degenere

F degenere se ∃ v ∈ V, v ≠ 0_V t.c. ∀ w ∈ V risulta F(v, w) = 0

In caso contrario, cioè se

F(v, w) = 0 ⇔ v = 0_V oppure w = 0_V

allora F è una forma bilineare non degenere.

Più in generale, data una forma bilineare F: V×V → K si introduce il radicale o nucleo di F come il sottoinsieme di V definito da

V^(perp): = v ∈ V t.c. F(v, w) = 0 ∀ w ∈ V

Alla luce di tale definizione possiamo affermare che una forma bilineare è non degenere se e solo se ha nucleo (o radicale) banale, ossia

F forma bilineare non degenere ⇔ V^(perp) = 0

Il nome nucleo non è stato scelto a caso; i più attenti, infatti, avranno notato una certa corrispondenza tra la definizione di nucleo di un'applicazione lineare e nucleo di una forma bilineare.

All'atto pratico, per stabilire se una forma bilineare è degenere o non degenere è sufficiente determinare una delle matrici rappresentative di F: se il rango della matrice è massimo, ossia se ha determinante diverso da zero, la forma è non degenere, in caso contrario è degenere.

Esempi di forme bilineari degeneri e non degeneri

A) Tutte le forme bilineari introdotte fin qui sono non degeneri; potete infatti verificare che il determinante delle matrici a esse associate sono non nulli.

B) La forma bilineare F: R^3×R^3 data da

F((x_1,x_2,x_3), (y_1,y_2,y_3)) = x_1(y_1+2y_2)+x_2(y_2-y_3)+x_3(y_1-y_2+3y_3)

è degenere. Per verificarlo determiniamo la matrice associata a F rispetto alla base canonica di R^3:

A_F = [1 2 0 ; 0 1 -1 ; 1 -1 3]

Procedendo con la regola di Sarrus lasciamo a voi l'onere di calcolarne il determinante e vedere che è nullo, il che conferma che F è degenere.

Forme bilineari simmetriche

F:V×V → K è detta forma bilineare simmetrica se per ogni v, w ∈ V risulta che

F(v, w) = F(w, v)

Detta mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n una base di V, dalla definizione segue che se F è una forma bilineare simmetrica allora per ogni i,j ∈ 1,2,...,n vale

F(v_i, v_j) = F(v_j, v_i)

Se ben ricordate, F(v_i, v_j) è l'elemento a_(ij) della matrice associata a F rispetto a mathcalB, quindi le matrici associate a una forma bilineare simmetrica rispetto a qualsiasi base sono matrici simmetriche, e viceversa.

Avremo modo di trattare approfonditamente le forme bilineari simmetriche nella prossima lezione, dove introdurremo il concetto di prodotto scalare. Nel frattempo, per dubbi o domande, vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante spiegazioni fornite dallo Staff. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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