Applicazioni lineari definite da immagini di vettori

In questa lezione vedremo com'è fatto questo genere di trasformazioni, e quali condizioni devono soddisfare i vettori dello spazio vettoriale di partenza affinché l'applicazione definita dalle loro immagini esista e sia unica. In termini più rigorosi e concisi, enunceremo e dimostreremo il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare.

 

Passeremo quindi agli esempi soffermandoci soprattutto sulle circostanze in cui il teorema non è soddisfatto, con lo scopo di mettere in evidenza i casi i cui una trasformazione generata da immagini di vettori non esiste, oppure esiste ma non è unica.

 

Applicazione lineare definita mediante immagini di vettori

 

Siano V,W due spazi vettoriali e sia F un'applicazione lineare avente come dominio V e come codominio W.

 

Si dice che l'applicazione F è definita mediante immagini di vettori se viene descritta nella forma

 

 

\\ F:V \to W \mbox{ tale che} \\ \\ F(\mathbf{v}_1)=\mathbf{w}_1\ ;\ F(\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_2\ ;\ \cdots\ ;\  F(\mathbf{v}_n)=\mathbf{w}_n

 

 

È utile sapere che i vettori \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,...,\mathbf{w}_n sono detti vettori immagine, mentre \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n prendono il nome di preimmagini dei rispettivi vettori immagine.

 

Esempi di applicazioni lineari definite da immagini di vettori

 

Vediamo una carrellata di esempi di applicazioni lineari generate da immagini di vettori dove, come già sappiamo, il termine vettori si riferisce genericamente agli elementi dello spazio vettoriale considerato. Possiamo quindi avere a che fare con vettori, polinomi, matrici...

 

 

A) Innanzitutto una semplice applicazione lineare \\ F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 definita dalle seguenti immagini di vettori del dominio:

 

F(1,0)=(1,2,3)\ \ ;\ \ F(0,5)=(4,0,7)

 

 

B) Come secondo esempio, una trasformazione lineare definita dallo spazio di polinomi \mathbb{R}_2[x] a valori in \mathbb{R}_2

 

\\ F: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^2 \\ \\ F(2+x)=(1,0)\ \ ;\ \ F(x+3x^2)=(1,1)\ \ ;\ \ F(x^2)=(0,5)

 

 

C) Da ultimo, un esempio di applicazione lineare definita sullo spazio vettoriale di matrici Mat(2,2,\mathbb{R}) a valori in \mathbb{R}^4

 

F\begin{pmatrix}1&0 \\ 2&3\end{pmatrix}=(1,0,2,3) \ \ ;\ \ F\begin{pmatrix}2&3 \\ 0&1\end{pmatrix}=(2,3,0,1) \\ \\ \\ F\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&0\end{pmatrix}=(1,1,1,0) \ \ ;\ \  F\begin{pmatrix}0&4 \\ -1&2\end{pmatrix}=(0,4,-1,2)

 

Teorema di esistenza e unicità per applicazioni lineari

 

Eccoci giunti all'argomento cardine della lezione: il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare, che fornisce le condizioni che devono soddisfare i vettori preimmagine affinché una trasformazione lineare definita da immagini di vettori esista e sia unica.

 

Enunciato del teorema

 

Siano V e W due spazi vettoriali definiti su un campo \mathbb{K}, sia \mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} una base di V e siano \mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2, \ ...,\mathbf{w}_n vettori qualsiasi di W.

 

Esiste allora un'unica applicazione lineare F:V \to W tale che

 

F(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i\ \ \forall i \in \{1,2,...,n\}

 

Dimostrazione

 

\mathcal{B}_V=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} è una base di V, dunque per ogni vettore \mathbf{x} \in V esistono gli scalari \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in \mathbb{K} tali che

 

\mathbf{x}=\alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_n \mathbf{v}_n

 

Premesso ciò possiamo definire l'applicazione F:V \to W

 

F(\mathbf{x}) = F(\alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_n \mathbf{v}_n):= \alpha_1 \mathbf{w}_1 + \alpha_2\mathbf{w}_2+...+\alpha_n \mathbf{w}_n

 

Osserviamo che tale definizione è ben posta, infatti F(\mathbf{x}) è definito per ogni vettore \mathbf{x} \in V, ed essendo \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n le coordinate di un vettore rispetto a una base, F(\mathbf{x}) è univocamente determinato.

