Somma per differenza - Differenza di quadrati

La somma per differenza è il prodotto notevole (A+B)(A−B)=A²−B² e si calcola come differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio.

La differenza di quadrati è la regola di scomposizione A²−B²=(A+B)(A−B), e stabilisce che la differenza tra due quadrati si scompone come prodotto tra la somma delle due basi e la differenza delle due basi.

La regola della somma per differenza di due monomi è probabilmente il prodotto notevole più semplice da ricordare, e allo stesso tempo il più facile da riconoscere. In questa lezione useremo le espressioni somma per differenza di monomi e differenza di quadrati come sinonimi, anche se sarebbe preferibile usare la prima per riferirsi alla formula di sviluppo e la seconda per intendere la regola di scomposizione.

Indice

1. Come calcolare la somma per differenza di monomi
2. Dimostrazione della formula somma per differenza
3. Esempi sul prodotto somma per differenza di monomi
4. Scomposizione della differenza di due quadrati
5. Esempi di scomposizione della differenza di quadrati

Come calcolare la somma per differenza di monomi

Consideriamo due monomi non simili , cosicché la loro somma è il binomio e la loro differenza è ovviamente .

Il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi considerati, detto brevemente somma per differenza, è dato da

da cui estrapoliamo la regola generale per lo sviluppo.

Regola per il prodotto tra somma e differenza di monomi

Il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo.

Dimostrazione della formula somma per differenza

Per ricavare la regola della somma per differenza è sufficiente svolgere il prodotto tra i due polinomi

I termini opposti si cancellano, cosicché rimane

che è proprio la formula scritta a inizio lezione.

Esempi sul prodotto somma per differenza di monomi

Come primo esempio di applicazione della regola, vogliamo calcolare

Si tratta di un prodotto tra una somma e una differenza di due monomi, e . La formula ci permette di arrivare al risultato senza passaggi intermedi

dove è il quadrato del primo termine e è il quadrato del secondo termine.

Esempio: somma per differenza con segno meno nel primo monomio

Vediamo un esempio più complicato. Vogliamo sviluppare

che è ovviamente una somma per differenza, con i monomi e .

Non lasciamoci ingannare dal segno meno presente nel primo monomio: per avere una somma per differenza è sufficiente che nei due binomi vi sia uno stesso monomio con segni opposti (in questo caso ).

Il quadrato del primo termine è

mentre il quadrato del secondo termine è

In definitiva:

Esempio: in un somma per differenza l'ordine non è rilevante

Questa è ancora una somma per una differenza. Osserviamo che in questo caso è quello che considereremmo come "primo termine" nella regola, perché è quello che non cambia segno, quindi conviene riscrivere il prodotto nella forma

Ora è facile vedere che ci troviamo di fronte al prodotto tra la somma e la differenza dei monomi e .

Il quadrato del primo termine in questo caso è

mentre il secondo termine al quadrato è

Di conseguenza la formula per la differenza di quadrati ci dice che:

Questo esempio mette in luce un aspetto molto importante: bisogna tenere a mente che nel prodotto tra una somma e una differenza di monomi c'è sempre un termine che mantiene il segno nei due fattori, dunque esso sarà andrà considerato come il nostro primo termine. ;)

Esempio: riconoscere una somma per differenza

Vogliamo calcolare

Quale monomio mantiene il segno in entrambi i binomi? In questo caso ha coefficiente positivo sia in , sia in . Da ciò deduciamo che esso sarà il nostro primo termine, mentre sarà il secondo termine perché ha segni opposti nei due binomi.

Per la regola del prodotto tra una somma e una differenza di monomi non simili, scriveremo:

Errori frequenti nello sviluppo del prodotto tra somma e differenza

Quando si affrontano gli esercizi sulla somma per differenza poco frequentemente si commettono errori di segno.

Le problematiche più ricorrenti sono di altre tipologie: chi si accosta per la prima volta allo studio di questo particolare prodotto di norma ha difficoltà nel capire quale sia davvero il primo termine e quale il secondo. L'esercizio continuo colmerà col tempo queste incertezze. ;)

Scomposizione della differenza di due quadrati

Innanzitutto ricordiamo che scomporre un polinomio vuol dire trasformarlo nel prodotto tra polinomi di grado positivo e inferiore al grado del polinomio di partenza, dunque la formula della differenza di due quadrati si presta perfettamente allo scopo.

Leggendo nel verso opposto l'uguaglianza che permette di sviluppare il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi

si ottiene la formula per la scomposizione della differenza di quadrati

In parole povere un binomio formato dalla differenza tra due termini quadratici si scompone nel prodotto tra la somma e la differenza delle basi dei due quadrati.

Negli esercizi, dunque, per procedere alla scomposizione di una differenza di quadrati è sufficiente trovare le basi dei due quadrati, per poi esprimere il binomio di partenza come prodotto tra la somma e la differenza delle basi. Tutto qui. ;)

Esempi di scomposizione della differenza di quadrati

Proviamo a scomporre il seguente polinomio

Le basi dei due quadrati sono e , pertanto

Esempio: raccoglimento e scomposizione della differenza di due quadrati

Molto spesso ci capiterà di trovare una differenza di quadrati solo alla fine di una scomposizione. Vediamo un esempio:

Notando la presenza del fattore comune , possiamo esprimere il polinomio come prodotto monomio-polinomio

In altre parole abbiamo effettuato un raccoglimento totale del termine (tecnica di scomposizione che approfondiremo in una delle successive lezioni).

Osserviamo che l'ultimo trinomio è lo sviluppo di un quadrato di binomio, pertanto

A questo punto notiamo che è proprio una differenza di quadrati, e in quanto tale la scomponiamo come prodotto tra la somma e la differenza delle basi, che sono e .

A questo punto ci basta usare le proprietà delle potenze, e in particolare quella per la potenza di un prodotto

La scomposizione è conclusa. ;)

Prima dei saluti di rito vogliamo mettervi in guardia da un errore comune tra gli studenti: ricordate sempre che qualsiasi somma di quadrati di secondo grado non è scomponibile, perlomeno non nell'insieme dei numeri reali. ;)

Nelle prossime lezioni studieremo altri due prodotti notevoli, usati principalmente per le scomposizioni: la somma di cubi e la differenza di cubi.

Dubbi o problemi? Su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati: potete trovare tutte le risposte che vi servono con la barra di ricerca interna. E se volete, potete anche servirvi del tool risolvi espressioni e di quello per la scomposizione di polinomi per verificare i risultati dei vostri esercizi. ;)

Auf wiedersehen, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: come sviluppare la differenza di quadrati - esempi sulla differenza di quadrati.

Ultima modifica: 06/10/2023