Espressioni con potenze

Le espressioni con potenze sono espressioni aritmetiche in cui compaiono le potenze oltre alle quattro operazioni base (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione), e che possono presentare parentesi che stabiliscono l'ordine dei calcoli.

Ora che abbiamo studiato le potenze e le proprietà delle potenze, possiamo imparare a risolvere un tipo di espressioni matematiche più generale rispetto a quelle che abbiamo già affrontato.

Vi ricordate la lezione sulle espressioni aritmetiche con le quattro operazioni base? Lì abbiamo visto come comportarci con le espressioni in cui compaiono i numeri naturali e le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Ora aggiungiamo la quinta operazione: l'elevamento a potenza.

Indice

  1. Premessa sulle operazioni aritmetiche con le potenze
  2. Come risolvere le espressioni con potenze
  3. Esempio: espressione con potenze (senza proprietà delle potenze)
  4. Esempio: espressione con potenze (con le proprietà delle potenze)

Premessa sulle espressioni aritmetiche con le potenze

Prima di cominciare dobbiamo fare una piccola precisazione: quando si parla di espressioni con potenze, in generale, ci si può riferire a espressioni che contengono numeri relativi, frazioni e più in generale termini appartenenti ai vari insiemi numerici.

Noi non abbiamo ancora studiato gli altri tipi di numeri - lo faremo in seguito - quindi qui ci limitiamo alle espressioni aritmetiche con potenze e numeri naturali. Nel prosieguo delle lezioni vedremo come risolvere le espressioni nei casi più generali.

Come risolvere le espressioni con le potenze

Elenchiamo le regole per risolvere le espressioni con potenze, dopodiché analizziamo un paio di esempi svolti e commentati nel dettaglio.

Regola 1. Se sono presenti delle parentesi, è necessario risolvere:

  • dapprima le operazioni interne alle parentesi tonde (), fino a eliminarle;
  • successivamente le operazioni interne alle parente quadre [], fino a eliminarle;
  • infine le operazioni interne alle parentesi graffe {}, fino a non avere più alcun tipo di parentesi.

In questo modo ci riduciamo a un'espressione senza parentesi.

Regola 2. Seguiamo un ordine delle operazioni ben preciso, che già conosciamo dall'omonima lezione, con la differenza che qui potrebbero esserci anche delle potenze oltre alle operazioni aritmetiche standard.

Ebbene, le potenze hanno la precedenza rispetto a tutte le altre operazioni:

  • se sono a se stanti, oppure coinvolte in addizioni e sottrazioni, possiamo svilupparle in modo da esprimerle come numeri;
  • se invece ci sono moltiplicazioni o divisioni tra potenze prestiamo attenzione, perché magari potremmo utilizzare una delle proprietà delle potenze che ben conosciamo. In questo modo risparmieremmo conti, tempo e fatica.

Esempio: espressioni con potenze (senza proprietà delle potenze)

[(9+7−2^3)−5]+3^3+12−[11−(10:2−28:7)] Plum

Per prima cosa osserviamo l'espressione. Dato che le potenze sono coinvolte in una sottrazione e in una addizione, non c'è alcuna proprietà che possa venire in nostro soccorso. Dovremo quindi svilupparle e svolgere i calcoli.

Partiamo dalle parentesi tonde e semplifichiamole a parte. Nella prima dobbiamo sviluppare la potenza di 2, che ha la precedenza su tutto il resto.

(9+7−2^3) = (9+7−8) = (16−8) = 8 ; (10:2−28:7) = (5−4) = 1

Riscriviamo l'espressione sostituendo i risultati delle parentesi tonde:

[8−5]+3^3+12−[11−1] Plum

Proseguiamo con le parentesi quadre.

3+3^3+12−10 Plum

Infine occupiamoci delle parentesi graffe. Qui prima di tutto dobbiamo sviluppare la potenza di 3.

3+27+12−10 Plum ; 3+39−10 Plum ; 3+29 = 32

E abbiamo finito.

Esempio: espressioni con potenze (con le proprietà delle potenze)

Proponiamoci di risolvere la seguente espressione:

[1−(1+4−2^2) ]+2^(10):2^(7)−[6−(3×2−10:5)] Plum

Qui, osservando l'espressione, vediamo che la prima potenza (3^2) andrà sviluppata perché è coinvolta in una sottrazione; le altre due, invece, sono entrambe potenze di 2 e sono coinvolte in una divisione. Potremo quindi applicare la proprietà per il quoziente di potenze con la stessa base.

Iniziamo con la prima coppia di parentesi tonde: abbiamo una potenza, che ha la precedenza sulle altre operazioni.

[1−(1+4−4) ]+2^(10):2^(7)−[6−(3×2−10:5)] Plum

Nelle prime parentesi tonde rimangono un'addizione e una sottrazione. Calcoliamole nell'ordine in cui si presentano, da sinistra a destra:

[1−(5−4) ]+2^(10):2^7−[6−(3×2−10:5)] Plum

Otteniamo:

[1−1] ]+2^(10):2^7−[6−(3×2−10:5)] Plum

Passiamo alla seconda coppia di parentesi tonde, in cui appaiono una moltiplicazione, una sottrazione e una divisione. Diamo la precedenza a moltiplicazione e divisione:

[1−1 ]+2^(10):2^7−[6−(6−2)] Plum

Calcoliamo la sottrazione rimanente ed eliminiamo le parentesi tonde.

[1−1 ]+2^(10):2^7−[6−4] Plum

Possiamo occuparci delle parentesi quadre:

0+2^(10):2^7−2 Plum

Otteniamo quindi:

2^(10):2^7−2 Plum

Siamo quasi alla fine: rimangono le operazioni contenute nelle parentesi graffe. Poiché abbiamo una divisione tra potenze con la stessa base, facciamo intervenire la relativa regola (senza dove sviluppare le singole potenze 2^(10) e 2^7, che produrrebbero numeri piuttosto grandi!).

2^(10−7)−2 Plum ; 2^3−2 Plum

Calcoliamo la potenza e portiamo a termine l'esercizio:

8−2 Plum = 6

Con questo è tutto! Vi suggeriamo di fare un bel po' di allenamento partendo da esercizi più semplici e alzando successivamente il livello. A questo proposito potete consultare gli esercizi sulle espressioni con potenze, tutti risolti e spiegati.

Inoltre, se volete verificare la correttezza dei risultati degli esercizi che vi sono stati assegnati per casa, potete usare il tool risolvi espressioni online. ;)

Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)

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