Monomi

I monomi sono espressioni matematiche date dal prodotto tra una parte numerica e una parte letterale, ad esempio 3x, -2x^2y, 12a^2bc^3. La parte numerica del monomio è un qualsiasi numero, mentre la parte letterale è costituita dal prodotto di potenze con base letterale ed esponente intero positivo o nullo.

In questa lezione introduttiva parliamo dei monomi. I monomi sono tra le prime espressioni matematiche che si studiano alle Scuole Superiori e possiamo considerarli come i mattoncini della Matematica su cui si fonda buona parte dell'Algebra, perché servono a costruire oggetti un po' più elaborati: i polinomi.

Qui di seguito imposteremo la spiegazione proponendovi tutte le definizioni che bisogna imparare sin da subito. In particolare, le definizioni di monomio in forma normale, di grado di un monomio, di monomi simili, di monomi uguali e di monomi opposti.

Nelle lezioni successive vedremo come bisogna comportarsi nella pratica e come svolgere le varie operazioni con i monomi, mentre a fine lezione potrete accedere direttamente alla scheda di esercizi svolti. ;)

Definizione di monomio

Un monomio è un'espressione matematica che consiste in un prodotto di fattori qualsiasi, siano essi numerici o letterali. I termini letterali sono espressi sotto forma di potenze aventi come esponente un numero naturale.

Un esempio?

Il fattore numerico prende il nome di coefficiente o parte numerica del monomio, mentre il fattore letterale costituisce la cosiddetta parte letterale del monomio.

La definizione di monomio presenta tre diversi ingredienti:

1) la parte numerica può essere costituita da un qualsiasi numero (qui e in tutte le lezioni successive considereremo coefficienti nell'insieme dei numeri reali);

2) la parte numerica deve essere moltiplicata per la parte letterale;

3) nella parte letterale possono esserci solamente moltiplicazioni.

Non a caso il termine monomio deriva dalla fusione delle parole greche monos=unica e nomé= legge, per sottolineare il fatto che l'unica "legge" che compare in essi è la moltiplicazione.

Attenzione, non fatevi ingannare: le potenze aventi come esponente un numero naturale non sono altro che moltiplicazioni in cui i fattori coincidono con la base, quindi rientrano perfettamente nella regola 3) della definizione.

Esempi sui monomi

La definizione è piuttosto semplice e non dovrebbe spaventarci, ma per toglierci ogni possibile dubbio conviene vedere subito una carrellata di esempi sui monomi:

è un monomio in cui è il coefficiente numerico (numero naturale) mentre è la parte letterale.

è un monomio che ha come coefficiente numerico (numero relativo) e come parte letterale .

è un monomio. Il coefficiente numerico è (numero razionale) mentre la parte letterale è .

è un monomio con parte numerica (numero irrazionale) e con parte letterale .

è ancora un monomio! Anche se la parte letterale sembra non esserci, in realtà è una qualsiasi lettera con esponente zero, che quindi vale 1. Il coefficiente è .

non è un monomio, perché l'espressione non si può esprimere come prodotto tra una parte numerica e una parte letterale.

non è un monomio, perché l'esponente della lettera è negativo.

non è un monomio, perché sfruttando la definizione di potenza con esponente negativo possiamo riscriverlo nella forma , da cui si vede che l'esponente di è negativo e quindi non è un numero naturale.

non è un monomio, perché dalla definizione di potenza con esponente fratto possiamo scriverlo come , e l'esponente di non è un numero naturale.

Attenzione ai casi particolari:

- dai precedenti esempi abbiamo scoperto che, in accordo con la definizione, i soli e semplici numeri sono un caso particolare di monomi;

- nel contesto dei monomi il numero 0 corrisponde al monomio nullo.

Monomi ridotti in forma normale

Un monomio si dice ridotto in forma normale se è espresso come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse.

Ad esempio

non è ridotto in forma normale, perché la parte numerica non è costituita da un solo fattore numerico: è infatti il prodotto tra e .

