Formule di Viète e formule di Newton

Le formule di Viète e le formule di Newton sono relazioni che intercorrono tra i coefficienti e le radici dei polinomi.

L'argomento che affrontiamo qui, a conclusione del corso dedicato ai polinomi, è lievemente avanzato e di norma non è richiesto agli studenti delle Scuole Superiori.

Anche a livello universitario non necessariamente si studiano le formule di Viète e di Newton, ma precisiamo che talvolta vengono richieste alle Olimpiadi della Matematica. Per questo motivo adotteremo un'impostazione "asciutta" e molto meno discorsiva rispetto alle precedenti lezioni.

Inoltre, questa lezione è l'unica nel nostro corso sui polinomi in cui consideriamo polinomi a coefficienti nell'insieme dei numeri reali e in cui presupponiamo di saper calcolare le eventuali radici nell'insieme dei numeri complessi, così da poter fare affidamento sul Teorema Fondamentale dell'Algebra ;)

Formule di Viète

Cominciamo con l'enunciato del teorema di Viète. Sia

$p(x)=a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0$

un polinomio a coefficienti reali di grado e siano le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.

Valgono le seguenti relazioni:

$\begin{cases}x_1+ x_2 + ... + x_n = - \dfrac{a_{n - 1}}{a_n}\\ \\ x_1 x_2 +x_1 x_3 + ... + x_{n - 1} x_n = \dfrac{a_{n - 2}}{a_n}\\ \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4+ ... + x_{n - 2} x_{n - 1} x_n = - \dfrac{a_{n - 3}}{a_n}\\ \\ ...\\ \\ x_1x_2 x_3 ... x_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}\end{cases}$

È evidente che le formule di Viète forniscono ogni possibile relazione tra le varie radici di un polinomio anche quando non è possibile calcolarle esplicitamente.

Formule di Newton

Anche le somme di potenze di radici soddisfano particolari relazioni, dette formule di Newton per i polinomi, che permettono di calcolarle con precisione.

Vediamo l'enunciato: sia

$p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1 x + a_0$

un polinomio a coefficienti reali di grado e siano le sue radici (eventualmente complesse), ripetute secondo le rispettive molteplicità.

Posto

valgono le seguenti relazioni

$\begin{cases}a_n s_k + a_{n - 1} s_{k - 1} + ... + a_{n - k + 1}s_1 = - k a_{n - k} & \mbox{con}\ 1 \leq k \leq n\\ \\ a_n s_k + a_{n - 1} s_{k-1} + ... + a_0s_{k-n} = 0 & \mbox{con}\ k > n\end{cases}$

Esempi sulle formule di Viète e di Newton

Ribadiamo che le formule di Newton e le formule di Viète sono strumenti a dir poco fondamentali per chiunque abbia intenzione di partecipare alle Olimpiadi della Matematica, mentre sono poco (o mai) usate in ambito scolastico.

Passiamo agli esempi. Gli esercizi proposti non sono standard e sono più o meno impegnativi, quindi non preoccupatevi se non riuscite a risolverli subito.

Esempio (Somma delle potenze delle radici di un polinomio)

Determinare la somma delle potenze quattordicesime delle radici dell'equazione

Svolgimento: chiamiamo le radici del polinomio, e riscriviamolo nella forma

Eleviamo al quadrato, così da ottenere

$x^{14} =x^2+2x+1$

Consideriamone le valutazioni in ciascuna delle radici

$x^{14}_j =x^2_j+2x_j+1\ \ \ \mbox{con }j=1...7$

e sommiamo tra loro le uguaglianze

$\sum_{j=1}^{7}x^{14}_j =\sum_{j=1}^{7}(x^2_j+2x_j+1)$

Dalle proprietà delle sommatorie

$\sum_{j=1}^{7} x_{j}^{14}=\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{2}+2\sum_{j=1}^{7}x_j+\sum_{j=1}^{7}1\ \ \ (\bullet)$

Le formule di Viète ci dicono che

$\sum_{j=1}^{n}x_j =-\frac{a_{n-1}}{a_n}$

ossia, nel nostro caso

$\sum_{j=1}^{7}x_j =-\frac{a_6}{a_7}$

Il coefficiente è zero nel polinomio in questione, di conseguenza

$\sum_{j=1}^{7}x_j =0$

e il secondo termine nella relazione $(\bullet)$ è nullo:

$\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{14} =\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{2}+\sum_{j=1}^{7}1\ \ \ (\bullet)$

Ora richiamiamo le formule di Newton per lavorare sul primo termine del secondo membro. Poniamo

per cui sappiamo che

$s_k+a_{n-1}s_{k-1}+...+ a_{n-k+1}s_1=-ka_{n-k}$

Nel nostro caso e , di conseguenza ci riduciamo a

Poiché sono nulli, ricaviamo

E in definitiva la relazione $(\bullet)$ diventa

$\sum_{j=1}^{14}x_j^{14} =\sum_{j=1}^71=7$

Esempio (Formule di Viète e valore di un'espressione con le radici di un polinomio)

Dato il polinomio

dette $\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$ le sue radici, calcolare il valore dell'espressione.

$\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 }+\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_1 \lambda_3 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 }$

Svolgimento: l'espressione, per come si presenta, richiede calcoli troppo astrusi e noi non vogliamo certo complicarci la vita. ;) Trattiamola come un'espressione tra frazioni algebriche:

$\frac{\lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4}$

Questa espressione è molto più semplice da gestire:

- a numeratore abbiamo la somma delle quattro radici;

- a denominatore abbiamo il prodotto delle quattro radici.

Possiamo sfruttare le formule di Viète per calcolare le espressioni singolarmente. Per il numeratore

$\sum_{j=1}^{n}\lambda_j =-\frac{a_{n-1}}{a_n}$

ossia

$\sum_{j=1}^{4}\lambda_j =-\frac{a_{3}}{a_4}$

e dunque

$\lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1 = - \frac{3}{1} = - 3$

Per il denominatore

$\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 ... \lambda_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}$

ossia

$\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 = (-1)^4 \dfrac{a_0}{a_4}$

e dunque

$\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3\lambda_4 = (-1)^4 \cdot \frac{6}{1} = 6$

Non ci resta che sostituire:

$\frac{\lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Con questo si conclude il corso dedicato ai polinomi. Come al solito, sappiate che qui su YM ci sono migliaia di lezioni, esercizi risolti e approfondimenti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Buona Matematica a tutti!

Francesco Paolo Maiale (Frank094)

Tags: formule di Vietè e formule di Newton, definizioni ed esempi svolti.