Somma di cubi

La somma di cubi è il prodotto notevole A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2) e permette di scomporre la somma di due cubi come prodotto tra:

  • il binomio dato dalla somma delle due basi;
  • il trinomio dato dal quadrato della prima base, meno il prodotto tra le due basi, più il quadrato della seconda base.

La regola per la scomposizione di una somma di cubi è uno dei prodotti notevoli che incontrerete più spesso nella vostra carriera, sia scolastica che universitaria. Vi raccomandiamo di tenerla sempre ben presente e soprattutto di capire come si ricava, in modo da non avere problemi in caso di dimenticanze.

In questa lezione mostreremo come applicarla e sveleremo un trucchetto per ricordarla, mettendovi in guardia sugli errori più frequenti e commentando un paio di esempi svolti.

Indice

  1. Scomposizione della somma di cubi
  2. Dimostrazione della regola per la somma di cubi
  3. Esempi sulla somma di cubi
  4. Casi particolari della somma di cubi

Scomposizione della somma di cubi

Nella lezione sui prodotti notevoli abbiamo spiegato che ognuna delle regole può essere usata sia per sviluppare prodotti e potenze, sia per scomporre i polinomi. Ogni prodotto notevole è infatti una formula che può essere letta in un senso o nell'altro.

La formula della somma di due cubi non esula da questa osservazione ma, nella pratica, nel 99% dei casi viene usata solo in fase di scomposizione. È per questo motivo che qui la analizzeremo unicamente per vedere come si applica per scomporre polinomi formati dalla somma di due cubi.

Nel caso inverso, cioè per lo sviluppo, è molto più conveniente procedere con il calcolo diretto. Al contrario di quanto accade con la differenza di quadrati, infatti, la lettura inversa della formula è molto meno facile da ricordare.

La formula che permette di scomporre il binomio A^3+B^3 dato da una somma di due cubi è la seguente:

A^3+B^3 = (A+B)(A^2−AB+B^2)

La prima cosa da fare per scomporre una somma tra cubi è ricavare le basi A e B. Fatto ciò:

  • il primo termine della scomposizione è il binomio dato dalla somma delle due basi, ossia dobbiamo scrivere le due basi frapponendo tra di esse lo stesso segno del polinomio di partenza;
  • il secondo termine della scomposizione è il trinomio costituito dal quadrato della prima base, dal quadrato della seconda base e dal prodotto tra le basi con segno opposto rispetto al polinomio di partenza. Questo particolare trinomio viene detto falso quadrato del binomio (A−B), perché assomiglia allo sviluppo del quadrato del binomio (A−B) ma è sprovvisto del coefficiente 2 nel prodotto delle basi.

Volendo esprimere a parole la regola per la somma di due cubi, possiamo affermare che la scomposizione della somma di due cubi è data dal prodotto tra la somma delle basi e il falso quadrato del binomio con segno negativo.

Il seguente schemino può aiutarci a non fare confusione con i segni:

...^3+...^3 = (...+...)(...^2−...·...+...^2)

Dimostrazione della regola per la somma di cubi

Per dimostrare la formula per la scomposizione della somma di cubi

A^3+B^3 = (A+B)(A^2−AB+B^2)

è sufficiente svolgere il prodotto tra polinomi presente a secondo membro, così da ottenere

(A+B)(A^2−AB+B^2) = A^3−A^2B+AB^2+A^2B−AB^2+B^3 = A^3+B^3

Esempi sulla somma di cubi

È giunto il momento di vedere un paio di esempi di scomposizione della somma di cubi. Se abbiamo capito come ricordare la formula, l'unica cosa a cui prestare attenzione è riconoscere e scrivere correttamente le due basi.

1) Proponiamoci di scomporre il seguente binomio dato dalla somma di due cubi

8x^3+27y^6

Innanzitutto ricaviamo le due basi, che sono 2x e 3y^2. Infatti, per le proprietà delle potenze:

(2x)^3 = 2^3·x^3 = 8x^3 ; (3y^2)^3 = 3^3·(y^2)^3 = 27y^(2·3) = 27 y^6

A questo punto sappiamo che il binomio nella scomposizione è dato dalla somma delle basi

2x+3y^2

mentre il trinomio è costituito dal quadrato della prima base, dal prodotto tra le basi con segno meno e dal quadrato della seconda base. In altri termini è il falso quadrato di (2x−3y^2)

(2x)^2−(2x)(3y^2)+(3y^2)^2 = 4x^2−6xy^2+9y^4

e in conclusione:

8x^3+27y^6 = (2x+3y^2)(4x^2−6xy^2+9y^4)

2) Scomponiamo la seguente somma di cubi

3x^9+40y^(12)

In esercizi come questo bisogna prestare molta attenzione nel calcolo delle basi. Questo perché le parti numeriche dei due monomi non sono dei cubi perfetti.

In tal caso per scrivere le basi senza commettere errori è sufficiente estrarre la radice cubica dei due termini; in questo modo le basi dei due cubi si ricavano facilmente grazie alle proprietà dei radicali

[3]√(3x^9) = [3]√(3)·[3]√(x^9) = [3]√(3)x^3; ; [3]√(40y^(12)) = [3]√(40)·[3]√(y^(12)) = [3]√(2^3·5)·[3]√(y^(12)) = 2[3]√(5)y^4

A questo punto la scomposizione viene da sé. Basta solo prestare attenzione ai conti e svolgere correttamente il prodotto tra monomi.

3x^9+40y^(12) = ([3]√(3)x^3+2[3]√(5)y^4) ([3]√(3^2)x^6−2[3]√(3·5)x^3y^4+4[3]√(5^2)y^8) = ([3]√(3)x^3+2[3]√(5)y^4) ([3]√(9)x^6−2[3]√(15)x^3y^4+4[3]√(25)y^8)

Casi particolari della somma di cubi

A conclusione di questa lezione vogliamo mettervi in guardia su due casi particolari, che inducono gli studenti alle prime armi a commettere errori.

Se abbiamo a che fare con una somma di cubi che si presenta nella forma

−A^3+B^3

conviene riscriverla come

B^3−A^3

e trattarla come una differenza di due cubi (argomento della lezione successiva). In questo modo eviterete di commettere errori di segno nel termine misto del falso quadrato presente nella scomposizione.

Per lo stesso motivo, se dovete scomporre un binomio del tipo

−A^3−B^3

conviene riscriverlo nella forma

−(A^3+B^3)

ossia come una somma di cubi preceduta dal segno meno, che sappiamo più che bene come scomporre. ;)

Un ultimo avvertimento: sebbene il nome possa trarre in inganno, non confondete la somma di due cubi con il cubo di un binomio; si tratta infatti di due prodotti notevoli ben distinti.

Con questo abbiamo finito. Se volete mettervi alla prova con gli esercizi sulla scomposizione della somma di cubi potete partire dalla scheda correlata ed eventualmente usare la barra di ricerca interna.

Se invece volete ricavare i risultati degli esercizi che vi sono stati assegnati per casa, potete usare il tool per la scomposizione di polinomi online e quello per le espressioni online. ;)

Zdravo, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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