Espressioni con frazioni algebriche

Le espressioni con frazioni algebriche sono espressioni definite mediante le comuni operazioni matematiche, applicate a due o più frazioni algebriche, e che possono essere ridotte a un'unica frazione algebrica mediante semplici calcoli.

 

In questa lezione vedremo come semplificare le espressioni con frazioni algebriche. In particolare mostreremo come svolgere le operazioni tra frazioni algebriche: i procedimenti non sono difficili, anche se potrebbero sembrarlo per chi è alle prime armi.

 

Di buono c'è che le operazioni con le frazioni algebriche ricordano molto le operazioni tra frazioni, quindi si imparano piuttosto velocemente.

 

Ad ogni modo, mediante appositi esempi guidati, vi faremo vedere come sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere due o più frazioni algebriche tra loro, in modo da riuscire a risolvere le espressioni con le frazioni algebriche che coinvolgono una o più operazioni. ;)

 

Espressioni con somma di frazioni algebriche

 

Per esporre i passi da seguire, utilizzeremo un esercizio guidato. Vogliamo determinare la seguente somma di frazioni algebriche:

 

(x-1)/(x^2-y^2)+(y-1)/(xy-y^2)

 

1) Scomponiamo tutti i denominatori presenti nell'espressione, in modo da ricavarne le relative fattorizzazioni. In questo frangente dobbiamo anche raccogliere gli eventuali coefficienti.

 

I numeratori delle due frazioni algebriche sono irriducibili. Per il denominatore della prima applichiamo la regola per la differenza di quadrati

 

x^2-y^2 = (x-y)(x+y)

 

mentre per il denominatore della seconda effettuiamo un raccoglimento totale

 

x y-y^2 = y (x-y) 

 

Ricaviamo:

 

(x-1)/((x-y)(x+y))+(y-1)/(y(x-y))

 

2) Determiniamo i valori per i quali i denominatori si annullano, in modo da imporre le condizioni di esistenza. Questo passaggio va effettuato prima di svolgere qualsiasi semplificazione/operazione

 

Nel nostro caso dobbiamo richiedere

 

CE: x ne y ; x ne-y ; y ne 0

 

3) Determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi presenti nei denominatori, e prendiamo in considerazione anche gli eventuali coefficienti in modo da determinare il denominatore comune.

 

Calcolando il minimo comune multiplo tra

 

 x^2-y^2 = (x-y)(x+y) ; x y-y^2 = y(x-y)

 

troviamo come denominatore comune il polinomio dato dal prodotto tra i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente

 

mcm(x^2-y^2 ; x y-y^2) = y(x-y)(x+y)

 

Nulla da fare per il coefficiente, perché in entrambe le scomposizioni è 1.

 

4) Dividiamo il denominatore comune per ciascun denominatore che compare nell'espressione, e moltiplichiamo il risultato con i rispettivi numeratori.

 

(x-1)/((x-y)(x+y))+(y-1)/(y(x-y)) ; [y(x-y)(x+y)]:[(x-y)(x+y)] = y → y·(x-1) ; [y(x-y)(x+y)]:[y(x-y)] = x+y → (x+y)·(y-1)

 

5) A questo punto riscriviamo la somma come un'unica frazione algebrica

 

(y(x-1)+(x+y)(y-1))/(y (x-y)(x+y))

 

6) Calcoliamo i prodotti al numeratore, facendo sempre attenzione ai segni. In questa fase di sviluppo (ma non in questo esempio) serviamoci eventualmente dei prodotti notevoli.

 

(yx-y+x y+y^2-x-y)/(y (x-y)(x+y))

 

7) Sommiamo i monomi simili

 

(y^2+2 x y-2 y-x)/(y (x-y)(x+y))

 

8) Abbiamo finito: a questo punto si semplifica la frazione algebrica risultante, se possibile.

 

Nel nostro esempio la frazione algebrica risultante è irriducibile e non sono presenti coefficienti comuni tra numeratore e denominatore, dunque abbiamo finito.

 

Espressioni con differenza di frazioni algebriche

 

Per la differenza di frazioni algebriche ragioneremo nello stesso identico modo rispetto alla somma, prestando solo un po' più di attenzione ai segni. Anche in questo caso, evidenziamo i passaggi utilizzando un esempio.

 

(x)/(2x-2)-(x+1)/(x^2-x)

 

Fattorizziamo i denominatori. Quello della prima frazione algebrica è irriducibile, ma possiamo raccogliere un coefficiente 2

 

2x-2 = 2(x-1)

 

Per il denominatore della seconda frazione algebrica effettuiamo un raccoglimento totale

 

x^2-x = x(x-1)

 

Otteniamo:

 

(x)/(2(x-1))-(x+1)/(x(x-1))

 

Prima di fare qualsiasi altra cosa, imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori siano diversi da zero:

 

 x-1 ne 0 ⇒ x ne 1 ; x(x-1) ne 0 ⇒ x ne 0 ∨ x ne 1

 

dove nel secondo caso abbiamo fatto ricorso alla legge di annullamento del prodotto. Nel complesso ricaviamo

 

CE: x ne 0 ∨ x ne 1

 

Ora determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi dei denominatori

 

mcm(2x-2 ; x^2-x) = x(x-1)

 

Per ottenere il denominatore comune prendiamo in considerazione anche i coefficienti delle due scomposizioni

 

2x(x-1)

 

Dividiamo il minimo comune denominatore ottenuto per ciascun denominatore che compare nella espressione, e moltiplichiamo il risultato con i rispettivi numeratori.

