Radici di un polinomio

Le radici di un polinomio (o zeri di un polinomio) in una indeterminata sono i valori che annullano il polinomio mediante sostituzione dell'indeterminata. Un numero c è una radice di un polinomio P(x) se, sostituendolo al posto dell'indeterminata, si ottiene un'espressione numerica che si riduce a zero: P(c)=0.

 

Ora che abbiamo studiato i vari prodotti notevoli e che conosciamo buona parte delle tecniche di scomposizione, è un buon momento per fermarci un attimo. Ci soffermiamo su qualche semplice e importante nozione che ci tornerà utile in seguito. Non solo... ;)

 

Vogliamo anche approfittarne per trasmettervi il senso dello studio dei polinomi e di tutte le regole apprese fin qui. Apparentemente sembra puro esercizio meccanico fine a se stesso, ma le cose non stanno così. Quando si studiano le basi della Matematica deve esserci sempre una componente di fiducia, perché non sempre si può capire prima dove si vuole andare a parare poi, ma ciò non ci impedisce di dare un paio di anticipazioni sui nostri veri obiettivi.

 

In questa lezione parliamo degli zeri di un polinomio: dopo averne dato la definizione vediamo qualche semplice esempio, dopodiché analizziamo la relazione tra ricerca delle radici e scomposizione dei polinomi. Ne approfittiamo anche per introdurre un linguaggio un po' più formale, ma non lasciatevi spaventare: sono solo simboli. ;)

 

Alla fine vi diremo brevemente perché è importante imparare a lavorare bene con i prodotti notevoli, con le scomposizioni e più in generale con il calcolo letterale.

 

Cosa sono le radici di un polinomio

 

Consideriamo un polinomio in una indeterminata e chiamiamolo P(x).

 

Come abbiamo visto nella lezione introduttiva cos'è un polinomio, in queste lezioni consideriamo sempre coefficienti appartenenti all'insieme dei numeri reali, quindi supponendo che P(x) abbia grado n possiamo scrivere

 

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\\ \\ \mbox{con }a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{R}

 

I coefficienti sono numeri reali e possono eventualmente essere nulli. In particolare a_n è il coefficiente del termine di grado massimo (o coefficiente direttivo) e a_0 è il termine noto del polinomio.

 

Per denotare P(x) in modo sintetico, e al contempo specificare a quale insieme numerico appartengono i suoi coefficienti, possiamo scrivere

 

P(x)\in\mathbb{R}[x]

 

dove \mathbb{R}[x] denota l'insieme di tutti i polinomi con coefficienti reali e di grado qualsiasi.

 

Con queste premesse chiamiamo valutazione del polinomio P(x)\in\mathbb{R}[x], con un valore dell'indeterminata x=c\in\mathbb{R}, l'espressione numerica

 

P(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+...+a_2c^2+a_1c+a_0

 

Sottolineiamo che la valutazione di un polinomio può essere effettuata nell'insieme a cui appartengono i suoi coefficienti, infatti essendo P(x)\in\mathbb{R}[x] abbiamo considerato c\in\mathbb{R}.

 

A questo punto definiamo radice di un polinomio P(x)\in\mathbb{R}[x] qualsiasi valore c\in\mathbb{R} tale che

 

P(c)=0

 

ossia tale che la valutazione del polinomio P(x) in c, ottenuta sostituendo x=c al posto dell'indeterminata, sia uguale a zero

 

a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+...+a_2c^2+a_1c+a_0=0

 

Niente di difficile fin qui. :) 

 

 

Esempi sulle radici dei polinomi

 

 

1) Dato il binomio Q(x)\in\mathbb{R}[x]

 

Q(x)=x+1

 

allora x=-1 è una radice del polinomio (e in particolare l'unico zero del polinomio), infatti

 

Q(-1)=(-1)+1=-1+1=0

 

 

2) Dato il trinomio R(x)\in\mathbb{R}[x]

 

R(x)=x^2+4x+4

 

allora x=-2 è una radice del polinomio (e in particolare l'unico zero del polinomio). Se notiamo che R(x) è un quadrato di binomio, e ne scriviamo la scomposizione

 

R(x)=(x+2)^2=(x+2)(x+2)

 

si vede subito che

 

