Formule di Viète e formule di Newton

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Le formule di Viète e le formule di Newton sono relazioni che intercorrono tra i coefficienti e le radici dei polinomi.

 

L'argomento che affrontiamo qui, a conclusione del corso dedicato ai polinomi, è lievemente avanzato e di norma non è richiesto agli studenti delle Scuole Superiori.

 

Anche a livello universitario non necessariamente si studiano le formule di Viète e di Newton, ma precisiamo che talvolta vengono richieste alle Olimpiadi della Matematica. Per questo motivo adotteremo un'impostazione "asciutta" e molto meno discorsiva rispetto alle precedenti lezioni.

 

Inoltre, questa lezione è l'unica nel nostro corso sui polinomi in cui consideriamo polinomi a coefficienti nell'insieme dei numeri reali e in cui presupponiamo di saper calcolare le eventuali radici nell'insieme dei numeri complessi, così da poter fare affidamento sul Teorema Fondamentale dell'Algebra ;)

 

Formule di Viète

 

Cominciamo con l'enunciato del teorema di Viète. Sia

 

p(x) = a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+...+a_1 x+a_0

 

un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x_1, x_2, ... , x_n le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.

 

Valgono le seguenti relazioni:

 

x_1+x_2+...+x_n = -(a_(n-1))/(a_n) ; x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_(n-1) x_n = (a_(n-2))/(a_n) ; x_1 x_2 x_3+x_1 x_2 x_4+...+x_(n-2) x_(n-1) x_n = -(a_(n-3))/(a_n) ; ... ; x_1x_2 x_3 ... x_n = (-1)^n (a_0)/(a_n)

 

È evidente che le formule di Viète forniscono ogni possibile relazione tra le varie radici di un polinomio anche quando non è possibile calcolarle esplicitamente.

 

Formule di Newton

 

Anche le somme di potenze di radici soddisfano particolari relazioni, dette formule di Newton per i polinomi, che permettono di calcolarle con precisione.

 

Vediamo l'enunciato: sia

 

p(x) = a_n x^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1 x+a_0

 

un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x_1,x_2, ..., x_n le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.

 

Posto

 

s_k = x_1^k+x_2^k+x_3^k+...+x_n^k

 

valgono le seguenti relazioni

 

a_n s_k+a_(n-1) s_(k-1)+...+a_(n-k+1)s_1 = -k a_(n-k) con 1 ≤ k ≤ n ; a_n s_k+a_(n-1) s_(k-1)+...+a_0s_(k-n) = 0 con k > n

 

Esempi sulle formule di Viète e di Newton

 

Ribadiamo che le formule di Newton e le formule di Viète sono strumenti a dir poco fondamentali per chiunque abbia intenzione di partecipare alle Olimpiadi della Matematica, mentre sono poco (o mai) usate in ambito scolastico.

 

Passiamo agli esempi. Gli esercizi proposti non sono standard e sono più o meno impegnativi, quindi non preoccupatevi se non riuscite a risolverli subito.

 

 

Esempio (Somma delle potenze delle radici di un polinomio)

 

Determinare la somma delle potenze quattordicesime delle radici dell'equazione

 

x^7-x-1 = 0

 

Svolgimento: chiamiamo x_1,...,x_7 le radici del polinomio, e riscriviamolo nella forma

 

x^7 = x+1

 

Eleviamo al quadrato, così da ottenere

 

x^(14) = x^2+2x+1

 

Consideriamone le valutazioni in ciascuna delle radici

 

x^(14)_j = x^2_j+2x_j+1 con j = 1...7

 

e sommiamo tra loro le uguaglianze

 

Σ_(j = 1)^(7)x^(14)_j = Σ_(j = 1)^(7)(x^2_j+2x_j+1)

 

Dalle proprietà delle sommatorie

 

Σ_(j = 1)^(7) x_(j)^(14) = Σ_(j = 1)^(7)x_(j)^(2)+2Σ_(j = 1)^(7)x_j+Σ_(j = 1)^(7)1 (•)

 

Le formule di Viète ci dicono che

 

Σ_(j = 1)^(n)x_j = -(a_(n-1))/(a_n)

 

ossia, nel nostro caso

 

Σ_(j = 1)^(7)x_j = -(a_6)/(a_7)

 

Il coefficiente a_6 è zero nel polinomio in questione, di conseguenza

 

Σ_(j = 1)^(7)x_j = 0

 

e il secondo termine nella relazione (•) è nullo:

 

Σ_(j = 1)^(7)x_(j)^(14) = Σ_(j = 1)^(7)x_(j)^(2)+Σ_(j = 1)^(7)1 (•)

 

Ora richiamiamo le formule di Newton per lavorare sul primo termine del secondo membro. Poniamo

 

s_k = x_1^k+x_2^k+...+x_7^k

 

per cui sappiamo che

 

s_k+a_(n-1)s_(k-1)+...+a_(n-k+1)s_1 = -ka_(n-k)

 

Nel nostro caso k = 2 e n = 7, di conseguenza ci riduciamo a

 

s_2+a_6s_1 = -2a_5

 

Poiché a_6,a_5 sono nulli, ricaviamo

 

s_2 = 0

 

E in definitiva la relazione (•) diventa

 

Σ_(j = 1)^(14)x_j^(14) = Σ_(j = 1)^71 = 7

 

 

Esempio (Formule di Viète e valore di un'espressione con le radici di un polinomio)

 

Dato il polinomio

 

p(x) = x^4+3x^3-x^2-9x+6

 

dette λ_1, λ_2,λ_3,λ_4 le sue radici, calcolare il valore dell'espressione.

 

(1)/(λ_1 λ_2 λ_3)+(1)/(λ_1 λ_2 λ_4)+(1)/(λ_1 λ_3 λ_4)+(1)/(λ_2 λ_3 λ_4)

 

Svolgimento: l'espressione, per come si presenta, richiede calcoli troppo astrusi e noi non vogliamo certo complicarci la vita. ;) Trattiamola come un'espressione tra frazioni algebriche:

 

(λ_4+λ_3+λ_2+λ_1)/(λ_1 λ_2 λ_3 λ_4)

 

Questa espressione è molto più semplice da gestire:

 

- a numeratore abbiamo la somma delle quattro radici;

 

- a denominatore abbiamo il prodotto delle quattro radici.

 

Possiamo sfruttare le formule di Viète per calcolare le espressioni singolarmente. Per il numeratore

 

Σ_(j = 1)^(n)λ_j = -(a_(n-1))/(a_n)

 

ossia

 

Σ_(j = 1)^(4)λ_j = -(a_(3))/(a_4)

 

e dunque

 

λ_4+λ_3+λ_2+λ_1 = -(3)/(1) = -3

 

Per il denominatore

 

λ_1 λ_2 λ_3 ... λ_n = (-1)^n (a_0)/(a_n)

 

ossia

 

λ_1 λ_2 λ_3 λ_4 = (-1)^4 (a_0)/(a_4)

 

e dunque

 

λ_1 λ_2 λ_3λ_4 = (-1)^4·(6)/(1) = 6

 

Non ci resta che sostituire:

 

(λ_4+λ_3+λ_2+λ_1)/(λ_1 λ_2 λ_3 λ_4) = (-3)/(6) = -(1)/(2)

 

 

 

Con questo si conclude il corso dedicato ai polinomi. Come al solito, sappiate che qui su YM ci sono migliaia di lezioni, esercizi risolti e approfondimenti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente

 
 

Tags: formule di Vietè e formule di Newton, definizioni ed esempi svolti.

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