 

Inoltre per ogni i \in \{1,2,...,n\} le coordinate del vettore \mathbf{v}_i rispetto alla base \mathcal{B}_V sono n-uple del tipo

 

(0,0,...,1,...,0)

 

formate da tutti 0 ad eccezione dell'i-esima posizione, dov'è presente un 1, di conseguenza

 

F(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i\ \ \forall i \in \{1,2,...,n\}

 

ossia l'applicazione F così definita soddisfa la richiesta del teorema.

 

Abbiamo così assicurato l'esistenza di un'applicazione F:V \to W tale che F(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i e ci rimane da dimostrare che tale applicazione è lineare ed è unica.

 

Per quanto concerne la linearità è sufficiente provare che F soddisfa la condizione di linearità, ossia che per ogni \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2 \in V e per ogni \lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{K} risulta che:

 

F(\lambda_1 \mathbf{x}_1+\lambda_2 \mathbf{x}_2) = \lambda_1 F(\mathbf{x}_1)+\lambda_2 F(\mathbf{x}_2)

 

Prima di tutto scriviamo \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 come combinazioni lineari dei vettori della base \mathcal{B}_V

 

\\ \mathbf{x}_1=\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ... + \alpha_n \mathbf{v}_n \\ \\ \mathbf{x}_2=\beta_1 \mathbf{v}_1+\beta_2 \mathbf{v}_2 + ... + \beta_n \mathbf{v}_n

 

di conseguenza

 

\\ \lambda_1 \mathbf{x}_1+\lambda_2 \mathbf{x}_2 = \\ \\ =\lambda_1(\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ... + \alpha_n \mathbf{v}_n) + \lambda_2(\beta_1 \mathbf{v}_1+\beta_2 \mathbf{v}_2 + ... + \beta_n \mathbf{v}_n) = \\ \\ = (\lambda_1 \alpha_1+\lambda_2\beta_1) \mathbf{v}_1 + (\lambda_1 \alpha_2 + \lambda_2 \beta_2) \mathbf{v}_2 + ... + (\lambda_1 \alpha_n+\lambda_2 \beta_n) \mathbf{v}_n

 

Per com'è definita l'applicazione F:

 

\\ F(\lambda_1 \mathbf{x}_1+\lambda_2 \mathbf{x}_2) = \\ \\ = F[(\lambda_1 \alpha_1+\lambda_2\beta_1) \mathbf{v}_1 + (\lambda_1 \alpha_2 + \lambda_2 \beta_2) \mathbf{v}_2 + ... + (\lambda_1 \alpha_n+\lambda_2 \beta_n) \mathbf{v}_n] = \\ \\ = (\lambda_1 \alpha_1+\lambda_2\beta_1) \mathbf{w}_1 + (\lambda_1 \alpha_2 + \lambda_2 \beta_2) \mathbf{w}_2 + ... + (\lambda_1 \alpha_n+\lambda_2 \beta_n) \mathbf{w}_n = \\ \\ = \lambda_1\alpha_1\mathbf{w}_1+\lambda_2\beta_1 \mathbf{w}_1 + \lambda_1\alpha_2\mathbf{w}_2+\lambda_2\beta_2 \mathbf{w}_2 + ... + \lambda_1\alpha_n\mathbf{w}_n+\lambda_2\beta_n \mathbf{w}_n = \\ \\ = \lambda_1(\alpha_1\mathbf{w}_1+\alpha_2\mathbf{w}_2+...+\alpha_n \mathbf{w}_n) + \lambda_2(\beta_1 \mathbf{w}_1+\beta_2\mathbf{w}_2+...+\beta_n\mathbf{w}_n) = \\ \\ = \lambda_1 F(\mathbf{x}_1)+\lambda_2 F(\mathbf{x}_2)

 

e ciò dimostra la linearità di F.

 

Concludiamo la dimostrazione provando che F è unica.