R(-2)=(-2+2)(-2+2)=0\cdot 0=0

 

 

3) Dato il polinomio S(x)\in\mathbb{R}[x]

 

S(x)=x^2+3x+2

 

possiamo determinarne la scomposizione con la regola del trinomio notevole

 

S(x)=(x+2)(x+1)

 

e da qui ricaviamo che le uniche due radici del polinomio sono x=-2 e x=-1, infatti

 

S(-2)=(-2+2)(-2+1)=0\cdot (-1)=0\\ \\ S(-1)=(-1+2)(-1+1)=1\cdot 0=0

 

 

4) Infine, il binomio T(x)\in\mathbb{R}[x] dato da

 

T(x)=x^2+1

 

è una somma di quadrati di secondo grado e, in quanto tale, non è scomponibile. Si vede anche che tale polinomio non ammette alcuna radice nell'insieme dei numeri reali, perché comunque si scelga c\in\mathbb{R} si ricava

 

T(c)=c^2+1>0

 

Per capirlo basta osservare che il primo termine è un quadrato e che il secondo termine è un numero positivo, dunque la loro somma è necessariamente positiva.

 

Radici e scomposizioni, molteplicità ed esistenza delle radici di un polinomio

 

Passiamo ad alcune osservazioni generali prendendo spunto dai precedenti esempi.

 

 

Scomposizione di un polinomio e radici del polinomio

 

Il metodo più semplice e immediato per determinare le radici di un polinomio P(x)\in\mathbb{R}[x] prevede di scomporlo come prodotto di binomi di primo grado... Ove possibile. ;)

 

Se riusciamo a scomporre P(x) come prodotto tra un binomio di primo grado (x-c_1) e un polinomio P_1(x)

 

P(x)=(x-c_1)P_1(x)

 

allora capiamo subito che x=c_1 è uno zero del polinomio P(x), infatti per la legge di annullamento del prodotto

 

P(c_1)=(c_1-c_1)P_1(c_1)=0\cdot P_1(c_1)=0

 

Vi facciamo notare che in questo caso P_1(x) deve avere grado minore rispetto a P(x). Nello specifico, se P(x) ha grado n allora P_1(x) deve avere grado (n-1).

 

Il polinomio P_1(x) potrà eventualmente essere scomposto come prodotto tra un ulteriore binomio di primo grado (x-c_2) e un polinomio P_2(x), oppure no.

 

Il punto è che un polinomio P(x)\in\mathbb{R}[x] ammette una radice x=c se e solo se è scomponibile come prodotto tra il binomio di primo grado (x-c) e un altro polinomio Q(x)\in\mathbb{R}[x]

 

P(c)=0\ \Longleftrightarrow\ P(x)=(x-c)Q(x)

 

Torneremo su questo punto in una delle lezioni successive, dedicata al teorema del resto.

 

Quello che ne risulta all'atto pratico è che se un polinomio P(x)\in\mathbb{R}[x] non è scomponibile, oppure se è scomponibile solamente nel prodotto di polinomi di grado maggiore di 1 (non ulteriormente scomponibili), allora non ammette radici nell'insieme dei numeri reali, e viceversa.

 

È ciò che avviene nel caso dei polinomi

 

x^2+1\\ \\ x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+2)

 

 

Molteplicità delle radici di un polinomio

 

Dall'esempio 2) si capisce che una radice c\in\mathbb{R} di un polinomio P(x)\in\mathbb{R}[x] può "annullare più di una volta" P(x), nel senso che può annullare più di un termine della sua fattorizzazione in binomi di primo grado

 

(x+2)^2=(x+2)(x+2)

 

Per formalizzare questa eventualità si definisce la molteplicità della radice di un polinomio come il numero di binomi di primo grado che ammettono la stessa radice nella scomposizione.

 

Nell'esempio

 

(x+2)^2=(x+2)(x+2)

 

si ha che x=-2 è una radice con molteplicità pari a 2, mentre se consideriamo

 

(x+2)(x+3)

 

allora tale polinomio ammette come radici x=-2 e x=-3, entrambe con molteplicità 1.