Per ridurre il monomio alla forma normale dobbiamo moltiplicare in modo opportuno ed esprimere la parte numerica come un unico fattore, così da ottenere

Un altro esempio di monomio non in forma normale è dato da

perché in questo caso le potenze della parte letterale non hanno basi diverse. La forma normale è data da

Dagli esempi si capisce che non tutti i monomi sono espressi in forma normale, ma tutti i monomi possono essere riscritti in forma normale esprimendo opportunamente le moltiplicazioni coinvolte.

Grado complessivo di un monomio e grado di un monomio rispetto a una lettera

Una volta capito cos'è un monomio scritto in forma normale, interviene il concetto di grado di un monomio in senso generale e di gradi di un monomio rispetto alle varie lettere. In entrambi i casi le definizioni si riferiscono solamente ai monomi ridotti in forma normale.

Grado del monomio rispetto ad una lettera: è l'esponente della lettera nel monomio.

Grado complessivo del monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio.

Non è affatto difficile determinare i gradi di un monomio ma purtroppo, per qualche strano motivo, a volte gli studenti hanno difficoltà in merito. ;) Vediamo un semplice esempio.

è un monomio ridotto in formale, infatti la parte numerica è costituita da un solo fattore e la parte letterale è costituita da potenze con basi diverse.

Individuiamo i gradi del monomio rispetto a ogni lettera e quello complessivo:

• 3 è il grado del monomio rispetto alla lettera ;

• 1 è il grado del monomio rispetto alla lettera ;

• 2 è il grado del monomio rispetto alla lettera ;

• 3+1+2=6 è il grado complessivo del monomio.

Anche in questo caso le definizioni non sono complicate, bisogna solo prestare attenzione ai casi particolari:

- i soli e semplici numeri (che sono monomi) diversi da 0 hanno grado 0;

- al monomio nullo, ossia 0, non è attribuito alcun grado per convenzione. In alcuni testi, prevalentemente universitari, il grado del monomio nullo è uguale a , sempre per convenzione.

Per consultare altri esempi potete leggere l'approfondimento sul grado di un monomio. Ora passiamo a introdurre alcuni concetti fondamentali che ritornano ciclicamente nella vita di ogni studente. ;)

Monomi simili

Chiamiamo monomi simili due qualsiasi monomi, ridotti in forma normale, che hanno la stessa parte letterale.

Ad esempio

sono monomi simili perché hanno la stessa parte letterale, così come sono monomi simili

Un esempio di monomi non simili?

Dagli esempi si intuisce un aspetto che potrebbe passare inosservato nella definizione: affinché due monomi ridotti in forma normale siano simili, la parte numerica è irrilevante. Importa solo che le parti letterali siano uguali.

Monomi uguali

Definiamo monomi uguali due qualsiasi monomi, ridotti in forma normale, che hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale, come ad esempio

Da notare che il concetto di monomi uguali è molto più stringente rispetto a quello di monomi simili: nel secondo caso basta l'uguaglianza tra le parti letterali; nel primo caso devono essere rispettivamente uguali le parti numeriche e le parti letterali.

Monomi opposti

Diciamo che due monomi in forma normale sono monomi opposti se sono simili e se hanno i coefficienti numerici opposti (ossia con segni opposti).

Come esempio di monomi opposti possiamo considerare:

Osservazione sul monomio nullo

Nei monomi la parte numerica e la parte letterale sono ben distinte e non influiscono l'una sull'altra. In quest'ottica l'unico caso particolare è dato dal monomio nullo: qualsiasi monomio avente come parte numerica 0 si riduce, infatti, al monomio nullo.

Ad esempio:

Impariamo per bene questi nuovi concetti perché ci permettono di definire le operazioni con i monomi, di cui parliamo nella prossima lezione.

Qui abbiamo finito, ma c'è una scheda di esercizi svolti sui monomi che vi aspetta, oltre a tanti altri altri esercizi che abbiamo risolto e spiegato e che potete reperire con la barra di ricerca interna. ;)

I più impazienti che sono qui per un ripasso veloce possono anche mettersi alla prova sin da subito con le espressioni con monomi.

Auf wiedersehen, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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