Formule di Viète e di Newton

Le formule di Viète e le formule di Newton non sono altro che delle particolari relazioni che intercorrono tra i coefficienti dei polinomi e le radici; l'argomento non è troppo avanzato ma neanche tratta argomenti basilari, di conseguenza prima della lettura di questo articolo è necessario aver consolidato le proprie conoscenze sui polinomi e bisogna padroneggiarli con una certa sicurezza.

Nota 1: le formule di Viète e di Newton non sono generalmente richieste per gli studenti delle Scuole Superiori.

Nota 2: le formule di Viète e di Newton sono fondamentali per gli studenti delle Superiori che vogliono affrontare le Olimpiadi della Matematica. ;)

Le formule di Viète

Teorema: (formule di Viète)

Sia

$p(x)=a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0$

un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano le sue radici (in genere complesse), ripetute con la loro molteplicità. Allora

$\\ x_1+ x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n - 1}}{a_n}\\ \\ x_1 x_2 +x_1 x_3 + ... + x_{n - 1} x_n = \frac{a_{n - 2}}{a_n}\\ \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4+ ... + x_{n - 2} x_{n - 1} x_n = - \frac{a_{n - 3}}{a_n}\\ \\ ...\\ \\ x_1x_2 x_3 ... x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

È evidente che le formule di Viète forniscono ogni possibile relazione tra le varie radici di un polinomio anche quando non è possibile calcolarle esplicitamente.

Anche le somme di potenze di radici soddisfano della particolari relazioni che permettono di calcolarle con precisione; se infatti poniamo

allora avremo...

Le formule di Newton

Teorema: (formule di Newton)

Sia

$p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1 x + a_0$

un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano le sue radici (in genere complesse), ripetute con la loro molteplicità. Allora

$\\ a_n s_k + a_{n - 1} s_{k - 1} + ... + a_{n - k + 1}s_1 = - k a_{n - k}\ \ \ \mbox{con}\ 1 \leq k \leq n\\ \\ a_n s_k + a_{n - 1} s_{k-1} + ... + a_0s_{k-n} = 0\ \ \ \mbox{con}\ k > n$

Esempi sulle formule di Viète e di Newton

Ribadiamo che le formule di Newton e le formule di Viète sono strumenti a dir poco fondamentali per chiunque abbia intenzione di partecipare alle Olimpiadi della Matematica, mentre sono poco (o mai) usate in ambito scolastico.

Adesso vediamo qualche esempio sulla loro applicazione. Gli esercizi proposti non sono standard ma più o meno complessi, quindi non preoccupatevi se non riuscite a risolverli subito.

Esempio 1

Determinare la somma delle potenze quattordicesime delle radici dell'equazione

Soluzione

Riscriviamo il tutto come

Eleviamo tutto al quadrato

$x^{14} =x^2+2x+1$

Poste dunque le radici del polinomio, possiamo dire che

$\sum_{j=1}^{7} x_{j}^{14}=\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{2}+2\sum_{j=1}^{7}x_j+\sum_{j=1}^{7}1$

Le formule di Viète ci dicono che

$\sum_{k=1}^{n}x_k =-\frac{a_{n-1}}{a_n}$

Ma a_{n - 1} è il coefficiente di x⁶, uguale a zero, di conseguenza la sommatoria con la sola x vale zero e possiamo eliminarla.

$\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{14} =\sum_{j=1}^{7}x_{j}^{2}+\sum_{j=1}^{7}1$

Adesso, posto

intervengono le formule di Newton, le quali ci dicono che

$s_k+a_{n-1}s_{k-1}+...+ a_{n-k+1}s_1=-ka_{n-k}$

Nel nostro caso k = 2 e n = 7, di conseguenza è chiaro che il tutto si restringe a

$s_2+a_6s_{k-1}= -2a_5$

Ma a₅ e a₆ valgono zero di conseguenza

Così tutto si riduce a

$\sum_{j=1}^{14}x_j^{14} =\sum_{j=1}^71=7$

Esempio 2

Dato il polinomio

dette $\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$ le sue radici, calcolare il valore dell'espressione.

$\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 }+\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_1 \lambda_3 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 }$

Soluzione

L'espressione scritta così richiede calcoli troppo astrusi e noi non vogliamo certo complicarci la vita! Per questo iniziamo con il minimo comune multiplo

$\frac{\lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4}$

Guardate bene questa espressione: non è molto più semplice? Al numeratore abbiamo infatti la somma delle quattro radici, al denominatore il prodotto perciò possiamo sfruttare le formule di Viète per calcolare le espressioni singolarmente.

$\\ \lambda_4 + \lambda_3 + \lambda_2+ \lambda_1 = - \frac{3}{1} = - 3\\ \\ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3\lambda_4 = (-1)^4 \cdot \frac{6}{1} = 6$

Andiamo a sostituire per trovare che

$\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3} +\frac{1}{ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_1 \lambda_3 \lambda_4 } + \frac{1}{ \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 } = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Buono studio!

Francesco (Frank094)

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