Formule di Viète e formule di Newton

Le formule di Viète e le formule di Newton sono relazioni che intercorrono tra i coefficienti e le radici dei polinomi.

 

L'argomento che affrontiamo qui, a conclusione del corso dedicato ai polinomi, è lievemente avanzato e di norma non è richiesto agli studenti delle Scuole Superiori.

 

Anche a livello universitario non necessariamente si studiano le formule di Viète e di Newton, ma precisiamo che talvolta vengono richieste alle Olimpiadi della Matematica. Per questo motivo adotteremo un'impostazione "asciutta" e molto meno discorsiva rispetto alle precedenti lezioni.

 

Inoltre, questa lezione è l'unica nel nostro corso sui polinomi in cui consideriamo polinomi a coefficienti nell'insieme dei numeri reali e in cui presupponiamo di saper calcolare le eventuali radici nell'insieme dei numeri complessi, così da poter fare affidamento sul Teorema Fondamentale dell'Algebra ;)

 

Formule di Viète

 

Cominciamo con l'enunciato del teorema di Viète. Sia

 

p(x)=a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0

 

un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x_1, x_2, ... , x_n le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.

 

Valgono le seguenti relazioni:

 

\begin{cases}x_1+ x_2 + ... + x_n = - \dfrac{a_{n - 1}}{a_n}\\ \\ x_1 x_2 +x_1 x_3 + ... + x_{n - 1} x_n = \dfrac{a_{n - 2}}{a_n}\\ \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4+ ... + x_{n - 2} x_{n - 1} x_n = - \dfrac{a_{n - 3}}{a_n}\\ \\ ...\\ \\ x_1x_2 x_3 ... x_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}\end{cases}

 

È evidente che le formule di Viète forniscono ogni possibile relazione tra le varie radici di un polinomio anche quando non è possibile calcolarle esplicitamente.

 

Formule di Newton

 

Anche le somme di potenze di radici soddisfano particolari relazioni, dette formule di Newton per i polinomi, che permettono di calcolarle con precisione.

 

Vediamo l'enunciato: sia

 

p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1 x + a_0

 

un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x_1,x_2, ..., x_n le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.

 

Posto

 

s_k= x_1^k + x_2^k + x_3^k + ... + x_n^k

 

valgono le seguenti relazioni

 

\begin{cases}a_n s_k + a_{n - 1} s_{k - 1} + ... + a_{n - k + 1}s_1 = - k a_{n - k} & \mbox{con}\ 1 \leq k \leq n\\ \\ a_n s_k + a_{n - 1} s_{k-1} + ... + a_0s_{k-n} = 0 & \mbox{con}\ k > n\end{cases}

 

Esempi sulle formule di Viète e di Newton

 

Ribadiamo che le formule di Newton e le formule di Viète sono strumenti a dir poco fondamentali per chiunque abbia intenzione di partecipare alle Olimpiadi della Matematica, mentre sono poco (o mai) usate in ambito scolastico.

 

Passiamo agli esempi. Gli esercizi proposti non sono standard e sono più o meno impegnativi, quindi non preoccupatevi se non riuscite a risolverli subito.

 

 

Esempio (Somma delle potenze delle radici di un polinomio)

 

Determinare la somma delle potenze quattordicesime delle radici dell'equazione

 

x^7-x-1 =0

 

Svolgimento: chiamiamo x_1,...,x_7 le radici del polinomio, e riscriviamolo nella forma

 

x^7=x+1

 

Eleviamo al quadrato, così da ottenere

 

x^{14} =x^2+2x+1

 

Consideriamone le valutazioni in ciascuna delle radici

 

x^{14}_j =x^2_j+2x_j+1\ \ \ \mbox{con }j=1...7

 

e sommiamo tra loro le uguaglianze

 

\sum_{j=1}^{7}x^{14}_j =\sum_{j=1}^{7}(x^2_j+2x_j+1)

 

Dalle proprietà delle sommatorie

 

\sum_{j=1}^{7} x_{j}^{14}=\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{2}+2\sum_{j=1}^{7}x_j+\sum_{j=1}^{7}1\ \ \ (\bullet)

 

Le formule di Viète ci dicono che

 

\sum_{j=1}^{n}x_j =-\frac{a_{n-1}}{a_n}

 

ossia, nel nostro caso

 

\sum_{j=1}^{7}x_j =-\frac{a_6}{a_7}

 

Il coefficiente a_6 è zero nel polinomio in questione, di conseguenza

 

\sum_{j=1}^{7}x_j =0

 

e il secondo termine nella relazione (\bullet) è nullo:

 

\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{14} =\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{2}+\sum_{j=1}^{7}1\ \ \ (\bullet)

 

Ora richiamiamo le formule di Newton per lavorare sul primo termine del secondo membro. Poniamo

 

s_k=x_1^k +x_2^k+...+x_7^k

 

per cui sappiamo che

 

s_k+a_{n-1}s_{k-1}+...+ a_{n-k+1}s_1=-ka_{n-k}

 

Nel nostro caso k=2 e n=7, di conseguenza ci riduciamo a

 

s_2+a_6s_1= -2a_5

 

Poiché a_6,a_5 sono nulli, ricaviamo

 

s_2= 0

 

E in definitiva la relazione (\bullet) diventa

 

\sum_{j=1}^{14}x_j^{14} =\sum_{j=1}^71=7

 

 

Esempio (Formule di Viète e valore di un'espressione con le radici di un polinomio)

 

Dato il polinomio

 

p(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 9x +6

 

dette \lambda_1, \lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 le sue radici, calcolare il valore dell'espressione.

 

\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 }+\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_1 \lambda_3 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 }

 

Svolgimento: l'espressione, per come si presenta, richiede calcoli troppo astrusi e noi non vogliamo certo complicarci la vita. ;) Trattiamola come un'espressione tra frazioni algebriche:

 

\frac{\lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4}

 

Questa espressione è molto più semplice da gestire:

 

- a numeratore abbiamo la somma delle quattro radici;

 

- a denominatore abbiamo il prodotto delle quattro radici.

 

Possiamo sfruttare le formule di Viète per calcolare le espressioni singolarmente. Per il numeratore

 

\sum_{j=1}^{n}\lambda_j =-\frac{a_{n-1}}{a_n}

 

ossia

 

\sum_{j=1}^{4}\lambda_j =-\frac{a_{3}}{a_4}

 

e dunque

 

\lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1 = - \frac{3}{1} = - 3

 

Per il denominatore

 

\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 ... \lambda_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}

 

ossia

 

\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 = (-1)^4 \dfrac{a_0}{a_4}

 

e dunque

 

\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3\lambda_4 = (-1)^4 \cdot \frac{6}{1} = 6

 

Non ci resta che sostituire:

 

\frac{\lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}

 

 


 

Con questo si conclude il corso dedicato ai polinomi. Come al solito, sappiate che qui su YM ci sono migliaia di lezioni, esercizi risolti e approfondimenti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Francesco Paolo Maiale (Frank094)

 

Lezione precedente

 
 

Tags: formule di Vietè e formule di Newton, definizioni ed esempi svolti.