 

Supponiamo che esista un'altra applicazione lineare G:V \to W tale che G(\mathbf{v}_i) = \mathbf{w}_i per ogni i \in \{1,2,...,n\}. Dobbiamo dimostrare che

 

\forall \mathbf{x} \in V\ :\ \ F(\mathbf{x})=G(\mathbf{x})

 

Sia \mathbf{x} \in V e scriviamolo come combinazione lineare degli elementi della base di V

\mathbf{x}=\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ... + \alpha_n \mathbf{v}_n

 

Allora

 

\\ G(\mathbf{x})=G(\alpha_1 \mathbf{v}_1+\alpha_2 \mathbf{v}_2 + ... + \alpha_n \mathbf{v}_n) = \\ \\ = \alpha_1G(\mathbf{v}_1)+\alpha_2G(\mathbf{v}_2)+...+\alpha_nG(\mathbf{v}_n)= \\ \\ = \alpha_1 \mathbf{w}_1 + \alpha_2 \mathbf{w}_2+...+\alpha_n\mathbf{w}_n = F(\mathbf{x})

 

In definitiva, G(\mathbf{x})=F(\mathbf{x}) per ogni \mathbf{x}\in V e ciò dimostra l'unicità dell'applicazione lineare.

 

Come studiare esistenza e unicità di un'applicazione lineare definita da immagini di vettori

 

0) Grazie al teorema di esistenza e unicità di un'applicazione possiamo stabilire se una trasformazione lineare definita mediante immagini di vettori del dominio esiste ed è unica. Sia F:V \to W un'applicazione lineare tale che

 

F(\mathbf{v}_1)=\mathbf{w}_1\ ;\ F(\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_2\ ;\ \cdots\ ;\  F(\mathbf{v}_n)=\mathbf{w}_n

 

Se i vettori \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n formano una base dello spazio vettoriale V, allora F esiste ed è unica.

 

Qualora \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, ...,\mathbf{v}_n\} non fosse una base di V, non potremmo dire nulla a priori. In particolare si distinguono i seguenti casi.

 

 

1) Se i vettori \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n non formano un sistema di generatori di V, ma sono linearmente indipendenti tra loro, l'applicazione sicuramente esiste, ma non è unica.

 

 

2) Se \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n non costituiscono un sistema di generatori di V e sono linearmente dipendenti tra loro, bisogna controllare la coerenza della definizione di F.

 

In questa eventualità occorre studiare la relazione di dipendenza lineare tra i vettori \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n. Supponiamo che n-k vettori, diciamo per semplicità

 

\mathbf{v}_{k+1},\mathbf{v}_{k+2},...,\mathbf{v}_n

 

dipendano linearmente da

 

\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},...,\mathbf{v}_k

 

e che quest'ultimi formino un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti dell'insieme di preimmagini assegnate.

 

Esprimiamo ciascuno degli n-k vettori come combinazioni lineari degli altri k.

 

\mathbf{v}_{k+1}=\alpha_{k+1,1}\mathbf{v}_1+\alpha_{k+1,2}\mathbf{v}_2+...+\alpha_{k+1,k}\mathbf{v}_k\\ \\ \mathbf{v}_{k+2}=\alpha_{k+2,1}\mathbf{v}_1+\alpha_{k+2,2}\mathbf{v}_2+...+\alpha_{k+2,k}\mathbf{v}_k\\ \\ \cdots\\ \\ \mathbf{v}_{n}=\alpha_{n,1}\mathbf{v}_1+\alpha_{n,2}\mathbf{v}_2+...+\alpha_{n,k}\mathbf{v}_k

 

A questo punto occorre calcolare le immagini di ciascuna di queste combinazioni lineari tramite F, e possono presentarsi due eventualità:

 

- se le immagini di tutte le combinazioni lineari coincidono con le rispettive immagini assegnate inizialmente, ossia se

 

F(\alpha_{i,1}\mathbf{v}_1+\alpha_{i,2}\mathbf{v}_2+...+\alpha_{i,k}\mathbf{v}_k)=F(\mathbf{v}_{i})\ \ \forall i=(k+1),...,n

 

allora tutte le informazioni fornite sono coerenti, l'applicazione esiste ma non è unica.

 

In termini più pratici la precedente condizione può essere riscritta, per linearità, nella forma

 

\alpha_{i,1}F(\mathbf{v}_1)+\alpha_{i,2}F(\mathbf{v}_2)+...+\alpha_{i,k}F(\mathbf{v}_k)=F(\mathbf{v}_{i})\ \ \forall i=(k+1),...,n

 

dove a primo membro sostituiremo le immagini assegnate inizialmente.

