Autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo

Autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo permettono di effettuare lo studio degli operatori lineari tra spazi vettoriali, e non a caso sono considerati tra gli argomenti più importanti dell'Algebra Lineare, sia da un punto di vista pratico che teorico.

 

A partire da essi potremo infatti stabilire quando un endomorfismo è diagonalizzabile, e quindi quando esiste una base di autovettori per il dominio, studiarne la triangolabilità e fare molte altre cose che avremo modo di approfondire nelle prossime lezioni.

 

In questa lezione partiremo dalle definizioni di autovalori, autovettori e autospazi associati a un endomorfismo, vedremo come sono legate le une alle altre, vi mostreremo come si determinano e introdurremo una serie di risultati teorici che saranno utili nel seguito.

 

Definizione di autovalore, autospazio e autovettore di un endomorfismo

 

Mettiamoci nell'ipotesi in cui V sia uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo \mathbb{K} e consideriamo un endomorfismo (o operatore lineare) F:V \to V.

 

Un vettore non nullo \mathbf{v} \in V, \ \mathbf{v} \neq \mathbf{0} è detto autovettore dell'endomorfismo F se l'immagine di \mathbf{v} tramite F è un multiplo di \mathbf{v}, ossia se esiste uno scalare \lambda_0 \in \mathbb{K} tale che

 

F(\mathbf{v})=\lambda_0 \mathbf{v}

 

Lo scalare \lambda_0 è detto autovalore associato all'autovettore \mathbf{v} e, allo stesso tempo, \mathbf{v} è detto autovettore relativo all'autovalore \lambda_0.

 

Il sottoinsieme di V

 

V_{\lambda_0} := \{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } F(\mathbf{v})=\lambda_0 \mathbf{v}\}

 

prende il nome di autospazio relativo a \lambda_0, e per com'è definito ha per elementi tutti e soli gli autovettori di F riferiti a \lambda_0.

 

Infine all'insieme di tutti gli autovalori di F, cioè all'insieme di tutti gli scalari per cui esiste un vettore non nullo che soddisfa la definizione di autovettore, si assegna il nome di spettro dell'endomorfismo F e lo si indica con \mbox{sp}(F) o ancora con \sigma(F).

 

 

Osservazioni

 

1) Nel definire il concetto di autovettore abbiamo supposto che \mathbf{v} sia diverso dal vettore nullo. Questo perché, se fosse \mathbf{v}=\mathbf{0}, allora per la linearità di F ogni \lambda \in \mathbb{K} soddisferebbe la relazione

 

F(\mathbf{0}) = \lambda_0 \mathbf{0}

 

e quindi ogni scalare del campo \mathbb{K} sarebbe un autovalore di F.

 

 

2) Se \lambda_0 è un autovalore relativo all'autovettore \mathbf{v}, l'autospazio

 

V_{\lambda_0} = \{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } F(\mathbf{v})=\lambda_0 \mathbf{v}\}

 

è più di un sottoinsieme di V. V_{\lambda_0} infatti è un sottospazio vettoriale di V.

 

Dimostrarlo è davvero semplice ma allo stesso costruttivo, quindi facciamolo: in accordo col teorema di caratterizzazione dei sottospazi occorre provare che per ogni \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in V_{\lambda_0} e per ogni \alpha \in \mathbb{K}

 

\\ (a) \ \ \ \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \in V_{\lambda_0} \\ \\ (b)\ \ \ \alpha \mathbf{v}_1 \in V_{\lambda_0}

 

Siano allora \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in V_{\lambda_0} e \alpha \in \mathbb{K}

 

Per com'è definito l'insieme V_{\lambda_0} risulta

 

F(\mathbf{v}_1)=\lambda_0 \mathbf{v}_1\\ \\ F(\mathbf{v}_2)=\lambda_0 \mathbf{v}_2

 

Sommiamo membro a membro

 

F(\mathbf{v}_1)+F(\mathbf{v}_2)=\lambda_0 \mathbf{v}_1 + \lambda_0 \mathbf{v}_2

 

Dalla linearità dell'endomorfismo F e raccogliendo a fattore comune \lambda_0 otteniamo

 

F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\lambda_0 (\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)

 

Da ciò segue che \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \in V_{\lambda_0}, e la proprietà (a) è dimostrata.

