Differenza tra polinomi

La differenza tra due polinomi è un'operazione polinomiale in cui, detti minuendo il primo polinomio e sottraendo il secondo, il risultato si ottiene calcolando la differenza tra i monomi simili del minuendo e del sottraendo.

 

Il metodo per svolgere le sottrazioni tra polinomi richiede di conoscere la regola per la somma tra polinomi, di cui abbiamo parlato nella lezione precedente. Come vedremo tra pochissimo non ci sono sostanziali variazioni nel metodo, a meno di un piccolo passaggio che spesso conduce in errore. :(

 

Prima di tutto partiamo dal metodo generale per calcolare la sottrazione tra polinomi, espresso a parole, per poi applicarlo in lungo e in largo in alcuni esempi.

 

Differenza tra due polinomi

 

Se avete letto le precedenti lezioni del corso dei polinomi saprete già che si tende a commettere un piccolo abuso di linguaggio per riferirsi alle operazioni e ai risultati delle operazioni.

 

Fin da piccoli impariamo che la sottrazione è un'operazione, e che il risultato di tale operazione prende il nome di differenza.

 

Col passare del tempo si tende poi a usare il termine differenza per indicare sia l'operazione, sia il risultato, ed è ciò che faremo anche qui. Parleremo in generale di differenza tra polinomi per intendere, a seconda del contesto, l'operazione di sottrazione tra polinomi o il polinomio differenza come risultato.

 

La differenza di due polinomi è per definizione il polinomio che si ottiene sommando al primo, detto polinomio minuendo, l'opposto del secondo, detto polinomio sottraendo.

 

Avete notato? Nella definizione di differenza tra polinomi abbiamo coinvolto la somma tra polinomi. Questo perché, se ci pensiamo bene, possiamo interpretare la differenza tra polinomi come somma tra un minuendo e l'opposto del sottraendo

 

\mbox{minuendo}-\mbox{sottraendo}=\mbox{minuendo}+(-\mbox{sottraendo})

 

Come calcolare la differenza tra due polinomi

 

La regola per calcolare la differenza tra polinomi è estremamente semplice. Dati due polinomi P(...),Q(...), il polinomio differenza si ottiene considerando la sottrazione come addizione con l'opposto

 

P(...)-Q(...)=P(...)+(-Q(...))

 

e applicando l'ormai noto metodo per calcolare la somma tra polinomi.

 

Nella pratica scriveremo il polinomio sottraendo tra parentesi tonde

 

P(...)-(Q(...))

 

ed elimineremo le parentesi invertendo tutti i segni dei monomi che costituiscono Q(...).

 

Calcoleremo infine la somma tra i monomi simili dei polinomi P(...),Q(...), ossia sommando i monomi dei vari gruppi che hanno la stessa parte letterale.

 

Procediamo con un paio di esempi commentati, in modo da analizzare tutti i passaggi da seguire.

 

Esempi sulla differenza tra polinomi

 

Vogliamo calcolare la differenza tra i polinomi

 

\frac{2}{3}ab + 5 a^2 + a\\ \\ \frac{2}{3}ab -3 a+1.

 

Esplicitiamo la sottrazione tra i due polinomi: qui è fondamentale riportare il polinomio sottraendo tra parentesi

 

\overbrace{\frac{2}{3}ab+ 5 a^2+ a}^{\mbox{minuendo}}- \overbrace{\left(\frac{2}{3}ab-3 a +1\right)}^{\mbox{sottraendo}}

 

Togliamo le parentesi cambiando tutti i segni del polinomio sottraendo, in accordo con la regola dei segni. State molto attenti a questo passaggio e ricontrollatelo sempre prima di procedere:

 

\frac{2}{3}ab+ 5 a^2+ a-\frac{2}{3}ab+3 a -1

 

Sottolineiamo in modo diverso i gruppi di monomi simili

 

\underline{\frac{2}{3}ab}+ 5 a^2+ \underline{\underline{a}}-\underline{\frac{2}{3}ab}+\underline{\underline{3 a}} -1

 

e riduciamo i termini simili calcolandone le eventuali somme e differenze (in caso di dubbi, cfr operazioni tra monomi)

 

\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\right)ab+ 5 a^2+(1+3)a-1

 

Svolgendo i calcoli otteniamo il polinomio differenza

 

5 a^2+4a -1

 

ed ecco fatto!

 

 

Altro esempio sulla differenza tra polinomi

 

Vogliamo calcolare la differenza tra i polinomi

 

x^2-x- 1\\ \\ x^3-3 x^2-x +1

 

Impostiamo la sottrazione riportando il polinomio sottraendo tra parentesi tonde

 

x^2-x-1-(x^3-3x^2-x+1)

 

Ora togliamo le parentesi, ricordandoci di cambiare tutti i segni del polinomio sottraendo

 

x^2-x-1-x^3+3x^2+x-1

 

Sottolineiamo i gruppi di termini simili

 

\underline{x^2}-\underline{\underline{x}}-\underline{\underline{\underline{1}}}-x^3+\underline{3x^2}+\underline{\underline{x}}-\underline{\underline{\underline{1}}}

 

Procediamo con le varie somme e differenze

 

(1+3)x^2-x^3+(-1+1)x+(-1-1)

 

e ci siamo:

 

-x^3+4x^2-2

 

 

Errori frequenti

 

Gli errori tipici che si commettono negli esercizi sulla differenza tra due polinomi sono quelli di calcolo, e in particolare gli errori di segno. Vi raccomandiamo di prestare molta attenzione e di controllare sempre i vari segni, passaggio per passaggio.

 

Grado del polinomio differenza

 

La differenza di due polinomi è un polinomio il cui grado è minore o uguale del massimo dei gradi dei polinomi di partenza.

 

Esattamente come nel caso della somma, è facile immaginare che il grado del polinomio differenza possa coincidere con il massimo dei gradi di minuendo e sottraendo. Dobbiamo però tenere conto che i termini di grado massimo, ossia quelli che individuano i gradi complessivi dei polinomi coinvolti, potrebbero cancellarsi a vicenda.

 

Un esempio renderà tutto più chiaro:

 

a x^2+ 2 x +1

 

è un polinomio di grado 3, così come

 

ax^2+1

 

è un polinomio di grado 3. Il polinomio differenza è

 

a x^2+2x+1-(ax^2+1)= \\ \\ = ax^2+2x+1-ax^2-1= \\ \\ =2x

 

e come potete vedere ha grado 1, che è minore del massimo grado dei polinomi di partenza.

 

 


 

La terza operazione che ci accingiamo a studiare è la moltiplicazione tra polinomi, ma prima è opportuno compiere un passo intermedio e parlare di prodotto tra monomi e polinomi. ;)

 

Se volete esercitarvi potete mettervi alla prova con gli esercizi svolti che trovate su YM, a partire dalla scheda correlata, ed eventualmente reperendone altri con la barra di ricerca interna. Potete inoltre controllare i risultati degli esercizi che dovete svolgere per casa con il tool per risolvere le espressioni online. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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