 

 

Esistenza delle radici di un polinomio

 

Gli esempi 1) - 4) e l'osservazione su scomposizione e radici mettono in luce un aspetto molto importante. Dato un polinomio P(x)\in\mathbb{R}[x] di grado n, esso può:

 

A) avere n radici, ciascuna contata con la propria molteplicità.

 

In tal caso può essere scomposto come prodotto di n binomi di primo grado, tutti diversi tra loro, in parte uguali tra loro, o tutti uguali tra loro.

 

B) Avere m radici, ciascuna contata con la propria molteplicità, con 0<m<n.

 

In tal caso può essere scomposto come prodotto tra m binomi di primo grado e un polinomio di grado n-m (non scomponibile, oppure scomponibile ma con ogni fattorizzazione priva di binomi di primo grado).

 

C) non avere alcuna radice.

 

In tal caso può essere non scomponibile, oppure essere scomponibile ma con ogni fattorizzazione priva di binomi di primo grado.

 

Vediamo qualche esempio e, come di consueto, ragioniamo nell'insieme dei numeri reali.

 

- Un polinomio di terzo grado con 3 radici coincidenti, ossia con 1 radice di molteplicità 3

 

x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3=(x+1)(x+1)(x+1)

 

(si tratta di un cubo di binomio)

 

- Un polinomio di terzo grado con 3 radici, di cui 1 radice con molteplicità 2

 

x^3+x^2-x-1=(x+1)(x^2-1)=(x+1)(x-1)(x-1)

 

(raccoglimento parziale e differenza di quadrati)

 

- Un polinomio di secondo grado con 2 radici distinte

 

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

 

(somma per prodotto)

 

- Un polinomio di secondo grado privo di radici reali

 

x^2+1

 

(somma di quadrati)

 

- Un polinomio di quarto grado privo di radici reali e scomponibile, dunque privo di binomi di primo grado in qualsiasi sua possibile scomposizione

 

x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

 

(identità di Sophie Germain)

 

Radici di un polinomio e sviluppo della teoria

 

Niente di difficile, tutto sommato, ad ogni modo sappiate che nelle successive lezioni riprenderemo le nozioni che abbiamo visto qui. Ora concludiamo con le anticipazioni che vi abbiamo promesso nell'introduzione.

 

I polinomi, le tecniche di scomposizione e il calcolo delle radici sono fondamentali perché si ripropongono a ogni livello dell'Algebra, e non solo: anche in molti altri ambiti della Matematica.

 

I polinomi hanno un profondo legame con le equazioni e in particolare con le equazioni polinomiali. Molto più in là vedremo che:

 

- c'è un'ampia gamma di equazioni che vengono definite a partire dai polinomi, le cosiddette equazioni polinomiali. A ogni polinomio è associata un'equazione, e a ogni equazione polinomiale è associato un polinomio;

 

- risolvere un'equazione polinomiale, ossia determinarne le soluzioni, equivale a determinare le radici del polinomio che la definisce; viceversa gli zeri di un polinomio sono le soluzioni dell'equazione associata ad esso;

 

- la scomposizione dei polinomi è essenziale per studiare la risolvibilità delle equazioni polinomiali e, nel caso siano risolvibili, per determinarne le soluzioni.

 

Vi sono sviluppi anche per quel che concerne gli insiemi numerici. Il fatto che non tutti i polinomi a coefficienti reali P(x)\in\mathbb{R}[x] ammettano radici nell'insieme dei numeri reali ci porterà ad ampliare i nostri orizzonti, e a definire un nuovo insieme numerico \mathbb{C}:

 

- che estenda quello dei numeri reali \mathbb{R}, dunque tale che risulti \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}

 

- tale che ogni polinomio di grado n e con coefficienti in \mathbb{C} ammetta esattamente n radici, ciascuna contata con la propria molteplicità.

 

A questo proposito dovremo attendere di studiare i numeri complessi e il teorema fondamentale dell'Algebra.

 

Non c'è fretta. Prima di tutto dobbiamo completare la teoria dei polinomi e prendere confidenza con gli esercizi di calcolo letterale... ;)

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo un'ulteriore, importante tecnica di scomposizione: la regola di Ruffini. Non perdetevela!

 

Nel frattempo vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e altrettanti approfondimenti, a partire dai tool per la scomposizione dei polinomi e per risolvere le espressioni. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

 

Güle güle, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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