 

Per provare (b) partiamo ancora una volta dalla relazione

 

F(\mathbf{v}_1)=\lambda_0 \mathbf{v}_1

 

che scaturisce dall'appartenenza di \mathbf{v}_1 a V_{\lambda_0}.

 

Moltiplichiamo ambo i membri per \alpha

 

\alpha F(\mathbf{v}_1) = \alpha \lambda_0 \mathbf{v}_1

 

Dalla linearità di F e dalle varie proprietà del prodotto tra vettori si ha

 

F(\alpha \mathbf{v}_1) = \lambda_0 \alpha \mathbf{v}_1 = \lambda_0 (\alpha \mathbf{v}_1)

 

Cosicché \alpha \mathbf{v}_1 \in V_{\lambda_0} e ciò prova (b).

 

In conclusione V_{\lambda_0} è un sottospazio di V.

 

 

3) Dalla proprietà (b) scaturisce che gli autovettori riferiti a uno stesso autovalore \lambda_0 sono infiniti.

 

Per capirlo consideriamo un \mathbf{v} \in V_{\lambda_0}. Allora per ogni \alpha \in \mathbb{K} anche \alpha \mathbf{v} \in V_{\lambda_0} e quindi ogni vettore della forma \alpha \mathbf{v} è un autovettore.

 

Essendo però V_{\lambda_0} un sottospazio, e quindi uno spazio vettoriale, è del tutto lecito cercarne una base, ossia individuarne un sistema di generatori che siano linearmente indipendenti. Alla luce di ciò calcolare gli autovettori di un endomorfismo relativi a un autovalore \lambda_0 equivale a determinare una base per l'autospazio V_{\lambda_0}.

 

Come calcolare autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo

 

Se sono chiare le relative definizioni e avete prestato attenzione alle precedenti osservazioni, il calcolo di autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo risulta essere (quasi) una passeggiata.

 

Siano V un \mathbb{K}-spazio finitamente generato di dimensione n, e F: V \to V un endomorfismo.

 

Affinché \lambda sia un autovalore relativo all'autovettore \mathbf{v} deve valere F(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}, ossia

 

F(\mathbf{v})-\lambda\mathbf{v}=\mathbf{0}_V

 

Per esplicitare la precedente uguaglianza facciamo ricorso all'applicazione identica su V

 

\mbox{Id}_V: V \to V \ \ \ ;\ \ \ \mbox{Id}_V(\mathbf{v})=\mathbf{v}

 

e sostituiamo \lambda \mathbf{v} \mbox{ con } \lambda \mbox{Id}_V(\mathbf{v}). Ricadiamo così nell'uguaglianza

 

F(\mathbf{v})-\lambda\mbox{Id}_V(\mathbf{v})=\mathbf{0}_V

 

che possiamo riscrivere come

 

(F-\lambda\mbox{Id}_V)(\mathbf{v})=\mathbf{0}_V

 

Arrivati a questo punto fissiamo una base \mathcal{B} per lo spazio V, indichiamo con A la matrice associata all'endomorfismo F rispetto a tale base e osserviamo che la matrice associata all'applicazione identica \mbox{Id}_V:V \to V rispetto a una stessa base di dominio e codominio è la matrice identità di ordine n, che rappresentiamo con \mbox{Id}_n.

 

Sia poi \mathbf{x}=(x_1, x_2, ..., x_n)^T il vettore colonna delle coordinate di \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B} fissata.

 

Fatto ciò torniamo all'uguaglianza

 

(F-\lambda\mbox{Id}_V)(\mathbf{v})=\mathbf{0}_V

 

e sostituiamo F con A, \mbox{Id}_V con \mbox{Id}_n, \mathbf{v} con \mathbf{x} e \mathbf{0}_V con \mathbf{0}_{\mathbb{R}^n}. Ricordiamo che n è la dimensione di V.

 

(A-\lambda\mbox{Id}_n)\mathbf{x}=\mathbf{0}_{\mathbb{R}^n}

 

Quella che abbiamo appena scritto è la forma matriciale di un sistema lineare omogeneo nelle incognite x_1,x_2,...,x_n. La matrice dei coefficienti a esso associata è (A-\lambda\mbox{Id}_n).

 

Ricordiamo che stiamo cercando autovalori e autovettori, e quest'ultimi devono essere diversi dal vettore nullo. Dalla teoria sui sistemi lineari dovrebbe essere noto che un sistema lineare omogeneo ammette soluzioni non banali se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, ossia se e solo se

 

\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_n)=0

 

Tale determinante dipende dal parametro \lambda. Effettuando i calcoli otteniamo un polinomio nell'indeterminata \lambda, detto polinomio caratteristico associato ad A e solitamente indicato con p_A(\lambda).