 

- Se invece esiste anche solo una combinazione lineare la cui immagine mediante F è diversa da quella assegnata inizialmente, cioè se

 

\exists i\in\{(k+1),...,n\}\ \mbox{ t.c. }\ F(\alpha_{i,1}\mathbf{v}_1+\alpha_{i,2}\mathbf{v}_2+...+\alpha_{i,k}\mathbf{v}_k)\neq F(\mathbf{v}_{i})

 

o meglio

 

\exists i\in\{(k+1),...,n\}\ \mbox{ t.c. }\ \alpha_{i,1}F(\mathbf{v}_1)+\alpha_{i,2}F(\mathbf{v}_2)+...+\alpha_{i,k}F(\mathbf{v}_k)\neq F(\mathbf{v}_{i})

 

allora la trasformazione non esiste (abbiamo individuato un'incoerenza).

 

 

3) Infine, se \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n costituiscono un sistema di generatori di V formato da vettori linearmente dipendenti, come nel caso 2) bisogna controllare la coerenza della definizione della trasformazione:

 

- se non vi è coerenza l'applicazione non esiste;

 

- se invece vi è coerenza l'applicazione esiste ed è unica; semplicemente ci sono una o più informazioni ridondanti.

 

Esempi sullo studio di esistenza e unicità di applicazioni lineari definite da immagini di vettori

 

Vediamo alcuni esempi sullo studio di esistenza e unicità di applicazioni lineari definite mediante immagini di vettori del dominio.

 

 

Esempio (caso 0 - applicazione lineare che esiste ed è unica)

 

Sia F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 l'applicazione lineare definita da

 

\\ F(1,1,0)=(1,2) \\ \\ F(2,0,-1)=(0,1) \\ \\ F(2,3,1)=(-1,5)

 

Stabilire se essa esiste e, in caso affermativo, se è unica.

 

Svolgimento: i vettori preimmagine

 

\mathbf{v}_1=(1,1,0),\ \mathbf{v}_2=(2,0,-1),\ \mathbf{v}_3=(2,3,1)

 

formano un insieme di 3 vettori linearmente indipendenti di \mathbb{R}^3, e quindi ne sono una base.

 

Per convincersene è sufficiente disporre i vettori in una matrice e osservare che ha determinante diverso da zero

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 2&0&-1 \\ 2&3&1\end{pmatrix} = -1 \neq 0

 

Il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare ci permette di concludere che F esiste ed è unica.

 

 

Esempio (caso 0 - applicazione lineare che esiste ed è unica)

 

Stabilire se la trasformazione F:\mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}^3 tale che

 

F(1+x+x^2)=(1,1,2) \\ \\ F(2+3x)=(0,1,0) \\ \\ F(5x-x^2)=(4,0,1)

 

esiste ed è unica.

 

Svolgimento: poniamo

 

p_1(x)=1+x+x^2\\ \\ p_2(x)=2+3x\\ \\ p_3(x)=5x-x^2

 

e ricaviamo le componenti di questi polinomi rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_2[x], vale a dire \mathcal{C}_{\mathbb{R}_2[x]}=\{1,x,x^2\}

 

\\ p_1(x)=1+x+x^2 \to (1,1,1) \\ \\ p_2(x)=2+3x \to (2,3,0) \\ \\ p_3(x)= 5x-x^2 \to (0,5,-1)

 

La matrice avente come righe (o come colonne) i vettori delle coordinate ha determinante non nullo; procedendo con la regola di Sarrus lasciamo a voi il compito di verificare che

 

\mbox{det}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 2&3&0 \\ 0&5&-1\end{pmatrix}=9 \neq 0

 

I tre polinomi sono quindi linearmente indipendenti e, essendo in numero pari alla dimensione dello spazio vettoriale \mathbb{R}_2[x], ne formano una base. L'applicazione lineare esiste ed è unica.

 

 

Esempio (caso 1 - applicazione lineare che esiste ma non è unica)

 

Provare che l'applicazione definita mediante immagini \\ F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 tale che

 

F(1,0,0)=(2,0,0) \\ \\ F(0,1,0)=(0,8,0)

 

esiste ma non è unica.