 

(x·x-2·(x+1))/(2x(x-1))

 

e infine svolgiamo i prodotti al numeratore - attenzione ai conti - ;soprattutto quando compaiono dei segni meno

 

(x^2-2x-2)/(2x(x-1))

 

Sommiamo i monomi simili: non ce ne sono.

 

Semplifichiamo gli eventuali fattori algebrici comuni tra numeratore e denominatore e gli eventuali coefficienti in comune: non ce ne sono.

 

Abbiamo finito. :) A proposito, se volete vedere un altro esempio: differenza di frazioni algebriche.

 

Espressioni con prodotto tra frazioni algebriche

 

Il prodotto tra due o più frazioni algebriche è ancora una frazione algebrica, avente come numeratore il prodotto tra i numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori.

 

Questa definizione vale a livello teorico. A livello pratico è necessario un piccolo sforzo in più: per risolvere gli esercizi fattorizzeremo tutti i termini che appaiono nell'espressione, dopodiché semplificheremo a croce i fattori comuni, un po' come avviene con la moltiplicazione tra frazioni.

 

Vediamo un esempio?

 

(x^2+y x)/(x^2-y^2)·(x-y)/(x^2 y)

 

Per prima cosa scomponiamo tutti i termini che compaiono nell'espressione

 

(x(x+y))/((x-y) (x+y))·(x-y)/(x^2 y)

 

e imponiamo le condizioni di esistenza (prima di procedere con qualsiasi semplificazione!):

 

CE: x ≠ y, x ≠-y, x ≠ 0, y ≠ 0

 

Semplifichiamo (x+y) tra numeratore e denominatore nella prima frazione algebrica:

 

(x)/(x-y)·(x-y)/(x^2 y)

 

Eliminiamo il termine x, semplificando a croce

 

(1)/(x-y)·(x-y)/(x y)

 

Semplifichiamo a croce (x-y) 

 

(1)/(1)·(1)/(x y)

 

Infine moltiplichiamo tra loro i numeratori e i denominatori

 

(1)/(x y)

 

Abbiamo finito. Rispetto alla somma e alla differenza, il prodotto di frazioni algebriche è abbastanza abbordabile. ;)

 

Espressioni con divisione tra espressioni algebriche

 

Prima di vedere come calcolare la divisione tra due frazioni algebriche dobbiamo introdurre un nuovo concetto: il reciproco di una frazione algebrica, del tutto analogo rispetto al reciproco di una frazione.

 

Il reciproco di una frazione algebrica è ancora una frazione algebrica, che si ottiene scambiando tra loro il numeratore e denominatore della frazione considerata.

 

- Il reciproco della frazione (x)/(y+1) è

 

(y+1)/(x)

 

- Il reciproco della frazione (x^2+y^2)/(x^2+x y) è

 

(x^2+x y)/(x^2+y^2)

 

- Il reciproco della frazione x^2+x+y è

 

(1)/(x^2+x+y)

 

Con questa premessa, il rapporto tra due frazioni algebriche è ancora una frazione algebrica, e si ottiene moltiplicando la prima per il reciproco della seconda.

 

Anche qui vediamo un esempio:

 

(x^2+2x+1)/(x^3+y^3): (x^2-1)/(x^2-y^2)

 

Secondo la regola del reciproco, passiamo a

 

(x^2+2x+1)/(x^3+y^3)·(x^2-y^2)/(x^2-1)

 

Abbiamo trasformato la divisione in una moltiplicazione. Ora fattorizziamo tutti i termini delle frazioni: abbiamo una somma di cubi e una differenza di quadrati

 

((x+1)^2)/((x+y)(x^2-x y+y^2))·((x-y)(x+y))/((x-1)(x+1))

 

dove il secondo fattore del primo denominatore è un falso quadrato, e in quanto tale non scomponibile.

 

Prima di fare qualsiasi altra cosa, imponiamo le condizioni di esistenza:

 

x ≠-y, x ≠±1, x^2-x y+y^2 ≠ 0

 

Non ci rimane altro da fare che semplificare il semplificabile

 

(x+1)/(x^2-x y+y^2)·(x-y)/(x-1)

 

Moltiplichiamo infine numeratore con numeratore e denominatore con denominatore:

 

((x+1)(x-y))/((x^2-x y+y^2)(x-1)) = (x+x^2-y-x y)/(x^3-x^2+x y-x^2 y-y^2+x y^2)

 

Per altri esempi: divisione tra frazioni algebriche.

 

 


 

La lezione successiva chiude il capitolo dedicato ai polinomi: parliamo delle formule di Viète e di Newton.

 

Abbiamo finito! Qui, più che mai, vi raccomandiamo di fare allenamento con la scheda correlata di esercizi svolti, e nel caso a consultare tanti altri esercizi risolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna!

 

Non dimenticate che qui su YM ci sono anche un tool per la scomposizione di polinomi online e un tool per risolvere le espressioni online, comprese quelle con le frazioni algebriche. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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