 

Le radici di tale polinomio sono gli autovalori dell'endomorfismo. La molteplicità di ciascuna radice, e quindi di ciascun autovalore, prende il nome di molteplicità algebrica e si denota con m_a( \lambda ).

 

Per ciascun autovalore si determina, poi, il relativo autospazio e se ne estrae una base. Per fissare le idee supponiamo che uno degli autovalori sia \lambda_0: l'autospazio associato è

 

V_{\lambda_0}=\{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } F(\mathbf{v})=\lambda_0\mathbf{v}\}

 

ossia

 

V_{\lambda_0}=\{\mathbf{v} \in V \mbox{ t.c. } (F-\lambda_0\mbox{Id}_V)(\mathbf{v})=\mathbf{0}_V\}

 

Dalla precedente scrittura risulta evidente che V_{\lambda_0} è il nucleo dell'applicazione lineare F-\lambda_0\mbox{Id}_V, ossia

 

V_{\lambda_0}=\mbox{Ker}(F-\lambda_0\mbox{Id}_V)

 

In definitiva cercare una base per l'autospazio V_{\lambda_0} equivale a determinare una base per il nucleo di F-\lambda_0\mbox{Id}_V, il che si traduce nel determinare una base per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

(A-\lambda_0 \mbox{Id}_n)\mathbf{x}=\mathbf{0}_{\mathbb{R}^n}

 

Indichiamo questa base con

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{\mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, ..., \mathbf{s}_k\}\ \ \mbox{ con } k \le n

 

Attenzione! I vettori di tale base sono vettori di coordinate rispetto alla base \mathcal{B}, dunque gli autovettori relativi a \lambda_0 si ottengono moltiplicando, ordinatamente, le coordinate di ciascun vettore di \mathcal{B}_{Sol} per i vettori di \mathcal{B}.

 

L'algoritmo per il calcolo di autovalori, autovettori e autospazi può dirsi concluso, ma per quanto diremo in seguito è bene sapere che:

 

- la dimensione dell'autospazio relativo a \lambda_0 è detta molteplicità geometrica di \lambda_0 e si indica con m_g(\lambda_0);

 

- c'è una relazione che lega le due molteplicità di un autovalore, ed è la seguente

 

1 \le m_g(\lambda_0) \le m_a(\lambda_0) \le n

 

Su questo aspetto non ci dilunghiamo oltre perché vi abbiamo dedicato un'intera lezione: molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore.

 

Esempi sul calcolo di autovalori, autospazi e autovettori di un endomorfismo

 

Per quanto possa apparire ostico e complicato, all'atto pratico il calcolo di autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo è davvero semplice, e ve ne renderete conto leggendo i seguenti esempi.

 

 

A) Prendiamo V=\mathbb{R}^3 e consideriamo l'endomorfismo F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

 

F(x,y,z)=(2x+7y-z, \ 2y+3z, \ 2z)

 

Vogliamo determinare autovalori e autovettori di F.

 

Svolgimento: fissiamo la base canonica di \mathbb{R}^3

 

\mathcal{B}=\mathcal{C}_{\mathbb{R}^3}=\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

 

e calcoliamo la matrice A che rappresenta F rispetto a questa base.

 

Essendo \mathcal{B} la base canonica, A è quella matrice le cui colonne sono le componenti delle immagini tramite F dei vettori di \mathcal{B}.

 

\\ F(1,0,0)=(2,0,0) \\ \\ F(0,1,0)=(7,2,0) \\ \\ F(0,0,1)=(-1,3,2)

 

dunque

 

A=\begin{pmatrix}2&7&-1 \\ 0&2&3 \\ 0&0&2\end{pmatrix}

 

Per calcolare gli autovalori troviamo gli zeri del polinomio caratteristico di questa matrice

 

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) =\\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix}2&7&-1 \\ 0&2&3 \\ 0&0&2\end{pmatrix}-\lambda \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & 7 & -1 \\ 0 & 2-\lambda & 3 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^3

 

(A-\lambda \mbox{Id}_3) è una matrice triangolare superiore, dunque il determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale.

