Formule di Viète e formule di Newton
Le formule di Viète e le formule di Newton sono relazioni che intercorrono tra i coefficienti e le radici dei polinomi.
L'argomento che affrontiamo qui, a conclusione del corso dedicato ai polinomi, è lievemente avanzato e di norma non è richiesto agli studenti delle Scuole Superiori.
Anche a livello universitario non necessariamente si studiano le formule di Viète e di Newton, ma precisiamo che talvolta vengono richieste alle Olimpiadi della Matematica. Per questo motivo adotteremo un'impostazione "asciutta" e molto meno discorsiva rispetto alle precedenti lezioni.
Inoltre, questa lezione è l'unica nel nostro corso sui polinomi in cui consideriamo polinomi a coefficienti nell'insieme dei numeri reali e in cui presupponiamo di saper calcolare le eventuali radici nell'insieme dei numeri complessi, così da poter fare affidamento sul Teorema Fondamentale dell'Algebra ;)
Formule di Viète
Cominciamo con l'enunciato del teorema di Viète. Sia
un polinomio a coefficienti reali di grado e siano
le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.
Valgono le seguenti relazioni:
È evidente che le formule di Viète forniscono ogni possibile relazione tra le varie radici di un polinomio anche quando non è possibile calcolarle esplicitamente.
Formule di Newton
Anche le somme di potenze di radici soddisfano particolari relazioni, dette formule di Newton per i polinomi, che permettono di calcolarle con precisione.
Vediamo l'enunciato: sia
un polinomio a coefficienti reali di grado e siano
le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.
Posto
valgono le seguenti relazioni
Esempi sulle formule di Viète e di Newton
Ribadiamo che le formule di Newton e le formule di Viète sono strumenti a dir poco fondamentali per chiunque abbia intenzione di partecipare alle Olimpiadi della Matematica, mentre sono poco (o mai) usate in ambito scolastico.
Passiamo agli esempi. Gli esercizi proposti non sono standard e sono più o meno impegnativi, quindi non preoccupatevi se non riuscite a risolverli subito.
Esempio (Somma delle potenze delle radici di un polinomio)
Determinare la somma delle potenze quattordicesime delle radici dell'equazione
Svolgimento: chiamiamo le radici del polinomio, e riscriviamolo nella forma
Eleviamo al quadrato, così da ottenere
Consideriamone le valutazioni in ciascuna delle radici
e sommiamo tra loro le uguaglianze
Dalle proprietà delle sommatorie
Le formule di Viète ci dicono che
ossia, nel nostro caso
Il coefficiente è zero nel polinomio in questione, di conseguenza
e il secondo termine nella relazione è nullo:
Ora richiamiamo le formule di Newton per lavorare sul primo termine del secondo membro. Poniamo
per cui sappiamo che
Nel nostro caso e
, di conseguenza ci riduciamo a
Poiché sono nulli, ricaviamo
E in definitiva la relazione diventa
Esempio (Formule di Viète e valore di un'espressione con le radici di un polinomio)
Dato il polinomio
dette le sue radici, calcolare il valore dell'espressione.
Svolgimento: l'espressione, per come si presenta, richiede calcoli troppo astrusi e noi non vogliamo certo complicarci la vita. ;) Trattiamola come un'espressione tra frazioni algebriche:
Questa espressione è molto più semplice da gestire:
- a numeratore abbiamo la somma delle quattro radici;
- a denominatore abbiamo il prodotto delle quattro radici.
Possiamo sfruttare le formule di Viète per calcolare le espressioni singolarmente. Per il numeratore
ossia
e dunque
Per il denominatore
ossia
e dunque
Non ci resta che sostituire:
Con questo si conclude il corso dedicato ai polinomi. Come al solito, sappiate che qui su YM ci sono migliaia di lezioni, esercizi risolti e approfondimenti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)
Buona Matematica a tutti!
Francesco Paolo Maiale (Frank094)
Tags: formule di Vietè e formule di Newton, definizioni ed esempi svolti.