Prodotto tra polinomi

Il prodotto tra polinomi è un'operazione polinomiale che si calcola moltiplicando ogni monomio del primo polinomio per ciascun monomio del secondo polinomio, ordinatamente e tenendo conto dei rispettivi segni.

 

In questa lezione spiegheremo come svolgere la moltiplicazione tra polinomi qualsiasi, partendo innanzitutto dalla definizione formale, dopodiché ci butteremo a capofitto sugli esempi e commenteremo i vari passaggi da effettuare, evidenziando i punti più delicati e quelli che spesso inducono in errore. ;)

 

Come vedremo tra un attimo si tratta di un'operazione un po' più elaborata rispetto alla somma e alla differenza, e il calcolo esplicito si basa sulla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

 

Prima di procedere è fondamentale saper calcolare il prodotto tra monomi e polinomi, che abbiamo trattato nella precedente lezione. Il prodotto tra un monomio e un polinomio è a tutti gli effetti un prodotto tra polinomi, ma lo abbiamo studiato separatamente proprio per prepararci con calma per il caso generale.

 

Prodotto tra due polinomi

 

C'è una netta distinzione tra operazione e risultato dell'operazione. Da un lato abbiamo l'operazione di moltiplicazione; dall'altro abbiamo il risultato di tale operazione, che prende il nome di prodotto.

 

Come ormai sappiamo, man mano che si diventa più esperti ci si abitua a usare il termine prodotto per riferirsi sia al risultato, sia all'operazione. Anche qui ricorreremo a questo piccolo abuso di linguaggio e parleremo di prodotto tra polinomi per indicare sia l'operazione di moltiplicazione tra polinomi, sia il polinomio prodotto inteso come risultato. Il significato dipenderà come al solito dal contesto. ;)

 

Con questa premessa possiamo scrivere la definizione. Il prodotto tra due polinomi è il polinomio che ha come termini tutti i prodotti parziali che si ottengono moltiplicando ciascun monomio del primo polinomio per ciascun monomio del secondo polinomio.

 

A ben vedere la definizione fornisce già il metodo per svolgere le moltiplicazioni tra polinomi, ma prima di applicarlo in alcuni esempi è opportuno descrivere la regola passaggio per passaggio.

 

Come calcolare il prodotto tra polinomi

 

Consideriamo due generici polinomi P(...),Q(...). Se vogliamo calcolarne il prodotto conviene innanzitutto controllare che essi siano espressi in forma normale e, nel caso non lo fossero, ridurli alla forma normale. In questo modo ci mettiamo in condizione di evitare calcoli e fatica inutili.

 

Per svolgere la moltiplicazione scriviamo il prodotto racchiudendo entrambi i polinomi tra parentesi

 

(P(...))\cdot (Q(...))

 

In questo contesto il simbolo \cdot può essere omesso

 

(P(...))(Q(...))

 

Procediamo scomponendo il prodotto come una somma tra prodotti monomio-polinomio. In pratica moltiplichiamo ciascun monomio del primo polinomio per il secondo polinomio, come abbiamo imparato a fare nella precedente lezione, e calcoliamo la somma tra tutti i polinomi risultanti.

 

Per concludere ridurremo il polinomio prodotto in forma normale, sommando i monomi simili tra loro.

 

Cerchiamo di riassumere i vari passaggi del metodo per calcolare il prodotto tra polinomi:

 

1) ridurre in forma normale i polinomi fattori, se necessario;

 

2) moltiplicare a parte i singoli monomi del primo polinomio (ciascuno con il proprio segno) per tutti i termini del secondo polinomio, così da ottenere i prodotti parziali;

 

3) sommare i prodotti parziali;

 

4) ridurre il polinomio prodotto alla forma normale.

 

Esempi svolti sul prodotto tra polinomi

 

Cominciamo con un semplice esempio. Vogliamo calcolare il seguente prodotto:

 

(2a+b)(a-b+2)

 

Osserviamo che entrambi i polinomi sono ridotti in forma normale. In caso contrario avremmo dovuto portarli alla forma normale sommando tra loro i monomi simili.

 

Svolgiamo la moltiplicazione. Osserviamo che il primo polinomio è formato da due addendi: 2a,\ b.

 

Prendiamo il primo termine e moltiplichiamolo per tutti i termini del secondo polinomio, applicando il metodo che abbiamo visto per il prodotto tra un monomio e un polinomio

 

2a (a-b+2)= \\ \\ =2a\cdot a+2a(-b)+2a\cdot 2= \\ \\ =2a^2-2ab+4a

 

Quello che abbiamo appena scritto è il primo prodotto parziale.

 

Passiamo a moltiplicare il secondo termine del primo polinomio per il secondo polinomio

 

b(a-b+2)=  \\ \\ =b\cdot a+ b(-b)+2 b= \\ \\ =ab-b^2+2b

 

e questo è il secondo prodotto parziale.