 

L'unico zero del polinomio caratteristico è \lambda_0 =2 con molteplicità 3, dunque vi è un unico autovalore con molteplicità algebrica 3.

 

Per trovare gli autovettori dobbiamo determinare una base dell'autospazio V_{\lambda_0}=V_2, che si ottiene calcolando una base per l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

(A - \lambda_0 \mbox{Id}_3) \mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}

 

ossia

 

(A - 2 \mbox{Id}_3) \mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}

 

dove \mathbf{x}=(x_1, x_2, x_3)^T è il vettore colonna delle coordinate rispetto a \mathcal{B} di un generico vettore di \mathbb{R}^3

 

Scriviamolo in forma estesa

 

\\ (A - 2 \mbox{Id}_3) \mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}\\ \\ \left[\begin{pmatrix}2&7&-1 \\ 0&2&3 \\ 0&0&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&2\end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{pmatrix}0&7&-1 \\ 0&0&3 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\  \begin{cases}x_2-x_3=0 \\ 3x_3=0 \end{cases}

 

Tale sistema ammette \infty^1 soluzioni della forma

 

(x_1,x_2,x_3)=(\alpha,0,0)=\alpha(1,0,0)

 

dunque una base per lo spazio delle soluzioni è

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{(1,0,0)\}

 

da cui deduciamo che l'autovalore ha molteplicità geometrica 1.

 

Ricordiamo che stiamo lavorando in \mathbb{R}^3 e che la base fissata è quella canonica, dunque \mathcal{B}_{Sol} è proprio una base per V_{2} e un autovettore relativo a \lambda_0=2 è \mathbf{v}=(1,0,0).

 

Per esserne certi verifichiamolo!

 

F(1,0,0) = (2,0,0) = 2 (1,0,0)

 

Avendo provato che

 

F(\mathbf{v})=\lambda_0 \mathbf{v}

 

siamo sicuri della correttezza dei risultati ottenuti.

 

 

B) Sia V lo spazio dei polinomi \mathbb{R}_2[x] e consideriamo l'operatore lineare F:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] definito da

 

F(1)=3+x+5x^2 \\ \\ F(x)=x-x^2 \\ \\ F(x^2)=4x-3x^2

 

Vogliamo calcolare gli autovalori e i relativi autovettori.

 

Svolgimento: osserviamo che F è un'applicazione definita da immagini di vettori che formano una base di \mathbb{R}_2[x]. I vettori preimmagine sono infatti gli elementi della sua base canonica \mathcal{C}_{\mathbb{R}_2[x]}=\{1, \ x, \ x^2\}.

 

Di conseguenza siamo sicuri dell'esistenza e dell'unicità di tale applicazione e per scriverne una matrice rappresentativa scegliamo proprio questa base

 

A=\begin{pmatrix}3&0&0 \\ 1&1&4 \\ 5&-1&-3\end{pmatrix}

 

Il relativo polinomio caratteristico è

 

p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_3) = \\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix}3&0&0 \\ 1&1&4 \\ 5&-1&-3\end{pmatrix}-\lambda \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}3-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 4 \\ 5 & -1 & -3-\lambda \end{pmatrix} = \\ \\ \\ =(3-\lambda)\mbox{det}\begin{pmatrix} 1-\lambda & 4 \\ -1 & -3-\lambda \end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (3-\lambda)[(1-\lambda)(-3-\lambda)+4] = \\ \\  = (3-\lambda)(\lambda+1)^2

 

Quindi gli autovalori sono:

 

\lambda_0=-1 con molteplicità algebrica 2;

 

\lambda_1=3 con molteplicità algebrica 1.

 

Sia \mathbf{x}=(a,b,c)^T il vettore delle coordinate riferite a \mathcal{C}_{\mathbb{R}_2[x]} di un generico vettore (polinomio) di \mathbb{R}_2[x] e procediamo al calcolo degli autovettori associati a \lambda_0=-1 determinando una base per l'insieme delle soluzioni del sistema lineare e omogeneo

 

(A-\lambda_0 \mbox{Id}_3)\mathbf{x}=\mathbf{0}_{\mathbb{R}^3}

 

Effettuiamo le varie sostituzioni, così da ottenere

 

\\ \left[\begin{pmatrix}3&0&0 \\ 1&1&4 \\ 5&-1&-3\end{pmatrix} - (-1)\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \left[\begin{pmatrix}3&0&0 \\ 1&1&4 \\ 5&-1&-3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{pmatrix}4&0&0 \\ 1&2&4 \\ 5&-1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{cases}4a=0 \\ a+2b+4c=0 \\ 5a-b-2c=0 \end{cases}

