Prodotto tra monomi e polinomi

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un'operazione tra polinomi, il cui risultato si calcola moltiplicando ordinatamente il monomio per tutti i monomi che costituiscono il polinomio.

 

In questa lezione vediamo come svolgere la moltiplicazione tra monomi e polinomi, in cui il calcolo si basa essenzialmente sulla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, che conosciamo fin da quando abbiamo imparato a svolgere le operazioni aritmetiche tra numeri.

 

Partiremo dalla definizione e dalla regola espresse a parole, che però potrebbero risultare astratte e difficili da comprendere. Presenteremo quindi diversi esempi ed esercizi commentati passo passo, mettendo in luce i vari passaggi da effettuare ed evidenziando i punti delicati in cui spesso e volentieri si commettono errori.

 

Prodotto tra monomi e polinomi

 

Prima di cominciare facciamo una precisazione sui nomi. Sappiamo che è sempre opportuno distinguere tra operazione e risultato dell'operazione: nel nostro caso l'operazione è la moltiplicazione e il risultato di tale operazione prende il nome di prodotto.

 

Col passare del tempo, man mano che si acquisisce sempre più dimestichezza con la Matematica, diventa abitudine comune usare il termine prodotto per riferirsi indistintamente sia all'operazione che al risultato dell'operazione. Si tratta a tutti gli effetti di un abuso di linguaggio, che però è comunemente accettato e utilizzato.

 

Questa premessa è per dire che parleremo di prodotto tra monomi e polinomi per indicare sia l'operazione di moltiplicazione tra monomi e polinomi, sia il polinomio prodotto inteso come risultato.

 

Passiamo alla definizione. Il prodotto tra un monomio e un polinomio è ancora un polinomio, che si compone di tutti i prodotti (detti prodotti parziali) ottenuti moltiplicando il monomio per ciascun termine del polinomio.

 

La definizione in realtà ci dice già tutto, ma potrebbe risultare poco chiara. Prima di passare agli esempi è meglio vedere la regola di calcolo passaggio per passaggio.

 

Come calcolare il prodotto tra monomi e polinomi

 

Per moltiplicare un monomio m(...) per un polinomio P(...) conviene innanzitutto controllare che entrambi siano ridotti in forma normale. Se così non fosse provvederemo a esprimerli in forma normale. In questo modo potremo risparmiare tempo e calcoli nello sviluppo del prodotto.

 

Scriviamo esplicitamente la moltiplicazione racchiudendo il polinomio tra parentesi

 

m(...)\cdot (P(...))

 

A questo punto applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto a somma e differenza. Moltiplichiamo il monomio m(...) per ciascun monomio che costituisce P(...), prestando attenzione ai segni e facendo riferimento alla regola per il prodotto tra monomi.

 

Possiamo riassumere la regola per calcolare il prodotto tra un monomio e un polinomio nei seguenti passaggi:

 

1) ridurre in forma normale il monomio e il polinomio, se necessario (in caso di dubbi: monomio in forma normale; polinomio in forma normale);

 

2) scrivere il prodotto riportando il polinomio tra parentesi;

 

3) moltiplicare il monomio per ciascun termine del polinomio, così da ottenere i prodotti parziali (attenzione: qui intervengono sia la regola dei segni, sia le proprietà delle potenze);

 

4) sommare i prodotti parziali, riportando ciascuno di essi con il relativo segno.

 

Esempi sul prodotto tra un monomio e un polinomio

 

Vogliamo calcolare il prodotto tra il monomio a e il polinomio b+c.

 

Il monomio e il polinomio sono già in forma normale, quindi possiamo procedere.

 

Impostiamo il prodotto, riportando il polinomio rigorosamente tra parentesi tonde

 

a\cdot(b+c)

 

Il prossimo passo è moltiplicare il monomio a per ciascun termine del polinomio b+c. In questo modo otteniamo i prodotti parziali:

 

a\cdot b=ab\\ \\ a\cdot c=ac

 

I prodotti parziali hanno entrambi segni positivi. Scriviamo la somma tra monomi che ne risulta

 

a\cdot (b+c)=ab+ac

 

Dato che il polinomio di partenza era già in forma normale, ne consegue che anche il polinomio prodotto è in forma normale: i monomi che lo costituiscono non sono simili tra loro, e non c'è altro da fare.

 

 

Altro esempio sul prodotto tra monomi e polinomi

 

Risolviamo un esercizio un po' più elaborato del precedente. Vogliamo calcolare il seguente prodotto monomio per polinomio:

 

-2a x(1- x-a)

 

Anche in questo caso monomio e polinomio sono già ridotti in forma normale, per cui possiamo procedere con il passaggio successivo.

 

Moltiplichiamo -2ax per ciascun termine di 1-x-a, in modo da ottenere i prodotti parziali. Attenzione ad applicare correttamente la regola dei segni:

 

-2a x \cdot 1= -2ax\\ \\ -2ax\cdot (-x)= 2ax^2\\ \\ -2a x\cdot (-a)= 2a^2x

 

Sommando i prodotti parziali giungiamo al risultato:

 

-2ax(1-x-a)= -2a x + 2a x^2+ 2a^2 x

 

 

Terzo esempio sul prodotto tra monomi e polinomi

 

Vogliamo determinare il prodotto tra il monomio -x e il polinomio x^2+3x^2+x-1.

 

-x(x^2+3x^2+x-1)

 

In questo caso il polinomio non è ridotto in forma normale. Sommiamo tra loro i termini simili

 

x^2+3x^2+x-1=\\ \\ =(1+3)x^2+x-1=\\ \\ =4x^2+x-1

 

e riscriviamo il prodotto tra monomio e polinomio:

 

-x(4x^2+x-1)

 

Moltiplichiamo il monomio per ciascun termine del polinomio, applicando ovviamente la proprietà distributiva e prestando attenzione ai segni. Svolgiamo la moltiplicazione senza calcolare separatamente i prodotti parziali:

 

-x(4x^2+x-1)= \\ \\ =(-x)(4x^2) + (-x)(x)+ (-x)(-1)=\\ \\ =-4x^3-x^2+x

 

e abbiamo finito. ;)

 

 

Errori frequenti

 

Gli errori più comuni sono i soliti errori di calcolo e di segno. A questi si aggiunge un terzo errore tipico: ogni tanto capita di dimenticare qualche prodotto parziale. Raccomandiamo di controllare sempre il passaggio appena effettuato prima di procedere al successivo.

 

Grado del prodotto tra un monomio e polinomio

 

Il grado del prodotto tra un monomio e un polinomio è uguale alla somma tra il grado del monomio e il grado del polinomio.

 

Un esempio rapidissimo:

 

\sqrt{2}x^2 y

 

è un monomio di grado 3, mentre

 

xy+x^2+1

 

è un polinomio di grado 2. Il loro prodotto è

 

\sqrt{2}x^3 y^2+ \sqrt{2}x^4 y+\sqrt{2}x^2 y

 

che è un polinomio di grado 5.

 

 


 

Fine! Vi raccomandiamo di provare a svolgere qualche esercizio, in modo da verificare di aver compreso a dovere le regole appena esposte. Saper calcolare il prodotto tra monomi e polinomi è molto importante, perché è propedeutico per l'operazione di moltiplicazione tra polinomi. ;)

 

A questo proposito potete servirvi della scheda di esercizi svolti correlati ed eventualmente usare la barra di ricerca interna: su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati dallo Staff. Inoltre potete sempre usare il tool per le espressioni online, così da controllare i risultati dei vostri compiti per casa. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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