 

Sommiamo i prodotti parziali, niente di più e niente di meno che una somma tra polinomi:

 

(2a+b)(a-b+2)=\\ \\ =2a^2-2ab+4a+(ab-b^2+2b)

 

ossia

 

2a^2-2ab+4a+ab-b^2+2b

 

Non dimentichiamoci di sommare e sottrarre i monomi simili che costituiscono il prodotto, in modo da ridurre il risultato in forma normale

 

2a^2-ab+4a+2b-b^2

 

Ed è fatta!

 

 

Altro esempio sul prodotto tra polinomi

 

Ora vediamo di calcolare un prodotto tra polinomi un po' più delicato:

 

(1-a+ a^3)(x+2x^2+x^3)

 

Il primo polinomio ha tre termini: 1,\ -a,\ a^3.

 

Determiniamo i prodotti parziali seguendo la regola che abbiamo visto in precedenza, e riportando i segni di ciascun termine che moltiplichiamo per il secondo polinomio

 

Primo prodotto parziale:

 

1\cdot (x+2x^2+x^3)= \\ \\ =x+2x^2+x^3

 

Secondo prodotto parziale (attenzione al segno):

 

-a (x+2x^2+x^3)=\\ \\ =(-a)x+(-a)\cdot 2 x^2+(-a)x^3=\\ \\ =-ax-2ax^2-ax^3

 

Terzo prodotto parziale:

 

a^3 (x+2x^2+x^3)= \\ \\ =a^3 x+a^3\cdot 2x^2+a^3 x^3= \\ \\ =a^3 x+2 a^3 x^2+a^3x^3

 

Sommiamo i prodotti parziali, così da ottenere:

 

(1-a+a^3)(x+2x^2+x^3)=\\ \\ =x+2x^2+x^3+(-ax-2ax^2-ax^3)+(a^3x+2a^3x^2+a^3x^3)=

 

ossia

 

=x+2x^2+x^3-ax-2ax^2-ax^3+a^3x+2a^3x^2+a^3x^3

 

In questo caso il polinomio è già ridotto in forma normale, quindi non dobbiamo fare nient'altro.

 

 

Altro esempio sul prodotto tra polinomi

 

(1+x-3x^2+x-2x)(a+a^2-3a+2a+1)

 

In questo caso i due polinomi fattori non sono ridotti in forma normale, quindi per risparmiare conti e fatica sommiamo i termini simili:

 

1+x-3x^2+x-2x=1+(1+1-2)x-3x^2=\\ \\ =1-3x^2\\ \\ a+a^2-3a+2a+1=(1-3+2)a+a^2+1=\\ \\ =a^2+1

 

Riscriviamo il prodotto:

 

(1-3x^2)(a^2+1)

 

A questo punto procediamo con la solita regola:

 

(1-3x^2)(a^2+1)=\\ \\  =a^2+1-3a^2x^2-3x^2

 

Il polinomio risultante è ridotto in forma normale, quindi abbiamo terminato.

 

Con la giusta esperienza e con una buona dose di allenamento potremo effettuare il calcolo più velocemente, senza dover calcolare i prodotti parziali a parte, e scrivendo tutti i passaggi in un colpo solo. A ben vedere è proprio ciò che abbiamo fatto nel terzo esempio. ;)

 

 

Errori frequenti

 

Gli errori che si commettono negli esercizi sul prodotto tra polinomi sono molteplici. Tra questi, i soliti errori di conto e di segno. È importante applicare correttamente la regola dei segni e riportare sempre tutti i segni dei termini con cui si lavora, a costo di fare un abbondante uso delle parentesi tonde.

 

Può capitare inoltre di dimenticarsi per strada qualche termine. Esiste però una piccola regola da tenere a mente: immaginando di avere due polinomi ridotti in forma normale, di cui uno con n termini e l'altro con m termini, allora il polinomio prodotto avrà n\times m termini prima di essere ridotto alla forma normale.

 

Grado del polinomio prodotto

 

Dati due polinomi, di cui uno di grado n e l'altro di grado m, allora il grado del polinomio prodotto è dato dalla somma dei gradi dei polinomi fattori, cioè n+m.

 

Il motivo è presto detto. Poiché il grado di un polinomio è per definizione il massimo grado dei monomi che lo compongono, il grado del polinomio prodotto è dato dalla somma dei gradi dei monomi di grado massimo dei due polinomi fattori.

 

E perché il grado del polinomio prodotto è la somma e non il prodotto dei gradi dei due fattori? Un indizio: proprietà delle potenze... ;)

 

 


 

Abbiamo finito. Nella lezione successiva mostreremo come calcolare la divisione tra un polinomio e un monomio.

 

Se volete esercitarvi sappiate che c'è una scheda di esercizi svolti che vi aspetta, oltre a tutti gli altri esercizi risolti che sono presenti su YM e che potete recuperare direttamente con la barra di ricerca interna. Per di più, nel caso voleste verificare i risultati degli esercizi che dovete risolvere per casa, potete usare il tool per risolvere le espressioni online. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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