 

Per determinare le \infty^1 soluzioni poniamo c=t con t \in \mathbb{R} e procediamo col metodo di sostituzione, giungendo così a

 

(a,b,c)=(0,-2t,t)=t(0,-2,1)

 

dunque

 

\mathcal{B}_{Sol}=\{(0,-2,1)\}

 

è la base cercata, ma non abbiamo finito! Il vettore di \mathcal{B}_{Sol} è il vettore delle coordinate rispetto a \mathcal{C}_{\mathbb{R}_2[x]} di un autovettore \mathbf{v}_0 relativo a \lambda_0, dunque

 

\mathbf{v}_0=0 \cdot 1 + (-2) \cdot x + 1 \cdot x^2 = -2x+x^2

 

Procedendo allo stesso identico modo lasciamo a voi il compito di verificare che un autovettore associato a \lambda_1=3 è

 

\mathbf{v}_1=16+26x+9x^2

 

 

Osservazione sulla scelta della base

 

Volendo fare un velocissimo riepilogo, dato un endomorfismo F:V \to V, con V spazio di dimensione n definito su un campo \mathbb{K}, per determinare autovalori e relativi autovettori di F occorre:

 

1) scrivere la matrice A associata a F rispetto a una base fissata \mathcal{B} di V.

 

2) Calcolare gli zeri del polinomio caratteristico riferito alla matrice A, che sono gli autovalori dell'endomorfismo

 

\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_n)=0\ \to\ \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r

 

3) Fissare un vettore di coordinate \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)^T riferito a un generico vettore \mathbf{v} \in V, e per ogni \lambda_i con i \in \{1,2,...,r\} determinare una base \mathcal{B}_{Sol} per lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

 

(A-\lambda_i \mbox{Id}_n)\mathbf{x} = \mathbf{0}_{\mathbb{R}^n}.

 

4) Per ogni sistema, risalire dalla base \mathcal{B}_{Sol} agli effettivi autovettori.

 

In soldoni, fatta eccezione per il punto 4), determinare autovalori e autovettori di un endomorfismo equivale a calcolare autovalori e autovettori della matrice A rappresentativa di F rispetto alla base \mathcal{B} fissata.

 

A questo punto dovrebbe sorgere quasi spontanea una domanda: se cambiamo base cosa succede?

 

Nella lezione sulla formula del cambiamento di base per applicazioni lineari abbiamo dimostrato che matrici associate allo stesso endomorfismo rispetto a basi differenti sono matrici simili e, in quanto tali, hanno lo stesso polinomio caratteristico e quindi gli stessi autovalori, dunque non cambia nulla. Potremmo, nella peggiore delle ipotesi, trovarci di fronte ad autovettori solo all'apparenza differenti, ma che a conti fatti genererebbero lo stesso autospazio.

 

Indipendenza lineare degli autovettori

 

Concludiamo questa ricca lezione dimostrando un teorema secondo cui autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

 

Enunciato

 

Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo \mathbb{K}, sia F: V \to V un endomorfismo siano e \mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ ..., \ \mathbf{v}_r autovettori di F associati ad autovalori distinti \lambda_1, \ \lambda_2, \ ..., \ \lambda_r.

 

Allora \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_r\} è un insieme di vettori linearmente indipendenti tra loro.

 

Dimostrazione

 

Per verificare che \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_r\} è un insieme di vettori linearmente indipendente occorre provare che l'unica loro combinazione lineare che restituisce il vettore nullo è quella formata da coefficienti tutti nulli.

 

Siano allora \alpha_1, \ \alpha_2, \ ..., \ \alpha_r \in \mathbb{K} e imponiamo che la combinazione lineare

 

\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}+\alpha_r \mathbf{v}_r

 

sia uguale al vettore nullo

 

\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}+\alpha_r \mathbf{v}_r = \mathbf{0} \ (\star)

 

Dobbiamo dimostrare che l'unica r-upla che soddisfa (\star) è quella di scalari tutti nulli:

 

\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_{r-1}=\alpha_r=0.

 

Procediamo per induzione su r.

 

Passo base: per r=1 abbiamo un solo autovettore. Ogni autovettore è per definizione diverso dal vettore nullo e quindi è linearmente indipendente rispetto a se stesso.