 

Svolgimento: per giungere a questa conclusione è sufficiente osservare che l'insieme formato dai vettori \mathbf{v}_1=(1,0,0) e \mathbf{v}_2=(0,1,0) è linearmente indipendente, ma non è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 in quanto è formato da un numero di vettori minore della dimensione di \mathbb{R}^3.

 

Esempi di applicazioni lineari tra loro distinte e tali da soddisfare le richieste di F sono:

 

\\ F_1:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\ \mbox{ t.c. }\ F_1(x,y,z)=(2x,8y,0) \\ \\ F_2:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\ \mbox{ t.c. }\ F_2(x,y,z)=(2x,8y,z) \\ \\ F_3:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\ \mbox{ t.c. }\ F_3(x,y,z)=(2x,8y,3z)

 

 

Esempio (caso 3 - applicazione lineare che non esiste)

 

Provare che l'applicazione lineare F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 tale che

 

F(2,0)=(1,2,0) \\ \\ F(0,1)=(0,0,2) \\ \\ F(2,1)=(4,7,1)

 

non esiste.

 

Svolgimento: innanzitutto osserviamo che i vettori

 

\mathbf{v}_1=(2,0), \ \mathbf{v}_2=(0,1), \ \mathbf{v}_3=(2,1)

 

formano un sistema di generatori di \mathbb{R}^2 e che sono linearmente dipendenti tra loro.

 

Notiamo che un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti dell'insieme di preimmagini è dato da

 

\{(2,0),\ (0,1)\}

 

È inoltre immediato osservare che

 

(2,1)=(2,0)+(0,1)

 

ossia

 

\mathbf{v}_3=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2

 

Calcolando l'immagine della combinazione lineare \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 si ottiene

 

F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) = F(\mathbf{v}_1)+F(\mathbf{v}_2)=\\ \\ =F(2,0)+F(0,1)=(1,2,0)+(0,0,2)=\\ \\ =(1,2,2)\neq F(\mathbf{v}_3)

 

Il risultato è diverso dall'immagine del vettore \mathbf{v}_3, dunque F non esiste.

 

 

Esempio (caso 3 - applicazione lineare che esiste ed è unica)

 

Analizzare la trasformazione \\ F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 definita tramite le seguenti immagini

 

F(2,0)=(1,2,0) \\ \\ F(0,1)=(0,0,2) \\ \\ F(2,1)=(1,2,2)

 

e stabilire se non esiste, se esiste ed eventualmente se esiste unica.

 

Svolgimento: i vettori preimmagine sono gli stessi del precedente esempio, dunque

 

\mathbf{v}_3=(2,1) = \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 = (2,0)+(0,1)

 

Tuttavia, questa volta

 

F(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) = F(\mathbf{v}_1)+F(\mathbf{v}_2)=\\ \\ =F(2,0)+F(0,1)=(1,2,0)+(0,0,2)=\\ \\ =(1,2,2)=F(\mathbf{v}_3)

 

coincide con l'immagine di F(\mathbf{v}_3)=F(2,1)=(1,2,2), dunque l'applicazione esiste ed è unica.

 

 

Esempio (caso 2 - applicazione lineare che non esiste)

 

A voi il compito di verificare che l'applicazione lineare \\ F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 tale che

 

F(1,0,0)=(1,0,0) \\ \\ F(0,1,0)=(0,1,0) \\ \\ F(1,1,0)=(1,1,0)\\ \\ F(2,2,0)=(3,3,0)

 

non esiste.

 

Suggerimento: considerare il più semplice sottoinsieme massimale di preimmagini linearmente indipendenti ed esprimere le restanti preimmagini come loro combinazioni lineari. Procedere quindi fino a che incoerenza non sopraggiunga... ;)

 

 


 

Eccoci giunti al termine di questa lezione. :) Ricordate che l'unico modo di prendere confidenza con lo studio dell'esistenza e dell'unicità delle applicazioni lineari è quello di fare quanti più esercizi possibile; ne potete trovare tantissimi qui su YM, a partire dalla scheda correlata di esercizi svolti o, eventualmente, facendo buon uso della barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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