 

Passo induttivo: supponiamo la tesi vera per r-1 e dimostriamola per r. Stiamo cioè assumendo che \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_{r-1}\} sia un insieme di vettori linearmente indipendente.

 

Riscriviamo la relazione (\star)

 

\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}+\alpha_r \mathbf{v}_r = \mathbf{0}

 

e applichiamo l'endomorfismo F a entrambi i membri

 

F(\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}+\alpha_r \mathbf{v}_r) = F(\mathbf{0})

 

Dalla linearità di F segue che

 

\alpha_1 F(\mathbf{v}_1) + \alpha_2 F(\mathbf{v}_2) + ... + \alpha_{r-1} F(\mathbf{v}_{r-1}) + \alpha_r F( \mathbf{v}_r) = \mathbf{0}

 

Per ogni i \in \{1,2,...,r\} ciascun \mathbf{v}_i è un autovettore relativo a \lambda_i e quindi

 

F(\mathbf{v}_i)=\lambda_i \mathbf{v}_i

 

Sostituendo nella precedente uguaglianza otteniamo

 

\alpha_1 \lambda_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \lambda_2 \mathbf{v}_2 + ... + \alpha_{r-1} \lambda_{r-1} \mathbf{v}_{r-1} + \alpha_r \lambda_r \mathbf{v}_r = \mathbf{0} \ (\star \star)

 

Inoltre da (\star) segue che

 

\alpha_r \mathbf{v}_r=-\alpha_1 \mathbf{v}_1-\alpha_2\mathbf{v}_2-...-\alpha_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}

 

Sostituendo in (\star \star), dopo qualche semplice conticino puramente algebrico si ricade nell'uguaglianza

 

\alpha_1(\lambda_1-\lambda_r)\mathbf{v}_1 + \alpha_2(\lambda_2-\lambda_r)\mathbf{v}_2+ ... + \alpha_{r-1}(\lambda_{r-1}-\lambda_r)\mathbf{v}_{r-1} = \mathbf{0}

 

Avendo assunto come ipotesi induttiva che \mathbf{v}_1, \ \mathbf{v}_2, \ \mathbf{v}_{r-1} sono linearmente indipendenti, dev'essere

 

\alpha_1(\lambda_1-\lambda_r) = \alpha_2(\lambda_2-\lambda_r) = ... = \alpha_{r-1}(\lambda_{r-1}-\lambda_r) = 0

 

Ma tutti i \lambda_i al variare di i \in \{1,2,...,r\} sono distinti tra loro, dunque per la legge di annullamento del prodotto

 

\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_{r-1}=0

 

Ritornando ancora una volta a (\star)

 

\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}+\alpha_r \mathbf{v}_r = \mathbf{0}

 

e sostituendo quanto ottenuto, rimane

 

\alpha_r \mathbf{v}_r=\mathbf{0}

 

da cui segue che dev'essere \alpha_r=0; \mathbf{v}_r è infatti un autovettore e quindi è sicuramente non nullo.

 

Abbiamo così provato che \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_{r-1}=\alpha_r=0 e la dimostrazione può dirsi conclusa.

 

\square

 

Corollario

 

Siano \lambda_1, \ \lambda_2, \ ..., \ \lambda_k tutti gli autovalori di un endomorfismo F:V \to V. L'unione delle basi degli autospazi a essi relativi è un insieme linearmente indipendente.

 

Dimostrazione

 

Per ogni i \in \{1,2,...,k\} sia V_{\lambda_i} l'autospazio associato a \lambda_i. I vettori di una sua base, e quindi gli autovettori relativi a \lambda_i, in quanto base sono linearmente indipendenti tra loro.

 

Inoltre, per il precedente teorema, autovettori riferiti ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, ed ecco quindi che l'unione delle basi degli autospazi è un insieme linearmente indipendente.

 

\square

 

 

Sebbene possano sembrare fini a se stessi, il precedente teorema e il relativo corollario si riveleranno molto utili negli sviluppi successivi della teoria, già a partire dalla prossima lezione in cui studieremo la diagonalizzabilità di un endomorfismo.

 

 


 

 

È davvero tutto! Per qualsiasi dubbio o esigenza vi suggeriamo di usare attentamente la barra di ricerca interna: avete a disposizione centinaia di esercizi accuratamente svolti con cui allenarvi in tutta tranquillità. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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